专题02 与三角形有关的角重难点专练（解析版）（人教版）.docx

专题02与三角形有关的角重难点专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2021·安徽合肥市·）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　） A．105° B．95° C．85° D．75° 【答案】C 【分析】 根据角平分线的性质，求得∠ACD＝120°，利用三角形的外角性质求解即可. 【详解】 ∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°， ∴∠ACD＝120°， ∵∠ACD＝∠A+∠B，且∠B＝35°， ∴∠A＝85°， 故选C. 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，熟练运用两条性质是解题的关键. 2．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ） A．80° B．82° C．84° D．86° 【答案】A 【分析】 根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决． 【详解】 解：∵∠BAC＝105°， ∴∠2＋∠3＝75°① ∵∠1＝∠2， ∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2② 把②代入①得：3∠2＝75°， ∴∠2＝25°． ∴∠DAC＝105°−25°＝80°． 故选A． 【点睛】 此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键． 3．（2021·湖南怀化市·八年级期末）下列命题中，属于假命题的是（ ） A．相等的角是对顶角 B．三角形的内角和等于180° C．两直线平行，同位角相等 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】 利用对顶角、三角形内角和、平行线的性质等分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； B、三角形三个内角的和等于180°，是真命题； C、两直线平行，同位角相等，是真命题； D、两点之间，线段最短，是真命题； 故选：A． 【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角、平行线的性质和三角形内角和，难度不大． 4．（2021·山东八年级期末）下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．算术平方根等于自身的数只有1 C．直角三角形的两锐角互余 D．如果，那么 【答案】C 【分析】 根据同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质判断即可． 【详解】 解：A、同位角不一定相等，原命题是假命题； B、算术平方根等于自身的数有1和0，原命题是假命题； C、直角三角形两锐角互余，是真命题； D、如果a2=b2，那么a=b或a=-b，原命题是假命题； 故选：C． 【点睛】 本题考查了命题的真假判断，包括同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中． 5．（2021·贵州八年级期末）如图，在中，， 是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ） ①的面积是的面积的一半；②；③；④． A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】 根据三角形的面积公式进行判断①，根据等腰三角形的判定判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据三角形的内角和定理求出∠FAG=∠ACB，再判断④即可． 【详解】 解：∵BE是AC边的中线， ∴AE=CEAC， ∵△ABE的面积×AE×AB，△ABC的面积×AC×AB， ∴△ABE的面积等于△ABC的面积的一半，故①正确； 根据已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②错误； ∵在△ACF和△DGC中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB， ∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB， ∴∠AFG=∠AGF， ∴AF=AG，故③正确； ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°， ∴∠FAG=∠ACB， ∵CF是∠ACB的角平分线， ∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB， ∴∠FAG=2∠FCB，故④错误； 即正确的为①③， 故选：C． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 6．（2021·安徽宿州市·八年级期末）如图，直线､被所截，若，，，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据平行线的性质求出，再由三角形外角性质即可得解； 【详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案选C． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 7．（2021·浙江八年级期末）如图，的一边上有一动点E，连结，在射线上任取一点D，连结，分别作的角平分线，交于点F，则下列关系式正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 判断选项、选项，需假设选项正确，即，再根据角平分线的性质，即可证明得出，此时选项也正确，故选项、选项都不对．对于选项、选项，令与交点为，根据三角形内角和为即可证明选项正确，选项错误． 【详解】 当时，， 则， ∵、平分、， 则， 故选项、选项不对． 令与交点为， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 故， 则选项正确，选项错误． 故选：． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义，以及三角形内角和为，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 8．（2021·广西八年级期末）如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【分析】 根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【详解】 解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线， ∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)， =180°-2(∠DBC+∠BCD) ∵∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)， ∴∠A=180°-2(180°-∠BDC) ∴∠BDC=90°+ ∠A， ∴∠A=2(110°-90°)=40°． 故答案为：A． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键． 9．（2021·湖南八年级期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点分别是边上的点，将沿着折叠压平，与重合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解． 【详解】 ∵∠A=50°， ∴∠ADE+∠AED=180°-50°=130°， ∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合， ∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED， ∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×130°=100°． 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便． 10．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，四边形是长方形，点是长线上一点，是上一点，并且，．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝15°，根据三角形的外角的性质得到∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F，于是得到结论． 【详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠DCB＝90°， ∴∠F＝∠ECB＝15°， ∴∠GAF＝∠F＝15°， ∴∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F＝30°， 故选C． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 11．（2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）下列四个命题中为真命题的是（ ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．若和是对顶角，则 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．，则 【答案】B 【分析】 根据平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质逐项判断即可求解． 【详解】 解：A. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，缺少两直线平行这一条件，判断错误，是假命题，不合题意； B. “若和是对顶角，则”，是真命题，符合题意； C. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，判断错误，是假命题，不合题意； D. “，则，”是假命题，a和b也可以互为相反数，不合题意． 故选：B 【点睛】 本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质、真假命题等知识，熟知相关知识是解题关键． 12．（2021·山西）如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（　　） A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180° 【答案】D 【分析】 设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，利用平行线的性质，三角形内角和定理构建方程组即可解决问题． 【详解】 解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x， ∵， ∴，， ∴γ+β＝∠B+∠C＝α， ∵EB′∥FG， ∴∠CFG＝∠CEB′＝y， ∴x+2y＝180°①， 根据平行线的性质和翻折的性质可得：，， ∴， ∵γ+y＝2∠B， 同理可得出：β+x＝2∠C， ∴γ+y+β+x＝2α， ∴x+y＝α②， ②×2﹣①可得x＝2α﹣180°， ∴∠C′FE＝2α﹣180°． 故选：D． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 13．（2021·山东八年级期末）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解． 【详解】 解：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C＝180°， 又∵∠A＝110°， ∴∠C＝70°， ∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确， ∵∠C+∠D+∠CED＝180°， ∴∠D+∠CED＝110°， ∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确， ∵点E在AC上的任意一点， ∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键． 14．（2021·西安市曲江第一中学八年级期末）如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（ ） A．32° B．30° C．28° D．26° 【答案】C 【分析】 根据翻折的性质可得，再利用三角形外角的性质表示出，然后根据角的和差整理即可得解． 【详解】 解：如图，由翻折的性质得， ∴， ∴在△ADE中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查了翻折变换的性质，三角形外角的性质，理解折叠前后对应角相等是解题关键． 15．（2021·湖南八年级期中）如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（ ） A．18° B．22° C．30° D．38° 【答案】B 【分析】 根据角平分线性质和三角形内角和定理求解即可； 【详解】 ∵AE是的高， ∴， 又∵AD是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案选B． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质和三角形内角和定义，准确分析计算是解题的关键． 16．（2021·内蒙古八年级期末）如图，是的角平分线，，垂足为，交于，连结．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由角平分线的性质得到，由三角形内角和定理可求得∠BAC，又有可求得∠BAF，继而根据∠EAD=∠BAC-∠BAF进行求解即可． 【详解】 解：， ， ∵BD平分∠ABC， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，灵活利用三角形内角和定理是解题的关键． 17．（2020·江苏赣榆实验中学八年级月考）如图，锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，与相交于点．若，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据角平分线定义求出∠ABP=∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP=CP，求出∠CBP=∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°=180°，求出方程的解即可． 【详解】 解：∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠CBP， ∵直线l是线段BC的垂直平分线， ∴BP=CP， ∴∠CBP=∠BCP， ∴∠ABP=∠CBP=∠BCP， ∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°， ∴3∠ABP+24°+60°=180°， 解得：∠ABP=32°． 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能求出∠ABP=∠CBP=∠BCP是解此题的关键，数形结合思想的应用． 18．（2021·河南平顶山市·）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【分析】 根据三角形内角和定理以及三角形角平分线的定义可得∠BOC=90°+∠1，再结合三角形外角性质可得∠ECD=∠OBC+∠2，从而可得∠BOC=90°+∠2，据此即可进行判断. 【详解】 ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠1）=90°-∠1， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠1）=90°+∠1， ∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD， ∴∠ECD=∠ACD=（∠ABC+∠1）， ∵∠ECD=∠OBC+∠2， ∴∠2=∠1，即∠1=2∠2， ∴∠BOC=90°+∠1=90°+∠2， ∴①④正确，②③错误， 故选C. 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线等知识，熟练掌握相关的性质及定理、运用数形结合思想是解题的关键. 二、填空题 19．（2021·山东日照市·八年级期末）在一个三角形中，若其中一个内角的度数是另一个内角的2倍，则我们称这个三角形为“倍角三角形”．已知某“倍角三角形”的一个内角的度数为60°，则其它两个内角的度数分别是_______． 【答案】30°，90°或40°，80° 【分析】 根据“倍角三角形”的定义结合三角形的内角和定理分三种情况即可得出结论． 【详解】 在△ABC中，不妨设∠A=60， ①若∠A=2∠C，则∠C=30， ∴∠B=； ②若∠C=2∠A，则∠C=120， ∴∠B=(不合题意，舍去)； ③若∠B=2∠C，则3∠C=120， ∴∠C0，∠B=； 综上所述，其它两个内角的度数分别是：30，90或40，80． 【点睛】 本题考查了“倍角三角形”的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 20．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，，，则________． 【答案】. 【分析】 根据三角形外角性质计算即可. 【详解】 ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD=∠A+∠B， ∵，， ∴∠ACD=. 故应填. 【点睛】 本题考查了三角形外角的性质，熟记三角形外角的性质，并准确计算是解题的关键. 21．（2021·江西）若一个三角形三个内角度数的比为，则其最大内角的度数是________． 【答案】108° 【分析】 已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数． 【详解】 解：设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°， 根据三角形内角和定理，可知x+3x+6x＝180， 解得x＝18． 所以6x°＝108°，即最大的内角是108°． 故答案为108° 【点睛】 此题考查三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理和列方程求解可简化计算． 22．（2021·山东八年级期末）如图，，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为________________． 【答案】98° 【分析】 先根据三角形的内角和定理得出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=82°，然后利用平角的定义即可求出∠1． 【详解】 ∵∠A=65°，∠B=75°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°； 又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外， ∴∠C′=∠C=40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°， ∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=18°， ∴∠3+18°+∠4+40°+40°=180°， ∴∠3+∠4=82°， ∴∠1=180°-82°=98°． 【点睛】 本题综合考查了三角形内角和定理、外角定理以及翻折变换的问题，而翻折变换实际上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，明确各个角之间的等量关系，是解决本题的关键． 23．（2021·福建厦门市·八年级期末）如图，CE是△ABC外角的平分线，且AB∥CE，若∠ACB＝36°，则∠A等于_____度． 【答案】72． 【分析】 根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【详解】 解：∵∠ACB＝36°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣36°＝144°， ∵CE是△ABC外角的平分线， ∴∠ACE＝， ∵AB//CE， ∴∠A＝∠ACE＝72°， 故答案为：72． 【点睛】 此题考查三角形外角性质，关键是根据三角形外角性质得出∠ACD的度数解答． 24．（2021·云南曲靖市·曲靖一中八年级期末）已知，一个含角的直角三角板按如图所示放置，，则_____． 【答案】75°． 【分析】 利用外角求∠5，再根据平行线的性质求∠1． 【详解】 解：由题意可知∠4=45°，∠2=∠3=30°， ∠5=∠2+∠3=75°， ∵， ∴∠1=∠5=75°， 故答案为：75°． 【点睛】 本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理计算． 25．（2021·上海八年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，则∠A＝_____度． 【答案】33 【分析】 设∠A为x，则∠B=x+24°，利用三角形内角和定理列方程求出x的值即可得答案． 【详解】 设∠A为x， ∵∠A比∠B小24°， ∴∠B=x+24°， ∵∠C=90°， ∴90°+x+x+24°＝180°， 解得：x＝33°，即∠A＝33°． 故答案为：33 【点睛】 本题考查了三角形的内角和，能够用一个未知数表示其中的未知角，然后根据三角形的内角和定理列方程求解． 26．（2021·广东梅州市·八年级期末）如图，已知、分别为的角平分线、高线，若，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】 先求出∠BAC的度数，再根据角平分线和高求出∠BAE和∠BAD即可． 【详解】 解：∵，， ∴∠BAC=180°-40°-60°=80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=40°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB=90°， ∴∠BAE=90°-∠B=50°， ∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°， 故答案为：10°． 【点睛】 本题考查了三角形内角和，三角形的高和角平分线，解题关键是熟练运用角平分线和高的意义求出角的度数． 27．（2021·西安市浐灞欧亚中学八年级期末）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，若，则的度为________． 【答案】93° 【分析】 根据∠1＝∠C+∠CAD，求出∠C，∠CAD即可． 【详解】 解：∵∠EAD＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠EAC＝90°﹣42°＝48°， ∵∠C＝45°， ∴∠1＝∠C+∠CAD＝45°+48°＝93°， 故答案：93°． 【点睛】 本题考查三角形的外角性质，余角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型． 28．（2021·安徽八年级期末）如图，，点，分别在射线，上，平分，的反向延长线与的平分线交于点，则的度数是_______． 【答案】 【分析】 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出，再根据角平分线的定义求出和，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解． 【详解】 解：根据三角形的外角性质，可得， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：45°． 【点睛】 本题考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 29．（2021·广东）如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为________． 【答案】25° 【分析】 根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案． 【详解】 解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE， ∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC， ∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC， ∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC， ∴∠A＝2∠E， ∵∠A＝50°， ∴∠E＝25°， 故答案为：25°． 【点睛】 本题考查的是三角形外角的性质，