专题04推理能力课之和角平分线有关的辅助线重难点专练（解析版）（人教版）.docx

专题04推理能力课之和角平分线有关的辅助线重难点专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】 根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD=，∠ABE= ∴∠BAD+∠ABE= ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确； ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确； 在△APH与△FPD中 ∵∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BAP=∠BFP PA=PF ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH=FD， 又∵AB=FB ∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确； 连接HD，ED， ∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP ∴，，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP， ∴ ∵ 故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：B． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等． 2．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】 根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确． 【详解】 解：①∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴在△ABD和△EBC中，， ∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确； ②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA， ∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE＝∠BDA， ∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确； ③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA， ∴∠DCE＝∠DAE， ∴△ACE为等腰三角形， ∴AE＝EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD＝EC， ∴AD＝AE．③正确； ④过E作EG⊥BC于G点， ∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB， ∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，， ∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）， ∴BG＝BF， ∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，， ∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL）， ∴AF＝CG， ∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确． 故选D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形的判定与性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键． 二、填空题 3．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________. 【答案】110° 70° 【分析】 ①先根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根据角平分线的定义求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形内角和即可求解； ②在BC上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS证明△ACI与△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形外角的性质可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解； 【详解】 ①∵， ∴∠BAC+∠BCA=140°， ∵AI、CI分别是、的角平分线， ∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°， ∴∠AIC=180°-70°=110°； ②如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI， ∵CI平分∠ACB， ∴∠ACI=∠BCI， 在△ACI与△DCI中， ， ∴△ACI≌△DCI（SAS）， ∴AI=DI，∠CAI=∠CDI， ∵BC=AI+AC， ∴BD=AI， ∴BD=DI， ∴∠IBD=∠BID， ∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD， 又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线， ∴BI是∠ABC的平分线， ∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI， ∴∠CDI=∠ABC， ∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC， ∵∠ABC=35°， ∴∠BAC=35°×2=70°． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作辅助线构造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点． 4．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______． 【答案】40° 【分析】 过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到∠BAC度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得到答案． 【详解】 解：过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如图： 设∠PCD=x， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN， ∴∠ACD=2x， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN， ∵∠BPC＝50°， ∴∠ABP=∠PBC=， ∴, ∴， ∴， 在Rt△APF和Rt△APM中， ∵PF=PM，AP为公共边， ∴Rt△APF≌Rt△APM（HL）， ∴∠FAP=∠CAP， ∴； 故答案为：40°； 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出是关键． 5．如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_______． 【答案】 【分析】 如图（见解析），设，从而可得，先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平角的定义即可得． 【详解】 如图，过点P分别作于点M，于点N，于点E， 设，则， ， ， 是的平分线， ， ， 是的平分线，，， ， 同理可得：， ， 在和中，， ， ，即， 又， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键． 三、解答题 6．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】50° 【解析】 【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案． 【详解】 延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD=x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=40°， ∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°， ∴∠CAF=100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)， ∴∠CAP=∠FAP， 又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF， ∴∠CAP =50°． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键． 7．如图所示，在中，，是的角平分线，交于点，求证：． 【答案】详见解析 【分析】 在AB上截，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得，证明，得GD=GF，=60°，可证得，即可得GF=GE=GD. 【详解】 证明：在AB上截，连接FG， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC=∠EAB， 又∵AG=AG， ∴， ， ， ∵，AE,BD是ΔABC的角平分线， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴GD=GE. 【点睛】 本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键． 8．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE， 求证：∠ADC+∠B=180º 【答案】见解析. 【分析】 延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证． 【详解】 证明：延长AD过C作CF垂直AD于F， ∵AC平分∠BAD， ∴∠FAC＝∠EAC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC， ∴△AFC≌△AEC(AAS)， ∴AF＝AE，CF＝CE， ∵AD+AB=2AE， 又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE， ∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF， ∴BE＝DF， 在△CDF和△CBE中，， ∴△CDF≌△CBE（SAS）， ∴∠B＝∠FDC， ∵∠ADC＋∠FDC＝180°， ∴∠ADC+∠B=180º． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理． 9．如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点． （1）求证：； （2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E, ①若点在点的右侧，如图2，求证：； ②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】 (1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC; (2) ①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB; ②方法与①相同． 【详解】 解：（1）∵MN∥PQ ∴∠NAB+∠ABQ=180° ∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ ∴ ∴∠BAC+∠ABC==90° 在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180° ∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90° ∴BC⊥AC; （2）①延长AC交PQ于点F ∵BC⊥AC ∴∠ACB=∠FCB=90° ∵BC平分∠ABF ∴∠ABC=∠FBC ∴BC=BC ∴△ABC≌△FBC ∴AC=CF，AB=BF ∵MN∥BQ ∴∠DAC=∠EFC ∵∠ACD=∠FCE ∴△ACD≌△FCE ∴AD=EF ∴AB=BF=BE+EF=BE+AD 即：AB=AD+BE ②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE 如图3，延长AC交PQ点F, ∵MN//PQ ． ∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC ∵AC平分∠NAB ∴∠BAF=∠FAN ∴∠BAF=∠AFB ∴AB=FB ∵BC⊥AC ∴C是AF的中点 ∴AC=FC 在△ACD与△FCE中 ∴ ∴AD=EF ∵AB=FB=BE-EF ∴AD+AB=BE 【点睛】 本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形． 10．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD． 【答案】见解析 【分析】 作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论． 【详解】 解：取BF的中点E，连接AE，AD， ∵∠BAC＝90°， ∴AE＝BE＝EF， ∴∠ABD＝∠BAE， ∵CD⊥BD， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠DAC＝∠DBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴∠EAD＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°， ∴∠AED＝45°， ∴AE＝AD， 在△ABE与△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC， ∴BE＝CD， ∴BF＝2CD． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°． 【答案】见解析 【分析】 在BC上截取BF＝AB，连DF，根据SAS可证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，证明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°． 【详解】 证明：在BC上截取BF＝AB，连DF， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠FBD， 在△ABD和△ＦBD中， ， ∴△ABD≌△FBD（SAS）， ∴DF＝DA＝DE， 又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°， ∴∠FDC＝60°， ∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A ＝180°﹣20°﹣100° ＝60°， 在△DCE和△DCF中， ， ∴△DCE≌△DCF（SAS）， ∴∠ECA＝∠DCB＝40°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由． 【答案】见解析 【分析】 在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题． 【详解】 证明：在AB上找到F使得AF＝AD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠EAD＝∠EAF， ∵在△AEF和△AED中， ， ∴△AEF≌△AED，（SAS） ∴AF＝AD，∠AFE＝∠D， ∵AD∥BC， ∴∠D＋∠C＝180°， ∵∠AFE＋∠BFE＝180° ∴∠C＝∠BFE， ∵BE平分∠BAD， ∴∠FBE＝∠C， ∵在△BEC和△BEF中， ， ∴△BEC≌△BEF，（AAS） ∴BF＝BC， ∵AB＝AF＋BF， ∴AB＝AD＋BC， 即AD＝AB﹣BC． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解题的关键． 13．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小． 【答案】28° 【分析】 过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数． 【详解】 如图，过点E作EF⊥AB于F， ∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB， ∴DE=EF， ∵E是DC的中点， ∴DE=CE， ∴CE=EF， 又∵∠C=90°， ∴点E在∠ABC的平分线上， ∴BE平分∠ABC， 又∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴∠AEB=90°， ∴∠BEC=90°-∠AED=62°， ∴Rt△BCE中，∠CBE=28°， ∴∠ABE=28°． 【点睛】 考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线． 14．如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数． 【答案】40° 【分析】 在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得 【详解】 解：如图，在上截取，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ，， ∴DE=DF， ， 又，， ， ， 在和中， ， 故． 【点睛】 本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 15．如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E． （1）求证：BD＝CE； （2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2 【分析】 （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】 （1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 【点睛】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 16．已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明． 【答案】AB=AC+BD，证明见详解． 【分析】 延长AE，交BD的延长线于点F，先证明AB=BF，进而证明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，问题得证． 【详解】 解：延长AE，交BD的延长线于点F， ∵， ∴∠F=∠CAF， ∵平分， ∴∠CAF=∠BAF， ∴∠F=∠BAF， ∴AB=BF， ∵平分， ∴AE=EF， ∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED， ∴△ACE≌△FDE， ∴AC=DF， ∴AB=BF=BD+DF=BD+AC． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键． 17．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】 （1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论； （2）作，，在上取一点，使，通过证明和得到，从而根据等角对等边判断即可； （3）延长至，使，连接，通过证明得到，再结合即可得出结论． 【详解】 （1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K， ∵，分别是和的角平分线， ∴， ∴平分； （2）证明：如图，作，，在上取一点，使． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接． ∵，分别是和的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键． 18．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E： (1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________. (2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想. (3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想. 【答案】（1）CD=2AD；（2）CD=3AD；（3）BC=AD+BD. 【解析】 【分析】 （1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=2DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论． 【详解】 （1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC， ∴DE=AD， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CD=2DE=2AD， 故答案为：CD=2AD