专题09 分式方程实际应用的三种考法（解析版）（人教版）.docx

专题09 分式方程实际应用的三种考法 类型一、销售利润问题 例1．某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的倍．4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮科销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元． (1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？ (2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的；不多于枯子味饮料的2倍．桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？ 【答案】(1)每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元； (2)当m＝7200时，销售额最大，w最大值是76800元 【解析】(1)解：设每瓶荔枝味饮料的售价为x元，则每瓶桔子味饮料的售价为元， 依题意，得：，解得：x＝8， 经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，∴＝10（元）， 答：每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元． (2)解：设销售荔枝味饮料m瓶， 则销售桔子味饮料（12000﹣m）瓶，依题意，得：，解得：7200≤m≤8000， 设总销售额w元，则 ∵w是m的一次函数，且k＝﹣1＜0，∴当m＝7200时，销售额最大，w最大值是76800元 【变式训练1】某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同． (1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元 (2)购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元 【解析】(1)解：设A款销售单价为x元，则B款销售单价为（）元， 根据题意得：，解得，经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， 答：A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元； (2)解：设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯（120－m）个，总利润为W元， ∵，∴， 根据题意得：， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴时，W最大，且，此时， 答：购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元 【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同． (1)求A，B两种型号汽车的进货单价； (2)销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价xA（万元台）满足函数关系yA＝﹣xA+18；B型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yB＝﹣xB+14．若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元． ①当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？ ②求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元 (2)①B型汽车的最低售价为万元/台，②A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元 【解析】(1)解：设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得：＝， 解得x＝8，经检验x＝8是原分式方程的根，8+2＝10（万元）， 答：A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元； (2)设B型号的汽车售价为t万元/台，则A型汽车的售价为（t+1）万元/台， ①根据题意，得：（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]≥（t﹣8）（﹣t+14），解得：t≥， ∴t的最小值为，即B型汽车的最低售价为万元/台， 答：B型汽车的最低售价为万元/台； ②根据题意，得：w＝（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]+（t﹣8）（﹣t+14） ＝﹣2t2+48t﹣265 ＝﹣2（t﹣12）2+23， ∵﹣2＜0，当t＝12时，w有最大值为23． 答：A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元． 【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商场准备一次购进这两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大利润． （3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这台家电销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元；（2）当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元；（3）当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大；当时，，各种方案利润相同；当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大 【解析】解：设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，， 答：每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元． 设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元， 则， 根据题意得：，解得：， 为正整数，，，，，，，，合理的方案共有种， 即电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台； 电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台； 电冰箱台，空调台； ，，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为：元， 答：当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元． 当厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变， 则利润， 当，即时，随的增大而增大， ，当时，这台家电销售总利润最大，即购进电冰箱台，空调台； 当时，，各种方案利润相同； 当，即时，随的增大而减小， ，当时，这台家电销售总利润最大，即购进电冰箱台，空调台； 答：当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大； 当时，，各种方案利润相同； 当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大． 【变式训练4】为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表： 衬衫价格 甲 乙 进价（元件） 售价（元件） 260 180 若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同． （1）求甲、乙两种衬衫每件的进价； （2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案； （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件． 【详解】解：（1）依题意得：，整理，得：， 解得：，经检验，是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元； （2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件， 根据题意得：，解得：， 为整数，，答：共有11种进货方案； （3）设总利润为，则， ①当时，，随的增大而增大，当时，最大， 此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当时，，， （2）中所有方案获利都一样； ③当时，，随的增大而减小，当时，最大， 此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件． 综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件． 类型二、方案问题 例．某商店决定购进A、B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6﹣m）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价） 【答案】（1）购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元；（2）共有11种进货方案；（3）当；种70件，种30件时可获利最多；当，种60件，种40件时可获利最多 【详解】解：（1）设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意可知： ，解得：，． 答：购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元． （2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意可得： ，解得：， 只能取正整数，，共有11种情况， 故该商店共有11种进货方案分别为：种70件，种30件；种69件，种31件；种68件，种32件；种67件，种33件；种66件，种34件；种65件，种35件；种64件，种36件；种63件，种37件；种62件，种38件；种61件，种39件；种60件，种40件． （3）销售总利润为， 商家出售的纪念品均不低于成本价，， 根据一次函数的性质，当时，即， 随着增大而增大， 当时，取到最大值；即方案为：种70件，种30件时可获利最多； 当时，即，随着增大而减小， 当时，取到最大值；即方案为：种60件，种40件时可获利最多． 【变式训练1】为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同． （1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？ （2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示． （3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元； ①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式． ②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？ 【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；（3）①w＝；②购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元 【解析】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是元，元， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的解， ，答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元； （2）设购买水银体温计盒能和口罩刚好配套， 根据题意，得，则， 答：购买水银体温计盒能和口罩刚好配套； （3）①由题意得：， ，，此时，； 若，则，综上所述：； ②若该校九年级有900名学生，需要购买口罩：（支， 水银体温计：（支， 此时（盒，（盒，则（元． 答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元． 【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同． （1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？ （2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？ 【答案】（1）甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件； 【详解】（1）设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为：元 根据题意，得： ，∴ 当时，，且 ∴是方程的解，∴ ∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元； （2）设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为件 ∵两种牛奶的总数不超过95件，∴ ，∴ ∵销售的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，∴ ∴ ，∴ ，∴ ∴商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件． 【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为万元，今年销售额只有万元． （1）今年这种产品每件售价多少元？ （2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为元；产品乙每件进价为元，售价元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种产品共件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高． 【答案】（1）今年这种产品每件售价为元；（2）有三种方案：方案①：甲产品进货件，乙产品进货件；方案②：甲产品进货件，乙产品进货件；方案③：甲产品进货件，乙产品进货件；方案①的利润更高． 【详解】解：设今年这种产品每件售价为元， 依题意得：，解得：． 经检验：是原分式方程的解． 答：今年这种产品每件售价为元． 设甲产品进货件，则乙产品进货件． 依题意得：， 解得：， 因此有三种方案： 方案①：甲产品进货件，乙产品进货件； 方案②：甲产品进货件，乙产品进货件； 方案③：甲产品进货件，乙产品进货件. 方案①利润：， 方案②利润：， 方案③利润：， ， 方案①的利润更高. 类型三、工程问题 例．为稳步推进网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程． （1）已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ （2）当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程． ①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ ②若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？ 【答案】（1）乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．（2）①36天，②至少40天 【详解】解：（1）设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，题意，得，解方程，得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：乙队单独施工，需要天才能完成该项工程． （2）①由题意得，甲队单独施工天完成该项工程的， 所以甲队单独施工天完成该项工程. 甲队单独施工完成剩余的工程的时间为（天）， 于是甲、乙两队共同施工的时间为（天）． 设乙队单独施工需要天才能完成该项工程， 则，解方程，得. 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：若乙队单独施工，需要天才能完成该项工程． ②设甲队从开始施工到完成该工程需要天， 依题意列不等式，得， 解得： 【变式训练1】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工队前去修筑，要求在规定时间内完成． （1）已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果第五、六施工队先合作20天，剩下的由第五施工队单独施工，则要误期2天完成那么规定时间是多少天？ （2）实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的时，公司又承包了更大的工程，需要调走一个施工队．你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？ 【答案】（1）规定的时间是28天；（2）留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程，见解析． 【详解】解：（1）设规定的时间是x天，根据题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合实际意义． 答：规定的时间是28天； （2）设第五、六施工队合作完成这项工程的用了y天， 根据题意，得，解得， 由第五、六施工队单独完成剩下的工程，所需的时间分别为： （天），（天）， 因为， 所以留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程． 答：留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程． 【变式训练1】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用天时间完成整个工程．当一号施工队工作天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程． （1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ （2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？ 【答案】（1）若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天；（2）若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天 【详解】（1）设二号施工队单独施工需要天， 根据题意得：，解得：， 经检验，是原分式方程的解 ∴若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天； （2）一号、二号施工队同时进场施工需要的天数为x天 根据题意得： ∴ ∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天． 【变式训练2】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米． （1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米； （2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了．设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数． 【答案】（1）道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米；（2）乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天 【详解】解：（1）设道路拓宽里程数为千米，则道路硬化里程数为千米， 依题意，得：，解得：， ． 答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米． （2）设乙工程队平均每天施工米，则甲工程队技术改进前每天施工米，技术改进后每天施工点米，依题意，得：乙工程队施工天数为天， 甲工程队技术改造前施工天数为：天， 技术改造后施工天数为：天． 依题意，得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天． 【变式训练3】某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工． （1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米． （2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由． 【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少 【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米， 根据题意，得：，解得：， 检验，当时，，∴原分式方程的解为：，， 答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米； （2）设方案一所用时间为：， 方案二所用时间为，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴方案二所用的时间少． 【变式训练4】2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，某市派出两个抢险救灾工程队赶到汶川支援，甲工程队承担了2400米道路抢修任务，乙工程队比甲工程队多承担了600米的道路抢修任务，甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40米，结果两工程队同时完成任务． 问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米． （1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则用含x的式子表示：甲工程队每小时抢修道路　 　米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为　 　小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为　 　小时． （2）列出方程，完成本题解答． 【答案】（1）（x﹣40）；；；（2）甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修道路200米 【详解】（1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则甲工程队每小时抢修道路（x﹣40）米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为＝小时． 故答案为：（x﹣40）；；． （2）依题意，得：＝， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣40＝160． 答：甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修道路200米．