第十二章 全等三角形(B·能力提升)-【过关检测】2022-2023学年八年级数学上学期单元测试卷(人教版)(解析版).docx

第十二章 全等三角形 (B·能力提升) 一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1．（4分）下列各组两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误． B、两个图形能够完全重合，故本选项正确； C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误； D、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误； 故选：B． 2．（4分）下列说法中正确的是（　　） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形 C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等． 故选：C． 3．（4分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．72° B．60° C．50° D．58° 【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°． ∵图中的两个三角形全等， ∴∠1＝∠2＝58°． 故选：D． 4．（4分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 5．（4分）如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【解答】解：在△ADC和△ABC中， AD=ABDC=BCAC=AC， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AC就是∠DAB的平分线． 故选：A． 6．（4分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．7 C．5 D．4 【解答】解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF＝DE＝2， ∴S△BCE=12BC•EF=12×5×2＝5， 故选：C． 7．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（　　） A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF 【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE， ∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 8．（4分）下列各组条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF C．AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E＝90° 【解答】解：A．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； B．AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； C．AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意； D．∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，符合两直角三角形全等的HL，能推出Rt△ABC≌△RtDEF，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，延长中线AD至E，使DE＝AD，连结CE，则△CDE的周长可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【解答】解：在△ADB和△EDC中， AD=ED∠ADB=∠CDEBD=CD， ∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴AB＝EC＝4， ∵AD+CD＞AC＝7， ∴CD+DE＞7， ∴△CDE的周长大于4+7＝11， 故选：D． 10．（4分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A．90° B．120° C．135° D．150° 【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中， AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=AE， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠1＝∠4（或观察图形得到∠1＝∠4）， ∵∠3+∠4＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， 又∵∠2＝45°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°． 故选：C． 11．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．1 B．6 C．3 D．12 【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示： ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， 又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°， ∠ADB+∠A+∠ABD＝180° ∠ADB＝∠C，∠A＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD是∠ABC的角平分线， 又∵AD⊥AB，DH⊥BC， ∴AD＝DH， 又∵AD＝3， ∴DH＝3， 又∴点D是直线BC外一点， ∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3， 即DP长的最小值为3． 故选：C． 12．（4分）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（　　）个．（不含△ABC） A．28 B．29 C．30 D．31 【解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC， 当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等， ∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等， 故选：D． 二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分） 13．（4分）已知：△ABC≌△DEF，若∠ABC＝65°，则∠DEF＝　65°　． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠ABC＝65°， ∴∠DEF＝∠ABC＝65°， 故答案为：65°． 14．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是 　5　． 【解答】解：过D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝2， ∴DE＝CD＝2， ∴△ABD的面积=12×AB×DE=12×5×2＝5， 故答案为5． 15．（4分）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 　16米　． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABP＝∠CDP， ∵PD⊥CD， ∴∠CDP＝90°， ∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴PD＝PB， 在△ABP与△CDP中， ∠ABP=∠CDPPB=PD∠APB=∠CPD， ∴△ABP≌△CDP（ASA）， ∴CD＝AB＝16（米）， 故答案为：16米． 16．（4分）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　17.5°　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为　70°2n−1　． 【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B， ∴∠BA1A=12（180°﹣∠B）=12（180°﹣40°）＝70°， ∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1=12∠BA1A=12×70°＝35°； 同理可得，∠DA3A2=14×70°＝17.5°，∠EA4A3=18×70°， 以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数=70°2n−1． 故答案为：17.5°，70°2n−1． 三．解答题（共8小题，满分86分） 17．（8分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BD＝CF，AB＝EF，AC＝ED．求证：△ABC≌△EFD． 【解答】证明：∵BD＝CF， ∴BD+DC＝CF+DC． ∴BC＝FD． 在△ABC和△EFD中， AB=EFAC=EDBC=FD， ∴△ABC≌△EFD（SSS）． 18．（8分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE． 【解答】证明：∵FC∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F， 在△ADE与△CFE中： ∵∠A=∠FCE∠ADE=∠FDE=EF， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． 19．（10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC． 【解答】证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BED和△CFD都是直角三角形， 在△BED和△CFD中，BD=CDBE=CF， ∴△BED≌△CFD（HL）， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC（等角对等边）． 20．（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB． （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC． 在Rt△CDF与Rt△EDB中， DF=DBDC=DE， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB． （2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE． 在Rt△ACD与Rt△AED中， AD=ADCD=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x， 解得x＝2，即CF＝2． 21．（12分）已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）求证：AM平分∠BAD； （2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ （3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果． 【解答】（1）证明：作ME⊥AD于E， ∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC， ∴ME＝MC， ∵M为BC中点， ∴MB＝MC， 又∵ME＝MC， ∴ME＝MB， 又∵ME⊥AD，MB⊥AB， ∴AM平分∠DAB． （2）解：DM⊥AM， 理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵DC∥AB， ∴∠CDA+∠BAD＝180°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠DMA＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°， 即DM⊥AM． （3）解：CD+AB＝AD， 理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD， ∴∠C＝∠DEM＝90°， 在Rt△DCM和Rt△DEM中 DM=DMEM=CM ∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL）， ∴CD＝DE， 同理AE＝AB， ∵AE+DE＝AD， ∴CD+AB＝AD． 22．（12分）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上． ①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE　＝　CF； ②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件 　α+∠BCA＝180°　，使①中的结论仍然成立，并说明理由； （2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由． 【解答】解：（1）∵∠BEC＝∠CFA＝α＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝180°﹣∠BEC＝90°． 又∵∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝90°， ∴∠CBE＝∠ACF． 在△BCE和△CAF中， ∠BEC=∠CFA，∠CBE=∠ACF，BC=AC． ∴△BCE≌△CAF（AAS）． ∴BE＝CF． （2）α+∠BCA＝180°，理由如下： ∵∠BEC＝∠CFA＝α， ∴∠BEF＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α． 又∵∠BEF＝∠EBC+∠BCE， ∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣α． 又∵α+∠BCA＝180°， ∴∠BCA＝180°﹣α． ∴∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝180°﹣α． ∴∠EBC＝∠FCA． 在△BCE和△CAF中， ∠CBE=∠ACF，∠BEC=∠CFA，BC=CA． ∴△BCE≌△CAF（AAS）． ∴BE＝CF． （3）EF＝BE+AF，理由如下： ∵∠BCA＝α， ∴∠BCE+∠ACF＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α． 又∵∠BEC＝α， ∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α． ∴∠EBC＝∠FCA． 在△BEC和△CFA中， ∠EBC=∠FCA，∠BEC=∠FCA，BC=CA． ∴△BEC≌△CFA（AAS）． ∴BE＝CF，EC＝FA． ∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF． 23．（12分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　1：1　； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　9　． 【解答】解：（1） 过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∴SABD：S△ACD＝（12×BD×AE）：（12×CD×AE）＝1：1， 故答案为：1：1； （2） 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴SABD：S△ACD＝（12×AB×DE）：（12×AC×DF）＝m：n； （3） ∵AD＝DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝6， ∴S△ABD＝6， ∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1， ∴S△ACD＝3， ∴S△ABC＝3+6＝9， 故答案为：9． 24．（14分）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒： （1）PC＝　（10﹣2t）　cm．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？ （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP＝2t， 则PC＝（10﹣2t）cm； 故答案为：（10﹣2t）； （2）当△ABP≌△DCP时， 则BP＝CP＝5， 故2t＝5， 解得：t＝2.5； （3）①如图1，当△ABP≌△QCP，则BA＝CQ，PB＝PC， ∵PB＝PC， ∴BP＝PC=12BC＝5， 2t＝5， 解得：t＝2.5， BA＝CQ＝6， v×2.5＝6， 解得：v＝2.4（cm/秒）． ②如图2，当△ABP≌△PCQ，则BP＝CQ，AB＝PC． ∵AB＝6， ∴PC＝6， ∴BP＝10﹣6＝4， 2t＝4， 解得：t＝2， CQ＝BP＝4， v×2＝4， 解得：v＝2； 综上所述：当v＝2.4cm/秒或2cm/秒时△ABP与△PQC全等．