专题02 运算方法之因式分解重要方法综合难点专练（解析版）（人教版）.docx

专题02运算方法之因式分解重要方法综合难点专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．多项式与多项式的公因式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式是． 【详解】 解：∵ 又∵ ∴多项式与多项式的公因式是． 故选A． 【点睛】 本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式． 2．若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（ ） A．1 B．7 C．11 D．13 【答案】B 【分析】 将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可． 【详解】 解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c）， 所以a=4，b=5，c=-3， 所以a-c=4-（-3）=7， 故选：B． 【点睛】 本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键． 二、填空题 3．分解因式：a2b-18ab+81b＝_____． 【答案】b(a-9) 2． 【分析】 先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】 解：a2b-18ab+81b， = b(a2-18a+81) = b(a-9) 2． 故答案为： 【点睛】 本题考查了因式分解，解题关键是明确因式分解的顺序：先提取公因式，再用公式，并能熟练运用相关知识分解；注意：因式分解要彻底． 4．正实数，满足，则______． 【答案】1：2 【分析】 先把两边同时平方，化简得，再根据＞0，，为正实数，可得，进而即可求解． 【详解】 解：∵， ∴，即：， ∴， ∵＞0，，为正实数， ∴a＞＞0， ∴， ∴， ∴1：2． 故答案是：1：2． 【点睛】 本题主要考查整式的运算，掌握完全平方公式以及“十字相乘”因式分解，是解题的关键． 5．把多项式因式分解，结果为________． 【答案】 【分析】 直接提取公因式x，进而利用十字相乘法分解因式得出答案． 【详解】 解： ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键． 三、解答题 6．（1）计算： ； （2）计算：； （3）因式分解：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据整式乘除法和加减法的性质计算，即可得到答案； （2）根据整式乘法和加减法的性质计算，即可得到答案； （3）首先提取公因式，再根据完全平方公式分解，即可完成求解． 【详解】 （1） ； （2） ； （3） ． 【点睛】 本题考查了整式运算和因式分解；解题的关键是熟练掌握整式混合运算的法则、以及提取公因式和完全平方公式，从而完成求解． 7．分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 通过提公因式和公式法及十字相乘法求解． 【详解】 解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【点睛】 本题考查因式分解，解题关键是因式分解多种方法综合运用，注意分解要彻底． 8．从三位数m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”．数m的“生成数”之和与22的商记为G（m），例如m＝123，G（123）＝＝6． （1）直接写出G（234）＝　 　；并证明：对于任意的三位数n，G（n）为整数； （2）数p，q是两个三位数，他们都有“生成数”，p＝100a+40+b（1≤a≤9，1≤b≤9且a≠b），q＝130+c（1≤c≤3），规定：k＝，若G（p）•G（q）＝56，求k的最大值． 【答案】（1）6，见解析；（2）k的最大值为 【分析】 （1）根据题目所给的例子，不难求出G（234）的结果；可设这个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，据题意列出式子进行求解即可； （2）由题意可得G（p）＝a+4+b，G（q）＝1+3+c＝c+4，再结合G（p）•G（q）＝56可得：c＝3，a+b＝4，再分析即可得解． 【详解】 解：（1） 故答案为9； 证明：设这个三位数n百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，依题意得： 故对于任何的三位数n，G（n）为整数； （2）根据（1）可得：G（p）＝a+4+b，G（q）＝1+3+c＝c+4， ∵G（p）•G（q）＝56， ∴（a+4+b）（c+4）＝56， ∵a，b，c均为整数，1≤a≤9，1≤b≤9，且a≠b，1≤c≤3， ∴c+4＝7，a+b+4＝8， ∴c＝3，a+b＝4， ∴p＝143或341，q＝133， ∵， ∴k的最大值为． 【点睛】 本题考查的是新定义问题，同时考查了列代数式，二元一次方程组的正整数解问题，准确的理解新定义的含义是解题的关键. 9．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式x2-9<0 解：∵，∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ① ② 解不等式组①得， ，解不等式组②无解 ∴原不等式 的解集为 （1）不等式 解集为 ； （2） 不等式 解集为 ； （3） 解不等式． 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】 （1）利用平方差公式进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （2）利用提公因式法进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （3）根据有理数的除法法则，异号得负，对分子和分母的符号进行讨论，列出对应不等式组，即可得出答案． 【详解】 （1）∵，∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ① ②， 解不等式组①得， 解不等式组②得： ∴原不等式 的解集为或； （2）∵，∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ① ② 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为； （3）由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ① ② 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为． 【点睛】 本题考查一元一次不等式组的应用和因式分解，解题关键是深刻理解“两数相乘，同号得正，异号得负”，转化题目不等式为不等式组． 10．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。 过程为：； 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边a，b，c满足，判断的形状. 【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形 【分析】 （1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可． 【详解】 解：（1）9x2-6xy+y2-16 =（3x-y）2-42 =（3x-y+4）（3x-y-4）； （2）∵a2-ab-ac+bc=0 ∴a（a-b）-c（a-b）=0， ∴（a-b）（a-c）=0， ∴a=b或a=c或a=b=c， ∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形． 【点睛】 此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键． 11．（阅读学习） 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． （学以致用） 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． （拓展应用） 已知：，．求：的值． 【答案】（1）；（2）； 【拓展应用】． 【分析】 此题根据因式分解的常用方法，观察各式，参照例子把分为再提取公因式分解即可，把化为再利用完全平方和平方差分解； 把化为再因式分解代入即可． 【详解】 （1） （2） 【拓展应用】 ∵，， 代入得：原式=． 【点睛】 此题考查了因式分解所涉及的相关知识：完全平方公式，平方差公式，提取公因式法因式分解和分组结合等，也考查了学生对题文的理解能力． 12．第一步：阅读村料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有 ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 第二步：理解知识，尝试填空： （1） 第三步：应用知识，因式分解： （2） x2-(p+q)x+pq； （3）． 第四步：提炼思想，拓展应用 （4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）（4）等边三角形，理由见详解． 【分析】 （1）如果把一个多项式各项分组并提出公因式后，它们的另一个因式刚好相同，那么这个多项式即可利用分组分解法来因式分解，据此即可求解； （2）先展开（p＋q）x，再利用分组分解法来因式分解，据此即可求解； （3）直接利用分组分解法来因式分解即可求解； （4）根据所给等式，先移项，再利用完全平方公式和等边三角形的判定求证即可． 【详解】 解：（1） （2） （3） （4）等边三角形，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∴这个三角形是等边三角形． 【点睛】 本题考查因式分解—提公因式法，因式分解—分组分解法，完全平方公式，等边三角形的判定，解题的关键是读懂材料并熟知因式分解的方法． 13．阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：； （2）已知等腰三角形的三边a、b、c均为整数，且，则满足该条件的等腰三角形共有________个，请说明理由． 【答案】（1）；（2）2，理由见解析 【分析】 （1）将前两项分一组运用平方差公式分解，将后两项分为一组提取公因式，最后再提取公因式即可分解； （2）先对原等式左边进行因式分解，再分类讨论即可． 【详解】 （1）原式== （2）∵ ∴， 令，，即：， ∵a、b、c均为整数， ∴均为整数， ①当时，即，，，不成立，舍去； ②当时，即，，，不成立，舍去； ③当时，即，，，不成立，舍去； ④当时，即，，，成立，此时； ⑤当时，即，，，成立，此时，； ⑥当时，即，，不成立，舍去； 综上，共有2种情况满足题意条件； 故答案为：2． 【点睛】 本题考查分组分解法进行因式分解及其实际应用，准确对原式进行分组是分解时候的关键，对于第二小问需要对符合条件的情况进行分类讨论，做到不重不漏是关键． 14．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）： （1）﹣x2y+6xy﹣9y； （2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2； （3）1﹣x2﹣y2+2xy． 【答案】（1）﹣y（x﹣3）2；（2）（5x+4y）（x+8y）；（3）（1+x﹣y）（1﹣x+y） 【分析】 （1）先提取公因式，再按照完全平方公式分解； （2）分别把前后两项看成某项的平方并根据平方差分解因式，然后对每个因式去括号及合并同类项进行化简； （3）首先把后面三项看成一组并化成完全平方式，然后与第一项组合并利用平方差公式分解后对每个因式去括号化简即可． 【详解】 解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y ＝﹣y（x2﹣6x+9） ＝﹣y（x﹣3）2； （2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2； ＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）] ＝（5x+4y）（x+8y）； （3）1﹣x2﹣y2+2xy ＝1﹣（x2+y2﹣2xy） ＝1﹣（x﹣y）2 ＝[1+（x﹣y）][1﹣（x﹣y）] ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）． 【点睛】 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键． 15．先阅读下列材料，再解答问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式和．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了. 解答过程如下： 这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法． 利用上述思想方法，把下列各式分解因式： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）将1、2项，3、4项分别结合分别分解因式，再进行组间的公因式提取便可达目的； （2）原式分成和-9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ． 【点睛】 本题考查了分组分解法，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题． 16．阅读材料：若，求x，y的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 根据上述材料，解答下列问题： （1），求的值； （2），，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）将方程的左边分组配方，再根据偶次方的非负性，可求得的值，最后代入即可解题； （2）由整理得，，代入已知等式中，利用完全平方公式化简，最后由偶次方的非负性解题即可 【详解】 解：（1）∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】 本题考查配方法的应用，涉及完全平方公式化简、偶次方的非负性，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17．已知a+b=-2，a-b=2，把（a2+b2-1）2-4a2b2先分解因式，再求值． 【答案】，9 【分析】 综合乘法公式进行因式分解，然后再整体代入求值即可． 【详解】 解： = = =， 把代入得： 原式=． 【点睛】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 18．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法． 如①和②： ① ② 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：； （2）两个不相等的实数m，n满足．若，，求和k的值． 【答案】（1）；（2），． 【分析】 （1）先分组得，再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解； （2）由已知，两式相减得到，左边分解后可得到，再由已知，两式相加结合即可求得的值． 【详解】 解：（1） ； （2）∵，， 两式相减得， ∴，即， 因式分解得， ∵， ∴即， ∵，， 两式相加得，即， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键． 19．阅读理解：下面是小明同学分解因式ax+ay+bx+by的方法，首先他将该多项式分为两组得到 （ax+ay）+ （bx+by）．然后对各组进行因式分解，得到a （x+y）+ b （x+y），结果发现有公因式（x+y），提出后得到 （x+y） （a+b）． （1）小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式进行因式分解，则她最后提出的公因式是 ； （2）请同学们也尝试用小明的方法对多项式进行因式分解； （3）若小强同学将多项式进行因式分解时发现有公因式（x﹣3），求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）由题意，分别提取公因式m和5，再整体提取公因式（m+n）即可； （2）由题意，分别利用平方差公式和提公因式法分解，然后再提取公因式（a+b）即可； （3）由分组分解法、提公因式法、以及完全平方公式法进行分解因式，即可求出答案． 【详解】 解：（1）根据题意， = =； 故答案为：； （2）根据题意， = =； （3）根据题意， ∵把多项式进行因式分解时有公因式（x﹣3）， ∴= ∴多项式中有公因式， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了因式分解的分组分解法、公式法和提取公因式法，以及待定系数法求相关字母的值，这都是基本的计算能力，难度不大． 20．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式： 甲：x2＋2ax﹣3a2 ＝x2＋2ax＋a2﹣a2﹣3a2 ＝（x＋a）2﹣4a2（分成两组） ＝（x＋a）2﹣（2a）2 ＝（x＋3a）（x﹣a）（平方差公式） 乙：a2﹣b2﹣c2＋2bc ＝a2﹣（b2＋c2﹣2bc）（分成两组） =a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a＋b﹣c）（a﹣b＋c）（再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）x2﹣4x＋3 （2）x2-2xy-9+y2 （3）x2+2xy+y2-6x-6y+9 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）先根据完全平方公式进行变形，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可； （2）先分组，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可； （3）先分组，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】 解：（1）x2-4x+3 ； （2）x2-2xy-9+y2 ； （3）x2+2xy+y2-6x-6y+9 ． 【点睛】 本题考查了因式分解-分组分解法，完全平方公式和平方差公式等知识点，注意：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2，a2-b2=(a+b)(a-b)． 21．整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形． 例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解． 又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解． 有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解． 甲： （分成两组） （分别提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） 请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解 问题一：因式分解： （1）； （2）． 问题二：探究 对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系． 【答案】问题一：因式分解：（1）（2）；问题二：探究，的数量关系． 【分析】 问题一：因式分解： （1）按系数成比分组提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理为即可； （2）按完全平方公式分组然然后利用公式变形为再利用平方差公式因式分解即可； 问题二：探究 先求，再求，由，可得，合并同类项，由，对任意有理数、都成立，可得即可． 【详解】 解：问题一：因式分解： （1）； =， =， =， =； （2）． =， =， =， =； 问题二：探究 ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，对任意有理数、都成立， ∴， ∴，的数量关系． 【点睛】 本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关系，掌握分组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找出m与n关系是解题关键． 22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为的大正方形，块是边长都为的小正方形，块是长为，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】 （1）根据题意可知代数式表示的是大长方形的面积，利用长方形的面积公式即可解答； （2）①：根据题目中的条件，列出大长方形的周长即可求解；②根据题意列出方程组，求出的值，表示出空白部分的面积的代数式求解即可． 【详解】 解：（1）大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为的大正方形，块是边长都为的小正方形，块是长为，宽为的相同的小长方形， 大长方形的面积为：（）； 大长方形的长为，宽为， ， 故答案是：； （2）①根据大长方形的周长计算公式及由题意，得 解得：； ②由题意得， ， 解得：， 空白部分的面积为：． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：仔细观察图形，找到面积关系及周长的表示方法． 23．阅读下列材料：对于多项式x2＋x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x2＋x﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x＋2），于是我们可以得到：x2＋x﹣2＝（x﹣1）（x＋2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx＋n），解得m＝2，n＝1，于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x＋1）． 请你根据以上材料，解答以下问题： （1）当x＝　 　时，多项式8x2﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x2﹣x﹣7有因式 　 　，从而因式分解8x2﹣x﹣7＝　 　； （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式： ①3x2＋11x＋10； ②x3﹣21x＋20 【答案】（1）1，x−1，（x−1）（8x＋7）；（2）①（x＋2）（3x＋5）；②（x-1）（x-4）（x+5）． 【分析】 （1）仿照定义，当x＝1时确定8x2﹣x﹣7＝0，进而即可求解； （2）①找到当x＝−2时，3x2＋11x＋10＝0，进而即可求解；②找到当x＝1时，x3﹣21x＋20＝0，当x＝4时，x3﹣21x＋20＝0，当x＝-5时，x3﹣21x＋20＝0，进而即可求解． 【详解】 解：（1）当x＝1时，8x2﹣x﹣7＝0， 设8x2﹣x﹣7＝（x−1）（mx＋n），解得m＝8，n