专题02运算能力课之分式方程难点专练（解析版）（人教版）.docx

专题02运算能力课之分式方程难点专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2021·山东）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4 【答案】B 【分析】 先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为负数得出不等式，且不等于增根，再求解． 【详解】 解：∵解方程， 去分母得：mx−2（x＋1）＝0， 整理得：（m−2）x＝2， ∵方程有解， ∴x＝， ∵分式方程的解为负数， ∴＜0， 解得：m＜2， 当，原方程无解， 故， ∴m的取值范围是：m＜2且m≠0． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念． 2．（2021·山西晋中市·八年级期末）关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．0 【答案】C 【分析】 先根据解分式方程的步骤解分式方程，再根据方程的增根的定义求参数的值. 【详解】 解：去分母得：m+3＝x﹣2． ∴m＝x﹣5． ∵方程有增根． ∴x﹣2＝0． ∴x＝2． ∴m＝2﹣5＝﹣3． 故选C． 【点睛】 本题主要考查解含参数分式方程和增根问题，解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤和增根问题. 二、填空题 3．（2021·陕西八年级期末）若关于x的分式方程＝1﹣的解为非负数，则m的取值范围是 ___． 【答案】m≤5且m≠3 【分析】 既然提到了方程的解，因此先求出分式方程的解，再根据解为非负数得不等式，解不等式即可求得m的取值范围． 【详解】 方程两边都乘(x-2)得：3=x-2+m 解得：x=5-m 由题意得：5-m≥0 解得：m≤5 ∵5-m≠2 ∴m≠3 ∴m≤5且m≠3 故答案为：m≤5且m≠3. 【点睛】 本题考查了分式方程的解法、解不等式等知识，关键是求得分式方程的解． 4．（2021·河南八年级期末）要使关于x的分式方程解为正数，且使关于x的一次函y＝（a+5）x+3不经过第四象限，则a的取值范围是________． 【答案】﹣5＜a＜2且a≠﹣4 【分析】 根据分式方程的解法得到x＝，由解为正数，可以求得符合要求的a的取值，再根据关于x的一次函y＝（a+5）x+3不经过第四象限得到a+5＞0，从而可以解答本题． 【详解】 解：， ∴x＝， ∵关于x的分式方程解为正数， ∴＞0，且≠4， ∴a＜2且a≠﹣4， 又∵关于x的一次函数y＝（a+5）x+3不经过第四象限， ∴a+5＞0， ∴a＞﹣5， ∴a的取值范围是﹣5＜a＜2且a≠﹣4， 故答案为：﹣5＜a＜2且a≠﹣4． 【点睛】 本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答，注意分式方程的解要使得原分式有意义． 5．（2021·江苏常州市·八年级期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数的值是_________． 【答案】或 【分析】 先解分式方程，当时，可得再根据为正整数，且 为整数，逐一分析可得答案. 【详解】 解： ， 当时， 为正整数，且 为整数， 是的因数， 当时， 当时，，舍去， 当时， 当时，，舍去， 所以的值为：或， 故答案为：或 【点睛】 本题考查的是解分式方程，根据分式方程的解为正整数求解字母系数的值，正确分析各个限制性的条件，理解题意是解题的关键. 三、解答题 6．（2021·重庆巴蜀中学八年级期中）解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）无解；（2），；（3）， 【分析】 （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）移项，方程两边除以3，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （3）先求出的值，再代入公式求出答案即可． 【详解】 解：（1）原方程可化为：， 方程两边同时乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 检验：当时，，所以是原方程的增根． 所以原方程无解． （2） 或 解得：， （3） ∵， ∴， 解得：，． 【点睛】 本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能选择适当的方法解一元二次方程是解（2）（3）的关键． 7．（2021·西安市铁一中学）“阅读陪伴成长，书香润泽人生．”我校为了开展学生阅读活动，计划从书店购进A，B两类图书若本，每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1200元购进的A类图书和用900元购进的B类图书册数相同． （1）求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？ （2）根据学校实际情况，需从书店一次性购买A，B两类图书共300册，购买时得知，A类图书九折优惠，B类图书按原价出售，若该校此次用于购买A，B两类图书的总费用不超过5100元，那么最多可以购买多少本A类图书？ 【答案】（1）每本A类图书的价格是20元，每本B类图书的价格是15元；（2）最多可以购买200本A类图书． 【分析】 （1）设每本A类图书的价格是x元，则每本B类图书的价格是（x−5）元．依据“用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同”列出方程并解答； （2）设该校A类图书y本，则根据题中的已知条件“该校此次用于购买A、B两类图书的总费用不超过5100元”列出不等式，并解答． 【详解】 解：（1）设每本A类图书的价格是x元，则每本B类图书的价格是（x−5）元， 根据题意可得：， 解得：x＝20， 经检验x＝20是方程的解，所以x−5＝20−5＝15， 答：每本A类图书的价格是20元，每本B类图书的价格是15元； （2）设该校A类图书y本，则B类图书（300−y）， 根据题意可得：20×90%y＋15×（300−y）≤5100， 解得：y≤200， 答：最多可以购买200本A类图书． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 8．（2021·河南八年级期末）请阅读下列材料并回答问题： 在解分式方程时，小明的解法如下： 解：方程两边同乘，得 ．① 去括号，得．② 解得． 检验：当时，．③ 所以是原分式方程的解．④ （1）你认为小明在哪里出现了错误___________；（只填序号） （2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其它重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项； （3）写出上述分式方程的正确解法． 【答案】（1）①②；（2）见解析；（3）见解析 【分析】 （1）观察解方程过程，找出错误步骤即可； （2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，写出三条注意事项即可； （3）根据解分式方程的步骤去分母，去括号。移项，合并同类项，系数化为1，检验正确解答即可． 【详解】 解：（1）①② （2）三条注意事项： 去分母时注意方程中的每项都要乘最简公分母 去括号时，注意正确运用去括号法则 解分式方程求出要进行检验． （3）正确解法为： 去分母，得． 去括号，得． 移项合并，得．解得． 检验：当时，． 所以是分式方程的解． 【点睛】 本题主要考查了解分式方程，解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤. 9．（2021·山东）解分式方程和不等式组 （1）； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）（2）；1，0 【分析】 （1）先去分母转换为整式方程，然后求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分求出解集，即可确定整数解． 【详解】 （1）， 去分母得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为1，0． 【点睛】 本题主要考查解分式方程，解一元一次不等式组，注意分式方程需要验根，求出不等式组的解集是解题的关键． 10．（2021·江苏八年级期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）无解 【分析】 （1）将方程两边同时乘以分母的最简公分母约去分母化为整式方程求解，最后再检验； （2）将方程两边同时乘以分母的最简公分母约去分母化为整式方程求解，最后再检验； 【详解】 （1） ， 解：方程两边同时乘以可得： ， ， ， ， 检验：当时，， 所以是原方程的解． （2） 解：方程两边同时乘以可得： ， ， ， 检验：当时，， 是增根，所以原分式方程无解． 【点睛】 本题主要考查解分式方程的方法，解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤. 11．（2021·河南八年级期末）（1）分解因式：a3b﹣2a2b2+ab³； （2）解不等式组，并写出它的整数解； （3）解分式方程：． 【答案】（1）ab（a﹣b）2；（2）1＜x＜，2，3；（3） 【分析】 （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可； （3）方程两边都乘以x（x﹣3）得出（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝2x，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】 解：（1）a3b﹣2a2b2+ab³ ＝ab（a2﹣2ab+b2） ＝ab（a﹣b）2； （2）， 解不等式①，得x＞1， 解不等式②，得x＜， 所以不等式组的解集是1＜x＜， 所以不等式组的整数解是2，3； （3）， 方程两边都乘以x（x﹣3），得（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝2x， 解得：x＝， 检验：当x＝时，x（x﹣3）≠0，所以x＝是方程的解， 即原方程的解是x＝． 【点睛】 本题考查因式分解、一元一次不等式组、分式方程，解题的关键是熟知相关知识点． 12．（2021·河南周口市·）某药店销售A，B两种口罩，每个A种口罩比B种进价多0.5元，用240元购进A种口罩与用180元购进B种口罩的数量相同． （1）求A，B两种口罩每个的进价； （2）药店计划购进A，B两种口罩共10000个，其中A种口罩的进货量不多于3000个，且B种口罩进货量不超过A种口罩进货量的3倍．设购进A种口罩m个． ①求m的取值范围； ②若A种口罩每个售价3元，B种口罩每个售价2元，药店决定从销售A种口罩的利润中按每个捐款a（0.4＜a＜0.6）元给红十字会，作为慈善基金．设药店售完10000个口罩并捐款后获得的利润为W元，求药店获得利润W最大时的进货方案． 【答案】（1）A口罩每个的进价2元，则B口罩每个的进价1.5元；（2）①m的取值范围为2500≤m≤3000；②当0.4＜a＜0.5时，药店购A种口罩3000个，B种口罩7000个；当a＝0.5时，药店进A种口罩和B种口罩在符合题意的购买范围内的整数均可；当0.5＜a＜0.6时，药店购A种口罩2500个，B种口罩7500个 【分析】 （1）设A口罩每个的进价x元，则B口罩每个的进价(x-0.5)元，根据“用240元购进A种口罩与用180元购进B种口罩的数量相同”列分式方程解答即可； （2）①根据题意列不等式解答即可；②根据题意得出W与a的函数关系式，再根据一次函数的性质讨论解答即可． 【详解】 解：（1）设A口罩每个的进价x元，则B口罩每个的进价（x﹣0.5）元，根据题意， 得， 解得x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解并且符合题意． ∴B口罩每个的进价2﹣0.5＝1.5（元）， 答：A口罩每个的进价2元，则B口罩每个的进价1.5元． （2）①依题意得，10000﹣m≤3m， 解得m≥2500， ∵m≤3000， ∴m的取值范围为2500≤m≤3000； ②由①，得2500≤m≤3000； 依题意，得W＝（3﹣2﹣a）m+（2﹣1.5）（10000﹣m）＝（0.5﹣a）m+5000． （Ⅰ）当0.4＜a＜0.5时， ∵0.5﹣a＞0， ∴W随m的增大而增大， ∴当m＝3000时，W取最大值； （Ⅱ）当a＝0.5时，W的值为5000； （Ⅲ）当0.5＜a＜0.6时， ∵0.5﹣a＜0， ∴W随m的增大而减小， ∴当m＝2500时，W取最大值； 综上所述，当0.4＜a＜0.5时，药店购A种口罩3000个，B种口罩7000个； 当a＝0.5时，药店进A种口罩和B种口罩在符合题意的购买范围内的整数均可； 当0.5＜a＜0.6时，药店购A种口罩2500个，B种口罩7500个． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式以及一次函数解析式． 13．（2021·云南八年级期末）某汽车销售公司销售某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也不断下降，今年12月份比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年12月份款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万且不少于100万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？哪种方案更省钱？ 【答案】（1）今年12月份A款汽车每辆售价9万元（2）有4种进货方案，购进A款汽车7辆、B款汽车8辆的方案更省钱 【分析】 （1）设今年12月份A款汽车每辆售价m万元，则去年同期A款汽车每辆售价（m＋1）万元，由今年12月份的销售数量＝去年同期的销售数量，列出分式方程，即可得出结果； （2）设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车（15−x）辆，由题意列出不等式，求解并测算即可得出结果． 【详解】 解：（1）设今年12月份A款汽车每辆售价m万元， 则去年同期A款汽车每辆售价（m＋1）万元， 由题意得：， 解得：m＝9， 经检验，m＝9是原方程的根且符合题意， 答：今年12月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车（15−x）辆， 由题意得：100≤7.5x＋6（15−x）≤105， 解得：≤x≤10， ∵x的正整数解为：7，8，9，10， ∴共有4种进货方案： 方案一，购进A款汽车7辆、B款汽车8辆，资金为：7.5×7＋6×8＝100.5（万元）； 方案二，购进A款汽车8辆、B款汽车7辆，资金为：7.5×8＋6×7＝102（万元）； 方案三，购进A款汽车9辆、B款汽车6辆，资金为：7.5×9＋6×6＝103.5（万元）； 方案四，购进A款汽车10辆、B款汽车5辆，资金为：7.5×10＋6×5＝105（万元）； ∴购进A款汽车7辆、B款汽车8辆的方案更省钱． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识；找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键． 14．（2021·河南）甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂少用4天． （1）甲乙两厂每天各加工多少套防护服？ （2）已知甲乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是150元和120元，疫情期间，某医院急需3000套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有别的任务，剩下的任务只能由乙厂单独完成，如果总加工费用不超过6350元，那么甲厂至少要加工多少天？ 【答案】（1）甲工厂每天加工75套防护服，乙工厂每天加工50套防护服；（2）甲厂至少要加工29天． 【分析】 （1）设乙厂每天加工x套防护服，甲每天加工1.5x套，根据“甲厂所用的时间+4天=乙厂所用的时间”列出方程求解； (2)设甲厂至少要加工a天，乙厂加工了b天，再由“甲厂完成的工作量+乙厂完成的工作量=3000套”及“甲的费用+乙的费用≤6360”建立方程和不等式求解. 【详解】 解：（1）设乙工厂每天加工x套防护服，则甲工厂每天加工1.5x套防护服， 依题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×50＝75． 答：甲工厂每天加工75套防护服，乙工厂每天加工50套防护服． （2）)设甲至少加工a天，乙厂加工了b天，由题意得： 由式得：，代入中， ∴ 解之得： 又∵a为整数 ∴a的最小值为29 故甲至少要加工29天. 答：甲至少要加工29天. 【点睛】 本题是分式方程，一元一次方程，一元一次不等式的实际应用题，关键是理清楚题目意思，建立方程求解. 15．（2021·四川八年级期末）阅读材料：对于非零实数m，n，若关于x的分式的值为零，则x＝m或x＝n．又因为＝＝x+﹣（m+n），所以关于x的方程x+＝m+n的解为x1＝m，x2＝n． （1）理解应用：方程x+＝2+的解为：x1＝ ，x2＝ ； （2）拓展提升：若关于x的方程x+＝k﹣1的解满足x1＝x2，求k的值． 【答案】（1）2，；（2）k=5或k=-3 【分析】 （1）根据题目所给的阅读材料，即可的得出答案； （2）设x1=x2=t，可得x1•x2=4，即t2=4，解得t=±2，根据题意可得k-1=x1•x2=4或k-1=x1•x2=-4，求出k的值即可得出答案． 【详解】 解：（1）根据题意可得，方程x+＝2+， 解为：x1=2，x2=， 故答案为：2，； （2）由题意得， 设x1=x2=t， ∴x1•x2=4，即t2=4， 解得t=±2， ∵k-1=x1+x2=4或k-1=x1+x2=-4， 解得k=5或k=-3． 【点睛】 本题主要考查了解分式方程及分式方程的解，正确理解题目所给材料的意义进行计算是解决本题的关键． 16．（2021·贵州八年级期末）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x＝﹣3；（2）无解 【分析】 (1)两边同时乘以2x(x+1),去分母转化为整式方程，求解即可； （2）两边同时乘以（x-2）(x+2),去分母转化为整式方程，求解即可． 【详解】 解：（1）去分母得：3（x+1）＝2x， 去括号得：3x+3＝2x， 解得：x＝﹣3， 检验：当x＝﹣3时，2x（x+1）≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣3； （2）去分母得：x（x+2）﹣（﹣4）＝8， 整理得：x（x+2）﹣x2+4＝8， 即2x＝4， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0， ∴x＝2是增根，故分式方程无解． 【点睛】 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，特别是注意验根是解题的关键． 17．（2021·辽宁大连市·八年级期末）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）原方程无解 【分析】 （1）将原始转换为同分母分式，然后根据分式运算法则计算即可； （2）先去分母转换为整式方程，解出x的值，检验即可． 【详解】 （1）计算： ； （2）解：方程两边乘，得， ， ， ， ， ， 检验：当时， ∴是方程的增根， ∴原分式方程无解． 【点睛】 本题主要考查异分母分式的加减，解分式方程，注意分式方程需要验根． 18．（2021·江西南昌市·八年级期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】 首先进行去分母，将分式方程转化为整式方程，然后求出方程的解，最后需要对方程的解进行检验，看是否能使原分式的分母为零． 【详解】 解：方程两边同乘以，得 ： 解得 检验：当时，．所以，原分式方程的解为． 【点睛】 此题考查分式方程的解法，注意分式方程最后需要对方程的解进行检验，看是否能使原分式的分母为零． 19．（2021·四川成都市·八年级期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解；（2） 【分析】 先将分式方程化为整式方程求解，然后进行验算． 【详解】 （1）方程两边同时乘以得： ， ， ， ， 检验：为增根， 原方程无解； （2）方程两边同时乘以得： ， ， ， ． 经检验，为原方程的解． 【点睛】 本题考查解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程方法并注意检验． 20．（2021·山西晋中市·八年级期末）（1）解不等式组并写出它的最小整数解； （2）因式分解：5x2﹣10x+5． （3）化简：． （4）解方程：． 【答案】（1）﹣1＜x≤2，最小整数解为0；（2）5（x﹣1）2；（3）；（4）原方程无解 【分析】 （1）先解不等式组得﹣1＜x≤2，则可求最小整数解为0； （2）先提取公因式，再用完全平方公式即可因式分解； （3）先通分，因式分解，再运算即可； （4）先去分母，再去括号，求解后对根进行检验即可求解方程． 【详解】 解：（1）， 解不等式①得x≤2， 解不等式②得，x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2， ∴不等式组的最小整数解为0； （2）5x2﹣10x+5 ＝5（x2﹣2x+1） ＝5（x﹣1）2； （3） ＝ ＝ ＝； （4）， 方程两边同时乘以3（x﹣2），得3（5x﹣4）＝4x+10﹣（3x﹣6）， 去括号，得15x﹣12＝4x+10﹣3x+6， 移项、合并同类项，得14x＝28， 解得x＝2， 检验，当x＝2时，3（x﹣2）=0， ∴原方程无解． 【点睛】 本题考查了解不等式组、因式分解、分式运算、解分式方程，解题关键是熟练运用相关知识进行准确计算，注意：分式方程要检验． 21．（2021·重庆八年级期末）小奥根据学习函数的经验，对函数的图象进行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是 ； （2）下表是与的几组对应值，则的值为 ，的值为 ； … … … … （3）描点、连线：在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中为横坐标，为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象： 【答案】（1）；（2），；（3）见解析 【分析】 （1）根据分式有意义的条件可知自变量的取值范围； （2）将函数值和自变量的值代入函数表达式中进行计算即可得出的值； （3）建立适当的平面直角坐标系中，根据已知表格，描点，连线，画出函数的图像． 【详解】 （1）有意义， 故答案为： （2） 当时，即 解得 经检验是原方程的解， 当时，即 故答案为：，； （3）建立如图的平面直角坐标系中，根据已知表格，描点，连线， 函数图象如下： 【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，解分式方程，根据函数表达式求自变量和函数值，根据列表，描点，连线画函数图像，掌握以上知识是解题的关键． 22．（2021·江苏常州市·八年级期末）甲、乙两小组为“见义勇为基金会”各捐款元．已知甲小组的人数比乙小组的人数多，乙小组