第十一章 三角形(A·基础巩固)-【过关检测】2022-2023学年八年级数学上学期单元测试卷(人教版)(解析版).docx

第十一章 三角形 (A·基础巩固) 一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1．（4分）下列各组线段中，能构成三角形的是（　　） A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10 【解答】解：A、∵1+1＝2＜3， ∴无法构成三角形，不合题意； B、∵2+3＝5， ∴无法构成三角形，不合题意； C、∵3+4＝7＜9， ∴无法构成三角形，不合题意； D、∵5+6＝11＞10， ∴可以构成三角形，符合题意； 故选：D． 2．（4分）下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A选项中，BE与AC不垂直； B选项中，BE与AC不垂直； C选项中，BE与AC不垂直； ∴线段BE是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 3．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝40°，则∠B的度数为（　　） A．40° B．60° C．30° D．50° 【解答】解：∵∠2+∠3＝90°，∠2＝∠1＝40°， ∴∠3＝50°． ∵EF∥AB， ∠B＝∠3＝50°． 故选：D． 4．（4分）如图所示的图形中，x的值是（　　） A．70 B．50 C．60 D．80 【解答】解：由三角形的外角性质可知，（x+70）°＝（x+10）°+x°， 解得：x＝60， 故选：C． 5．（4分）如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则BD＝（　　） A．6 B．5 C．8 D．4 【解答】解：∵CD是△ABC的中线，AB＝10， ∴BD=12AB＝5， 故选：B． 6．（4分）一个多边形每一个外角都等于20°，则这个多边形的边数为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【解答】解：因为多边形的外角和是360°， 又因为多边形的每个外角都是20°， 所以这个多边形的边数为：360÷20＝18． 故选：D． 7．（4分）在三角板拼角活动中，小明将一副三角板按如图方式叠放，则拼出的∠α度数为（　　） A．65° B．75° C．105° D．115° 【解答】解：∠DBA＝∠ABC﹣∠DBC＝45°﹣30°＝15°， ∴∠α＝∠A+∠DBA＝90°+15°＝105°， 故选：C． 8．（4分）已知三角形的三边长分别为4，a，8，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边a的取值范围正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据三角形三边长度的关系得： a＞8﹣4，a＞4； a＜8+4，a＜12； 所以a的取值范围为：4＜a＜12． 在数轴上表示为：． 故选：A． 9．（4分）在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，则对△ABC的形状判断正确的是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【解答】解：在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， 解得∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 10．（4分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝54°，则∠A的度数为（　　） A．36° B．44° C．27° D．54° 【解答】解：∵BD⊥CD， ∴∠D＝90°． ∵∠DBC＝54°， ∴∠DCB＝90°﹣54°＝36°． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝72°． ∵∠A＝∠ABD，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠A+54°+72°＝180°． ∴∠A＝27°． 故选：C． 11．（4分）已知a，b，c为三角形的三边，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（　　） A．0 B．2a C．2（a+c） D．2（b﹣c） 【解答】解：∵a，b，c为三角形的三边， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c| ＝a+b﹣c﹣[﹣（b﹣a﹣c）] ＝a+b﹣c+b﹣a﹣c ＝2（b﹣c）． 故选：D． 12．（4分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（　　） A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2） 【解答】解：如图，延长BE、CD并交于点F，连接AF． 由题可知：∠EAD＝∠EFD． ∵∠1＝∠EAF+∠EFA，∠2＝∠ADC+∠AFD， ∴∠1+∠2＝∠EAF+∠EFA+∠ADC+∠AFD． ∴∠1+∠2＝∠EAD+∠EFD． ∴∠1+∠2＝2∠EAD． 故选：B． 二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分） 13．（4分）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的 　三角形的稳定性　． 【解答】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为 　2　． 【解答】解：在△ABC中，AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD． ∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ADC的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD， ∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB﹣AC＝8﹣6＝2． 故答案为：2． 15．（4分）如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 　20　米． 【解答】解：由图可知小明回到出发点时走了一个正多边形，且每个外角是36°， 由360°÷36＝10可知是正十边形，有10条相等的边， ∴小明一共走了10×2＝20米， 故答案为：20． 16．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝　m22021　度． 【解答】解：∵BA1平方∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠A1CD=12∠ACD，∠A1BC=12∠ABC． ∵∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC， ∴∠A1=12∠ACD−12ABC=12∠A． 同理可证：∠A2=12∠A1． ∴∠A2=12⋅12∠A=(12)2∠A． 以此类推，∠An=(12)n∠A． 当n＝2021，∠A2021=(12)2021∠A=(12)2021⋅m°．=(m22021)°． 故答案为：m22021． 三．解答题（共8小题，满分86分） 17．（6分）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出△ABC中边BC上的高AD； （2）画出△ABC中边AC上的中线BE； （3）直接写出△ABE的面积为　4　． 【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求； （2）如图所示，线段BE即为所求； （3）S△ABC=12BC•AD=12×4×4＝8． ∴△ABE的面积=12S△ABC＝4， 故答案为：4． 18．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，∠B＝65°，∠C＝35°． （1）求∠BAE的度数； （2）求∠DAE的度数． 【解答】解：（1）∵∠B＝65°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=12∠BAC＝42.5°； （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝25°， 由（1）得∠BAE＝42.5°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝17.5°． 19．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝56°，∠C＝70°． （1）求∠DAE的度数； （2）求∠BOA的度数． 【解答】解：（1）∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝56°， ∴∠CAE＝28°， ∵AD是BC边上的高，∠C＝70°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝20°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝8°； （2）∵∠BAC＝56°，∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝54°， ∵AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线， ∴∠BAE＝28°，∠ABF＝27°， ∴∠BOA＝180°﹣∠BAE﹣∠ABF＝125°． 20．（12分）如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC． （1）若AD⊥BC于D，∠C＝35°，求∠DAE的大小； （2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC． 【解答】（1）解：∵∠C＝35°，∠B＝2∠C， ∴∠B＝70°， ∴∠BAC＝75°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝37.5°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝55°， ∴∠DAE＝55°﹣37.5°＝17.5°； （2）证明：过点A作AD⊥BC于点D， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AED+∠FEC＝90°， ∵∠DAE+∠AED＝90°， ∴∠DAE＝∠FEC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）=12（180°﹣3∠C）＝90°−32∠C， ∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC， ∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°−32∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+32∠C=12∠C， ∴∠FEC=12∠C， ∴∠C＝2∠FEC． 21．（12分）AB和AC相交于点A，BD和CD相交于点D，探究∠BDC与∠B、∠C、∠BAC的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点A为端点作射线AD， ∵∠1是△ABD的外角，∴∠1＝∠B+∠BAD， 同理∠2＝∠C+∠CAD， ∴∠1+∠2＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD， 即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC， 小英的思路是：如图（3）延长BD交AC于点E． （1）按小英的思路完成∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC这一结论． （2）如图（4），△ABC中，BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，且BO、CO相交于点O．猜想∠BOC与∠A有怎样的关系，并加以证明． 【解答】解：（1）证明：如图3，延长BD交AC于E， ∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC＝∠C+∠CED， 同理可得∠CED＝∠BAC+∠B， ∴∠BDC＝∠C+∠B+∠BAC； （2）∠BOC与∠A的关系：∠BOC＝90°+12∠A． 证明：∵BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°−12（∠ABC+∠ACB） ＝180°−12（180°﹣∠A） ＝90°+12∠A． 22．（12分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝36°，∠E＝24°，求∠BAC的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E． 【解答】（1）解：∵∠B＝36°，∠E＝24°， ∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝84°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACE． ∵∠BAC＝∠E+∠ACE， ∴∠BAC＝∠E+∠ECD， ∵∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E， ∴∠BAC＝2∠E+∠B． 23．（12分）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 【解答】解：（1）如图①，连接AD， 由三角形的内角和定理得，∠B+∠C＝∠BAD+∠CDA， ∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝∠BAF+∠BAD+∠CDA+∠D+∠E+∠F 即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°， ∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°， （2）如图②，由（1）方法可得： ∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H＝（6﹣2）×180°＝720°， （3）如图③，根据（1）的方法得，∠F+∠G＝∠GAE+∠FEA， ∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°， 24．（14分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AB上一点（不与A、B重合），连接CP． （1）当∠B＝72°时； ①若∠CPB＝54°，则△ACP　是　“倍角三角形”（填“是”或“否”）； ②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数； （2）当△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”时，求∠BCP的度数． 【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∠B＝72°， ∴∠C＝90°﹣72°＝18°， ∵∠CPB＝54°， ∴∠A+∠ACP＝54°， ∴∠ACP＝36°， ∴∠ACP＝2∠A， ∴△ACP是“倍角三角形”， 故答案为：是． ②∵∠B＝72°，△BPC是“倍角三角形”， ∴△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°， ∴∠BCP＝36°或72°， ∴∠ACP＝54°或18°． （2）如图2﹣1中，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝45°． 如图2﹣2中，当∠A＝60°，CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP＝60°． 如图2﹣3中，当∠A＝60°，∠BPC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝50°． 如图2﹣4中，当∠B＝60°，∠APC＝100°时，满足条件，此时∠BCP＝40°． 如图2﹣5中，当∠B＝60°，∠APC＝90°时，满足条件，此时∠BCP＝30°． 综上所述，满足条件的∠BC的值为30°或40°或45°或50°或60°．