专题01模型方法课之倍长中线法重点练（解析版）（人教版）.docx

专题01模型方法课之倍长中线法重点练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（ ） A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4 【答案】B 【分析】 先延长到，且，并连接，由于，，利用易证，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，可得，从而易求． 【详解】 解：延长到，使，连接，则AE=2AD， ∵，，， ∴， ， 在中，， 即， ∴． 故选：． 【点睛】 此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 2．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（ ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】 延长AD到E，使AD=DE，证明△ADC≌△EDB，然后利用三边关系即可得出结论． 【详解】 解：延长AD到E，使AD=DE=4，连接BE， ∵D是BC的中点， ∴BD=CD 又∠BDE=∠CDA ∴△ADC≌△EDB， ∴BE=AC=3 由三角形三边关系得， 即： 故选：A 【点睛】 此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 3．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）． A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】 延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长． 【详解】 解：延长BE交CD延长线于P， ∵AB∥CD， ∴∠EAB＝∠ECP， 在△AEB和△CEP中， ∴△AEB≌△CEP（ASA） ∴BE＝PE，CP＝AB＝5 又∵CD＝3， ∴PD=2， ∵ ∴ ∴BE＝BP＝． 故选：C． 【点睛】 考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP． 二、填空题 4．如图，在中，是边上的中线，，，，则_______． 【答案】 【分析】 延长到点，使，连接，证明，，再根据勾股定理的逆定理证得，即=90°，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】 延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，做辅助线构造全等三角形及证得∠BAD=∠CED=90°是关键． 5．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__． 【答案】4 【分析】 延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4． 【详解】 解：如图，延长AE，BC交于点G， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠D＝∠ECG， 又∵∠AED＝∠GEC， ∴△ADE≌△GCE， ∴CG＝AD＝5，AE＝GE， 又∵AE平分∠FAD，AD∥BC， ∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°， ∴AF＝GF＝3+5＝8， 又∵E是AG的中点， ∴FE⊥AG， 在Rt△AEF中，∠FAE＝30°， ∴EF＝AF＝4， 故答案为：4． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算． 三、解答题 6．在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）AE2+BF2＝EF2，证明见解析 【分析】 （1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE＝BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果； （2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论． 【详解】 解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴DE＝CF＝BC， ∴CF＝BF＝1， ∵CE＝AE＝2， ∴EF＝； （2）AE2+BF2＝EF2． 证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF， 则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°， ∵D点是AB的中点， ∴AD＝BD， 在△ADE和△BDM中，， ∴△ADE≌△BDM（AAS）， ∴AE＝BM，DE＝DM， ∵DF⊥DE， ∴EF＝MF， ∵BM2+BF2＝MF2， ∴AE2+BF2＝EF2． 【点睛】 本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形． 7．如图，已知AD是的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离． 【答案】6 【分析】 延长AD，过点C作于点F，证明，再根据全等三角形的性质得到． 【详解】 解：如图，延长AD，过点C作于点F， ∵AD是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点C到AD的距离是6． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解． 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线． （1）如果，，求证：△ABC是直角三角形． （2）如果，，，，求BC的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）由于， 所以，故有，，由三角形内角和定理即可求解； （2）延长AD到E使，可得，由勾股定理可得，再由勾股定理可求得CD的长，同时即可求解． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． （2）延长AD到E使，连接CE， 在△ABD和△ECD中， ， ∴， ∴，，， 在△AEC中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 【点睛】 本题主要考查三角形全等，利用倍长中线作出辅助线，由勾股定理证明是本题的解题关键． 9．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．求证：AD⊥AC 【答案】见解析 【分析】 延长AM至N，使MN=AM，证△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，ED=AN，证△EAD≌△ABN，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可证明AD⊥AC． 【详解】 延长AM至N，使MN=AM，连接BN， ∵点M为BC的中点， ∴CM=BM， 在△AMC和△NMB中， ， ∴△AMC≌△NMB（SAS）， ∴AC=BN，∠C=∠NBM，∠CAM=∠N， ∵DE=2AM，AD=AC， ∴DE= AN，AD= BN， 在△EAD和△ABN中， ， ∴△EAD≌△ABN（SSS）， ∴∠EAD=∠ABN， ∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180， ∵AB⊥AE， ∴∠EAB=90°， ∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)= 90°， ∴AD⊥AC． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM至N，使MN=AM，利用“中线倍长”构造全等三角形的是解题的关键． 10．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． （探究与发现） （1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：． （理解与应用） （2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________． （3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】 （1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】 （1）证明：，，， ， （2）； 如图，延长至点，使，连接， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； 故答案为：； （3）延长FD至G，使得，连接BG，EG， 在和中，，，， ，， 在和中， ，，， ，， 在中，两边之和大于第三边 ，， 又，， 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． 11．阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下思路： 如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 完成下面问题： （1）这一思路的辅助线的作法是：　 　 ． （2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证明过程）． 【答案】（1）延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；（2）见解析 【分析】 （1）延长AD于点G使得DG=AD．利用AE=EF可证得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC=BG，证出∠G=∠BFG，得出BG=BF，即可得出结论． 【详解】 解：（1）根据题意，则作法为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG； （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图②所示： 则∠G＝∠CAD， ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中， ， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 12．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线． （1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； （2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】 （1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围； （2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到； （3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到． 【详解】 （1）延长到点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 在中， ， ∴，即， ∴； （2）证明:延长到点使,连接， 由（1）知， ∴， ， ， ， ， ， ， ， （3）， 延长到，使，连接， ， ， ， ， ， 点在一条直线上， ， ∴， ∴在和中， ，，， ∴≌， ， ∵， ． 【点睛】 本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键． 13．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析； 【分析】 （1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG △BAF≌△CDG，AB＝CD； （2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD； 【详解】 （1）①如图1， 延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ， ∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE， ∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F， ∴AB＝BF，∴AB＝CD； ②如图2， 分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G， ∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CEG中， ， ∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG， 在△BAF和△CDG中， ， ∴△BAF≌△CDG（AAS）， ∴AB＝CD； （2）如图3， 过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M， 则∠BAE＝∠EMC， ∵E是BC中点， ∴BE＝CE， 在△BAE和△CME中， ， ∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F， ∵∠BAE＝∠EDC， ∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 14．如图，中，，，为中线，求中线的取值范围． 【答案】 【分析】 延长至点，使，连接，证明，得到，然后根据三角形三条边的关系求解即可． 【详解】 解：延长至点，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】 本题考查了三角形三条边的关系，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 15．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线． 求证：． 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴（依据一）∴ 在中，（依据二） ∴． 任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：______________________________________________； 依据2：______________________________________________． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________； 任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：；任务三：EF=2AD，见解析 【分析】 任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可； 依据2：根据三角形三边关系判断； 任务二：可根据任务一的方法直接证明即可； 任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可． 【详解】 解：任务一： 依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边． 任务二： 任务三：EF=2AD．理由如下： 如图延长AD至G，使DG=AD， ∵AD是BC边上的中线 ∴BD=CD 在△ABD和△CGD中 ∴△ABD≌△CGD ∴AB=CG，∠ABD=∠GCD 又∵AB=AE ∴AE=CG 在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， ∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180° 又∵∠BAE=90°，∠CAF=90° ∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180° ∴∠EAF=∠GCD 在△EAF和△GCA中 ∴△EAF≌△GCA ∴EF=AG ∴EF=2AD． 【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键． 16．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析 【分析】 （1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题． ②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论． （2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论． 【详解】 （1）①∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为． ②如图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）． 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴≌， ∴，， ∵． ∴≌， ∴． 【点睛】 本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键． 17．在与中，，，，连接，点为的中点，连接，绕着点旋转． （1）如图1，当点落在的延长线上时，与的数量关系是：__________； （2）如图2，当旋转到点落在的延长线上时，与是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由； （3）旋转过程中，若当时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）具有，证明见解析；（3）14或． 【分析】 （1）；当点落在的延长线上时，∠ADE=90º，点为的中点，直角三角形斜边中线的性质，再证△ACE≌△BCE（SAS）利用性质得AE=BE即可； （2）成立（具有）延长到点，使，连接，由点为的中点，可知是的中位线，有结论，先证，再证，即可； （3）分两种情况∠BCD再BC的左边与右边，构造Rt△ECH，∠HCE =60º或Rt△CGE，∠GCE=30º，CH=，CG=，利用勾股定理求BE2，再用（1）结论即可． 【详解】 （1）当点落在的延长线上时，∠ADE=90º， ∵点为的中点， ∴AF=EF=FD， ∴， ∵BC=AC，∠ACB=90º，CD=DE，∠CDE=90º， ∴∠DCE=∠DEC=45º， ∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=90º+45º=135º， ∴∠ACE=360º-∠ACB-∠BCE=360º-90º-135º =135º=∠BCE， ∵CE=CE， ∴△ACE≌△BCE（SAS）， ∴AE=BE， ∴， 故答案为：； （2）成立（具有） 证明： 延长到点，使，连接， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）14或． 过E作EH⊥BC于H， ∴在Rt△ECD中，CE=2， ∵∠BCD=105º， ∴∠HCE=105º-∠DCE=60º， ∴CH=，EH=， ∵BC=， ∴BH=BC-CH=-， ∴FD2=； 延长BC，过E作EG⊥BC于G， ∵∠BCD=105º，∠DCE=45º， ∴∠GCE=180º-∠ACD-∠DCE=30º， ∴GE=， ∴CG=， ∴ ∴FD2=． 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题考查直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，三角形的旋转变换，三角形中位线，解直角三角形，勾股定理的应用，涉及的知识多，习题难度大，关键是利用数形结合的思想画出准确的图形，画图时应注意分类来画是解题关键． 18．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6． （1）求四边形AEDF的周长； （2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积． 【答案】（1）14；（2）12． 【分析】 （1）延长DE到G，使GE＝DE，连接BG，根据线段中点的定义求出AE＝4，AF＝3，并利用SAS证明△AED≌△BEG，由全等三角形的性质并再次利用全等三角形的判定得出△GBD≌△ABD，可证得DE＝AB＝4，同理DF＝AC＝3，即可计算出四边形的周长； （2）利用SSS可证△AEF≌△DEF，根据直角三角形的面积计算方法求出△AEF的面积，则四边形的面积即可求解． 【详解】 解：（1）延长DE到G，使GE＝DE，连接BG， ∵E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6， ∴AE＝BE＝AB＝4，AF＝CF＝AC＝3． 在△AED和△BEG中， ，