专题02 全等三角形中的六种模型梳理（解析版）（人教版） .docx

专题02 全等三角形中的六种模型梳理 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。 类型一、倍长中线模型 中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。 目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。 例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC． 【理解与应用】 如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE． （1）求证：AC＝BD； （2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围． 【答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4 【详解】解：[探究与发现] 证明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D， 又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）； [理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF， ∵点E是CD的中点，∴ED=EC， 在△DEF与△CEA中，，∴△DEF≌△CEA（SAS），∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE， ∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD， 在△ABD与△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=FD，∴AC=BD； （2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，∴AB=AF=2x， ∵BD=3，AD=5， 在△ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4， 即x的取值范围是1＜x＜4． 【变式训练1】如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，． （1）求证； （2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）如图1所示，延长至点，使， 在与中，，，，，， 在与中，,，，； （2）如图所示，，， 平分，，， ，，，作， 在与中，，，，， 在与中，，，，，，设，，，． 【变式训练2】（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：； （2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：； （3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP， ∵AD是△ABC的中线，∴D为BC的中点，BD=CD， 在△ABD与△PCD中，，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP， 在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，∴； （2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC， ∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH， 在△ABH和△QCH中，，∴△ABH≌△QCH(SAS)， 同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ， 此时，延长AE，交CQ于K点， ∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK， 又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE， ∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE， ∵AB=CQ，AD=EQ，∴； （3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE， ∵M为DE中点，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM， 在△ABM和△NCM中，，∴△ABM≌△NCM(SAS)， 同理可证△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE， 此时，延长AE，交CN于T点， ∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT， 又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE， ∵AB=NC，AD=NE，∴． 【变式训练3】在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，． （1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：． （2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度． （3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）线段、和的位置关系为，数量关系为或或 【详解】（1）证明：如图1， 直线于点，直线于点，，，， 又为边中点，， 在和中，，，． （2）解：如图2，延长与的延长线相交于点， 直线于点，直线于点，， ，，， 又为中点，， 又，∴在和中，，， ，，， ∵，，， ，，，， ． （3）位置关系：，数量关系：分四种情况讨论 ∵直线于点．直线于点，直线于点， ∴， ①如图3，当直线与线段交于一点时， 由（1）可知，，即，， ，， ∵，． ②当直线与线段交于一点时，如图，延长交的延长线于点． 直线于点，直线于点， ，，， 又为边中点，， 在和中，，，． ，即，， ，， ∵，． ③如图4，当直线与线段的延长线交于一点时． 由（2）得：，，， ∴，即， ． ④当直线与线段的延长线交于一点时， 如图，延长交的延长线于点． 直线于点，直线于点， ，， ，， 又为中点，， 又，∴在和中，，， ，，∴，即， ． 综上所述，线段、和的位置关系为，数量关系为或或． 类型二、截长补短模型 截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等） 例．在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系． (1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN． (2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？ 答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． (3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．    【答案】(1)见解析；(2)一定成立；(3)MN＝NC﹣BM 【解析】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°， 在Rt△PBM和Rt△PCN中，，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°， ∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN为等边三角形，∴PM＝PN＝MN， 在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝PM，同理可得，CN＝PN，∴BM+CN＝MN． (2)解：一定成立，理由如下：延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，如图所示， 由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH， 在△PBM和△PCH中，，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH， ∵∠BPM+∠CPN＝60°，∴∠CPN+∠CPH＝60°，∴∠MPN＝∠HPN， 在△MPN和△HPN中，，∴△MPN≌△HPN（SAS），∴MN＝HN＝BM+CN， 故答案为：一定成立． (3)解：在AC上截取CK＝BM，连接PK，如图所示， 在△PBM和△PCK中，，∴△PBM≌△PCK（SAS）， ∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK， ∵∠BPM+∠BPN＝60°，∴∠CPK+∠BPN＝60°，∴∠KPN＝60°，∴∠MPN＝∠KPN， 在△MPN和△KPN中，，∴△MPN≌△KPN（SAS），∴MN＝KN， ∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM，∴MN＝NC﹣BM． 【变式训练1】如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且． (1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由． (2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)不成立，，见解析 【解析】(1)EF＝BE+DF， 理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG， 在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF， 在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF； (2)（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE上截取BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF， 在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF， ∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM， 在△AME和△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）， ∴ME＝EF，∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD． 【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图． 平分，． 在和中，，，，． ，．．，． 方法2：延长到点，使得，连接，如图． 平分，． 在和中，，．，． ，．，，． （2）、、之间的数量关系为：． （或者：，）． 延长到点，使，连接，如图2所示． 由（1）可知，．为等边三角形．，． ，．． ，为等边三角形．，． ，，即． 在和中，，．， ，． （3），，之间的数量关系为：． （或者：，） 解：连接，过点作于，如图3所示． ，．． 在和中，，，，． 在和中，，．， ，． 【变式训练3】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°． 【解析】解：（1）、分别是与的角平分线， ，，， （2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD， 由（1）得， ，，∴， 在与中， ，∴（SAS） ∴，∴，∴，∴ 在与中，，，， ，；∵，，∴ （3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC， ，∴， 在与中， ，∴（SAS）∴，， ∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴，， ∴， 类型三、做平行线证明全等 例1．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【答案】见详解 【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E，∵是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°， ∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，∴是等边三角形，∴BD=DE， ∵，∴DE=CE， 又∵∠EMD=∠CME，∴∆EMD≅∆CME，∴． 【变式训练1】 P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形，∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中，，∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．     【变式训练2】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； 【答案】(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=ME． 【解析】(1)解：DM=EM；证明：过点E作EF//AB交BC于点F， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC． 又∵BD=EC，∴EF=BD． 又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ，∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM． (2)解：成立；证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC． 又∵BD=EC，∴EF=BD． 又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM； 类型四、旋转模型 例．如图1，，，，、相交于点，连接． （1）求证：，并用含的式子表示的度数； （2）当时，取，的中点分别为点、，连接，，，如图2，判断的形状，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析；；（2）为等腰直角三角形；证明见解析． 【详解】证明：（1）如图1，， ，， 在和中，，，； ，， 中，，, ， 中，；即； （2）为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）可得，， ，的中点分别为点、，， ，， 在和中，，， ，且， 又，，，为等腰直角三角形． 【变式训练1】四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点． （1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3）． 【解析】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ， 则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°， ∴点Q在直线CA上， ∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°， ∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN， ∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN； （2）：.理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP， 则DN=DP，AN=BP， ∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上， ∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°， ∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP， ∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM； （3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H， ∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG， 根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND， 根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN， ∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH， ∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1， ∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8 【变式训练2】（1）问题发现： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则： ①∠AEB的度数为　 　°； ②线段AD、BE之间的数量关系是　 　． （2）拓展研究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系． （3）探究发现： 图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由． 【答案】（1）①60；②AD＝BE；（2）a2＋b2＝c2；（3）60°或120° 【详解】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC． ∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°， ∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°， 故答案为：60； ②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故答案为：AD=BE； （2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°． ∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠ADC=∠BEC， ∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴AD2+AE2=AB2， ∵AD=a，AE=b，AB=c，∴a2+b2=c2； （3）如图3， 由（1）知△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE， ∵∠CAB=∠CBA=60°， ∴∠OAB+∠OBA=120°， ∴∠AOE=180°-120°=60°， 如图4， 同理求得∠AOB=60°， ∴∠AOE=120°， ∴∠AOE的度数是60°或120°． 【变式训练3】如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）、；（2）等腰直角三角形，证明见解析；（3） 【详解】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点， ∴PN∥BD，PN=BD， ∵点P，M是CD，DE的中点， ∴PM∥CE，PM=CE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN=∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCA， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM=PN，PM⊥PN； （2）△PMN是等腰直角三角形． 理由如下： 由旋转知，∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， 利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC=∠DBC， ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴△PMN是等腰直角三角形； （3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD， ∴PM最大时，△PMN面积最大， ∴点D在BA的延长线上， ∴BD=AB+AD=14， ∴PM=7， ∴S△PMN最大= PM2=×49=． 类型五、手拉手模型 例．在等边中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接CF． (1)如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF．若，求AF的长； (2)如图（2），点G在AC上且，求证：； (3)如图（3），，，连接AF．过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP．将沿着BP翻折得到，连接QC．当的周长最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)AF=3；(2)见解析；(3)，详见解析 【解析】(1)解：∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°， 由旋转知，∠CDF=60°，CD=CF，∴△DCF为等边三角形，∴CD=CF，∠DCF=60°， ∴∠DCB=∠ACF，∴△BCD≌△ACF，∴AF=BD， ∵D为AB中点，AB=6，∴BD=3，∴AF=3． (2)解：将CF绕C顺时针旋转60°得CH，连接CH，FH，EF，EH，CD， 在AC上截取AP=BE，连接DP，设CD交EH于M， 如图所示， 由旋转知，△DEF、△CFH为等边三角形， ∴DF=EF，CF=FH，∠DFE=∠CFH=60°，∴∠DFC=∠EFH，∴△DCF≌△BHF， ∴EH=CD，∠DCF=∠EHF， 由三角形内角和知，∠HMC+∠EHF=∠DCF+∠HFC， ∴∠HMC=∠HFC=60°，∴∠DCE+∠HEC=60°， ∵∠DCP+∠DCE=60°，   ∴∠CEH=∠DCP， ∵AC=BC，AP=BE，∴CP=CE，∴△ECH≌△CPD，∴