专题09技巧方法课之等腰及等边三角形综合压轴题专练（原卷版）（人教版）.docx

专题09技巧方法课之等腰及等边三角形综合压轴题专练（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，、分别与交于、两点，将绕着点顺时针旋转90°得到；①,②平分；③若，CE=4,则；④若，其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在等腰直角中，，，延长至点，使得，连接，的中线与交于点，连接，过点作交于点，连接，．则下列说法正确的个数为（ ） ①；②点为中点；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图：四个形状大小相同的等腰三角形△ABE，△ADF，△CDG，△BCH按如图摆放在正方形ABCD的内部，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH．若∠AEB＝∠AFD＝∠CGD＝∠BHC＝120°，且EH＝﹣，则BC的长为（　　） A． B．4﹣4 C．2 D．2 4．如图，是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①；②当点D与点C重合时，；③；④当时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 5．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别在线段AB、AC上，AD＝AE，BE和CD交于点N，AF⊥BE交BC于点F，FG⊥CD交AC于点M，交BE的延长线于点G．下列说法：①∠ABE＝∠FAC；②GE＝GM；③BG＝AF+FG；④C△AFM＝BE+CM；⑤S△BDN﹕S△AFC＝CE﹕AC．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．已知正△ABC的边长为1，点P，点Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位速度沿边AB向点B运动，点Q以每秒4个单位速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，当点Q停止运动时，点P也同时停止运动．在整个运动过程中，若以点A，B，C中的两点和点Q为顶点构成的三角形与△PAC全等，运动时间为t秒，则t的值为__． 8．已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________． 9．如图，在锐角△ABC中，点D在线段CA的延长线上，BC边的垂直平分线分别交AB边于点E，交∠BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂线分别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OG⊥AB于点G，点G恰为AB边的中点，过点A作AI⊥BC于点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正确的是________．（填序号） 三、解答题 10．（1）已知如图1：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上（保留作图痕迹）． （2）如图2，点F在线段AB上，AD∥BC，AC交DF于点E，∠BAC＝∠ADF，AE＝BC．求证：△ACD是等腰三角形． 11．如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，，点B坐标为，直线经过点A交y轴于点C，且． （1）求直线的解析式； （2）点D为线段中垂线l上一点，且位于第一象限，将沿翻折得到，若点恰好落在直线l上，求点D和点的坐标． （3）设P是直线上一点，点Q在l上，当为等边三角形时，直接写出的边长． 12．如图，在中，点D在边上，．将沿对折得到，交于点F． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，请说明； （3）若，将绕点B逆时针方向旋转一个角度，记旋转中的为．在旋转过程中，直线分别与直线、直线交于点M、点N，是否存在这样的点M、点N，使与相等？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由． 13．在中，点M为AB的中点． （1）如图1，若，连接DM且，试探究AB与BC的数量关系； （2）如图2，若为锐角，过点C作于点E，连接EM，， ①求证： ②若，求的值． 14．如图1，已知等腰直角ΔABC，∠ACB＝90°，在直角边BC上取一点D，使∠DAC＝15°，以AD为一边作等边ΔADE，且AB与DE相交． （1）求证：AB垂直平分DE； （2）连接BE，判断EB与AC的位置关系，并说明理由； （3）如图2，若F为线段AE上一点，且FC＝AC，求的值． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，OA＝OB＝10． （1）求直线AB的解析式； （2）若点P是直线AB上的动点，当S△OBP＝S△OAP时，求点P的坐标； （3）将直线AB向下平移10个单位长度得到直线l，点M，N是直线l上的动点（M，N的横坐标分别是xM，xN，且xM＜xN），MN＝4，求四边形ABNM的周长的最小值，并说明理由． 16．（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是　 　；BE＋BF与的BC数量关系是　 　；（写出结论即可，不必证明） （2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE＋BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明； （3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是　 　．（直接写出结论即可） 17．如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形． （1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接 　 　． A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形或等边三角形 D．直角三角形 （2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法） （3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？ ①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F． 我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由：　 　是等边三角形． ②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC． ③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图1，在等边的边和边上分别取点、，使得，将绕点顺时针旋转，得到图2所示的图形． （1）求证：≌； （2）如图3，若，，且旋转角为45°时，求的度数； （3）如图4，连接，并延长交于点，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值． 19．如图，在中，，，垂足为点D． （1）试说明点D为的中点； （2）如果，将线段绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结、，试说明//； （3）如果的度数为n，将线段绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），点A落在点F处，联结线段，//，求直线与直线的夹角的度数（用含n的代数式表示）． 20．角平分线性质定理描述了角平分线上的点到两边距离的关系，小明发现将角平分线放在三角形中，还可以得出一些线段比例的关系． 请完成下列探索过程： （研究情景） 如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点D． （初步思考） （1）若AB＝4，BC＝7，则＝　 　； （深入探究） （2）请判断和之间的数值关系，并证明； （应用迁移） （3）如图2，△ABC和△ECD都是等边三角形，△ABC的顶点A在△ECD的边ED上，CD交AB于点F，若AE＝4，AD＝2，求△CFB的面积． 21．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中，，，点，在的同侧，点，在线段上，连接并延长交于点，已知．将从图1中的位置开始，绕点顺时针旋转（保持不动），旋转角为． 数学思考：（1）“求索小组”的同学发现图1中，请证明这个结论； 操作探究：（2）如图2，当时，“笃行小组”的同学连接线段，． 请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择________题． A．①猜想，满足的数量关系，并说明理由； ②若，请直接写出时，，两点间的距离； B．①猜想，满足的位置关系，并说明理由； ②若，请直接写出点落在延长线时，，两点间的距离． 22．阅读下列材料，并解答其后的问题： 定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做等补四边形． 如图1，若AB＝AD，∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD是等补四边形． （1）理解：如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．请用尺规作图法作出点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是等补四边形；（只需作出一个满足条件的点D即可．要求不用写作法，但要保留作图痕迹．） （2）探究：如图3，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD是对角线．求证：BD平分∠ADC； （3）运用：将斜边相等的两块三角板如图4放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°角的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，AB＝BC＝4，连接BD．则BD的长为　　． 23．同学们学习了全等三角形，知道其重要应用是通过全等三角形证明角相等或边相等，进而求角度或边长．有些题目不能直接得全等三角形时，需要根据条件购造全等三角形，当遇到等腰直角三角形时我们可以利用两条相等的腰及顶角90°，来构造全等的两个直角三角形，从而解决问题． （1）发现，如图1，已知等腰直角△ABC，点P是边AB上一点，过点A作CP的垂线交CP延长线于点E，过点B作CP的垂线，垂足为点F，若BF＝7，AE＝3，则EF＝　 　； （2）探索：如图2，已知等腰直角△ABC，点E是内部一点，且CE＝4，AE垂直CE，连接BE，求△BCE的面积； （3）应用：如图3，已知钝角三角形ABC（∠ACB＞90°），∠A＝45°，以BC为边在直线BC与点A同侧的位置作等腰直角△BCD，过点D作DE垂直AB，垂足为点E，则线段AE与线段BE有怎样的数量关系呢？并请说明由． 24．已知：菱形中，过点作，垂足为点，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，连接、，点在上，于点，交于点，点在上，连接、，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，分別连接、，、交于点，交于点，若，，求菱形的面积． 25．如图在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，点的坐标为，且点的坐标为． （1）求点坐标； （2）若点、关于直线对称，在备用图中画出直线，再求直线的函数解析式； （3）点是直线与直线l的交点，点在第一象限内，当为等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 26．同学们，等边三角形、等腰直角三角形都是最常见的几何图形． （1）如图1，以等边的边为腰作等腰直角，其中，，点、点都是在的同侧，延长、交于点，连接，求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，作平分交于点，求证：； （3）如图3，将图（1）的沿着翻折得到，连接，为中点，连接并延长交于点，请猜测、、三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． 27．如图，在中，为中点，为射线上一动点，在右侧作等边直线与直线交于点． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在线段上（不包括端点），是否仍然成立，请说明理由； （3）点在射线运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 28．（问题情境） 如图①，小区、位于一条笔直的道路的同侧，为了方便，两个小区居民投放垃圾，现在上建一个垃圾分类站，使得与，的距离之比为． （初步研究） （1）在线段上作出点，使． 如图，做法如下： 第一步：过点作射线， 以为圆心，任意长为半径画弧，交于点； 以为圆心，长为半径画弧，交于点； 以为圆心，长为半径画弧，交于点． 第二步：连接，作，交于点． 则点即为所求． 请证明所作的点满足． （深入思考） （2）如图，点在线段上，点在直线外，且． 求证：是的平分线． （问题解决） （3）如图，已知点，和直线，点在线段上，且．用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （ⅰ）在直线上作出点（异于点），使； （ⅱ）在直线上作出点，使． 29．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转（0°＜＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，F为CD上一点，且DF＝2CF． （1）当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数； （2）当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长； （3）请直接写出△ADE的周长的最大值． 30．如图，一次函数与坐标轴交于两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且的面积为． （1）求点的坐标及直线的表达式； （2）点在直线上第二象限内一点，在中有一个内角是，求点的坐标； （3）过原点的直线，与直线交于点，与直线交于点，在三点中，当其中一点是另外两点所连线段的中点时，求的面积．