专题02 运算方法之因式分解重要方法综合难点专练（原卷版）（人教版）.docx

专题02运算方法之因式分解重要方法综合难点专练（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．多项式与多项式的公因式是（ ） A． B． C． D． 2．若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（ ） A．1 B．7 C．11 D．13 二、填空题 3．分解因式：a2b-18ab+81b＝_____． 4．正实数，满足，则______． 5．把多项式因式分解，结果为________． 三、解答题 6．（1）计算： ； （2）计算：； （3）因式分解：． 7．分解因式： （1） （2） （3） 8．从三位数m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”．数m的“生成数”之和与22的商记为G（m），例如m＝123，G（123）＝＝6． （1）直接写出G（234）＝　 　；并证明：对于任意的三位数n，G（n）为整数； （2）数p，q是两个三位数，他们都有“生成数”，p＝100a+40+b（1≤a≤9，1≤b≤9且a≠b），q＝130+c（1≤c≤3），规定：k＝，若G（p）•G（q）＝56，求k的最大值． 9．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式x2-9<0 解：∵，∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ① ② 解不等式组①得， ，解不等式组②无解 ∴原不等式 的解集为 （1）不等式 解集为 ； （2） 不等式 解集为 ； （3） 解不等式． 10．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。 过程为：； 这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边a，b，c满足，判断的形状. 11．（阅读学习） 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． （学以致用） 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． （拓展应用） 已知：，．求：的值． 12．第一步：阅读村料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有 ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 第二步：理解知识，尝试填空： （1） 第三步：应用知识，因式分解： （2） x2-(p+q)x+pq； （3）． 第四步：提炼思想，拓展应用 （4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由． 13．阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：； （2）已知等腰三角形的三边a、b、c均为整数，且，则满足该条件的等腰三角形共有________个，请说明理由． 14．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）： （1）﹣x2y+6xy﹣9y； （2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2； （3）1﹣x2﹣y2+2xy． 15．先阅读下列材料，再解答问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式和．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了. 解答过程如下： 这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法． 利用上述思想方法，把下列各式分解因式： （1） （2） 16．阅读材料：若，求x，y的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 根据上述材料，解答下列问题： （1），求的值； （2），，求的值． 17．已知a+b=-2，a-b=2，把（a2+b2-1）2-4a2b2先分解因式，再求值． 18．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法． 如①和②： ① ② 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：； （2）两个不相等的实数m，n满足．若，，求和k的值． 19．阅读理解：下面是小明同学分解因式ax+ay+bx+by的方法，首先他将该多项式分为两组得到 （ax+ay）+ （bx+by）．然后对各组进行因式分解，得到a （x+y）+ b （x+y），结果发现有公因式（x+y），提出后得到 （x+y） （a+b）． （1）小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式进行因式分解，则她最后提出的公因式是 ； （2）请同学们也尝试用小明的方法对多项式进行因式分解； （3）若小强同学将多项式进行因式分解时发现有公因式（x﹣3），求的值． 20．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式： 甲：x2＋2ax﹣3a2 ＝x2＋2ax＋a2﹣a2﹣3a2 ＝（x＋a）2﹣4a2（分成两组） ＝（x＋a）2﹣（2a）2 ＝（x＋3a）（x﹣a）（平方差公式） 乙：a2﹣b2﹣c2＋2bc ＝a2﹣（b2＋c2﹣2bc）（分成两组） =a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a＋b﹣c）（a﹣b＋c）（再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）x2﹣4x＋3 （2）x2-2xy-9+y2 （3）x2+2xy+y2-6x-6y+9 21．整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形． 例如，是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法把多项式因式分解． 又如、是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到、，这是运用公式法把多项式因式分解． 有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解． 甲： （分成两组） （分别提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） 请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解 问题一：因式分解： （1）； （2）． 问题二：探究 对、定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．当时，对任意有理数、都成立，试探究，的数量关系． 22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成块，其中有块是边长为的大正方形，块是边长都为的小正方形，块是长为，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 23．阅读下列材料：对于多项式x2＋x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x2＋x﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x＋2），于是我们可以得到：x2＋x﹣2＝（x﹣1）（x＋2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx＋n），解得m＝2，n＝1，于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x＋1）． 请你根据以上材料，解答以下问题： （1）当x＝　 　时，多项式8x2﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x2﹣x﹣7有因式 　 　，从而因式分解8x2﹣x﹣7＝　 　； （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式： ①3x2＋11x＋10； ②x3﹣21x＋20 24．用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排乱的解题过程： ①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x1＝﹣1，x2＝6，④（x＋1）（x﹣6）＝0 （1）解题步骤正确的顺序是　 　； （2）请用因式分解法解方程：（x＋3）（x﹣1）＝12 25．我们知道部分二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，如： ∴原式 部分二次四项式也可以用十字相乘法进行因式分解，如： ∴原式 用十字相乘法分解下列各式： （1） （2） （3） 26．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长宽为a、b的长方形C型纸片，小明用了部分纸片拼出图1，他根据几何图形的面积关系可以得到一个等式：． （1）小明又拼出图2，请根据图2写出一个等式：_____________． （2）小明同学接着用x张A型纸片，y张B型纸片，z张C型纸片拼出了一个面积为的大长方形,那么_______． （3）最后小明同学又选取了2张A型纸片，6张B型纸片，7张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为_________．（用含a、b的代数式表示）