专题10推理能力课之轴对称综合重难点专练（解析版）（人教版）.docx

专题10推理能力课之轴对称综合重难点专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，问共有几个这样的点P（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】 利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可． 【详解】 解：如图所示：A、B、C、P为轴对称图形，共有4个这样的点P． 答案：B． 【点睛】 此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 2．是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立直角坐标系，将该三角形先向下平移2个单位，然后再将平移后的图形沿y轴翻折，得到，则点B对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据网格求出点B坐标，向下平移2个单位，点 B的横坐标不变，纵坐标减2得对应点B1的坐标，再沿y轴翻折，横坐标变为相反数，纵坐标不变即可得出点B′（-4，3）． 【详解】 解：∵点B坐标为（4，5） 向下平移2个单位，得点B对应点的坐标B1（4，5-2），即B1（4，3）， 再沿y轴翻折， 点B′（-4，3）， 故选择A． 【点睛】 本题考查根据平面直角坐标系写出点的坐标，平移的性质，轴对称性质，掌握平面直角坐标系点的坐标构成，平移的性质，轴对称性质是解题关键． 3．如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】 连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】 解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】 此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 4．如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（ ） A．19 B．28 C．29 D．38 【答案】B 【分析】 连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长． 【详解】 解：连接BD、DC， ∵AD平分∠ BAC，， ∴DE=DF， ∵AD=AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF=9， ∵DG垂直平分BC， ∴BD=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴BE=CF， 的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28， 故选：B． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形． 5．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意． 【详解】 解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB, 在△ACD和△AED中 ∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD ∴△ACD≌△AED（AAS） ∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确； 在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B 在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B ∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确； 选项B，只有AE=EB时，才符合题意． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键． 6．在 中，， ，点是边 上一定点，此时分别在边 ，上存在点 ，使得周长最小且为等腰三角形，则此时的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 如图，先作分别关于，对称的三角形，以及的对称点，，找到周长最小的条件即、M、N、共线时，进而设，，，，通过各边关系列出方程，解出x，即可求得的值. 【详解】 如图作分别关于，对称，得，，以及的对称点，， 则，， 所以、M、N、共线时，周长最小。 作、、关于的垂线，垂足为、、， 由梯形的性质，得， 在中，， 设，，，， 则由， ， 令，由，得， 所以， 即， 化简得， 所以， 又因为平分，故， 所以， 若，则，解得（负根舍去）， 此时 ， 同理可知，若或均可得， 所以， 故选B 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及轴对称的应用。根据题意正确的做出对称图形是本题的关键. 7．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可以得到CM+MN 的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解． 【详解】 解：如图，作N关于BD的对称点，连结N，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则 ∵BD平分 ∠ABC ， ∴在AB上，且MN=M， ∴CM+MN=， ∴根据两点之间线段最短可得CM+MN 的最小值为，即C点到线段AB某点的连线， ∴根据垂线段最短，CM+MN 的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度， ∵△ABC 的面积为 10 ， ∴， ∴CE=5， 故选B． 【点睛】 本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最短等性质是解题关键．　 8．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】 由条件可得点A是点C冠以ED的对称点，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在点P运动的过程中，P与E重合时有最小值． 【详解】 解：∵ED是AC的垂直平分线， ∴PC+PB=PA+PB， ∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值， ∴PB+PC的最小值=AB=5． 故选：A 【点睛】 本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键． 二、填空题 9．如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________． 【答案】 【分析】 作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，根据轴对称的性质得出△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，即可得出∠BOD=∠BOD′，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠ODF′，由∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠ODF′+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF=180°． 【详解】 解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″， 由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′， ∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F， ∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G， ∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°， ∴2∠AOB+∠GDF=180°， 故答案为2∠AOB+∠GDF=180°． 【点睛】 本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 10．如图，直线l为线段的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是____． 【答案】 【分析】 根据全等三角形的判定直接写出条件即可 【详解】 证明：添加：，理由如下： ∵直线l为线段的垂直平分线 ∴AC=CB,∠ACE=∠BCF 又 ∴（SAS） 故答案为： 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定是关键 11．如图，的斜边在x轴上，，C在第一象限，，是线段上的动点，过点P作的垂线a，以直线a为对称轴，线段进行轴对称变换后得线段． （1）当点和点C重合时，m的值为______________． （2）当线段与线段没有公共点时，m的取值范围是___________． 【答案】 或 【分析】 （1）根据折叠的性质可知，当点与点重合时，点是的中点，过点作于点，求出和的长，依此可得点坐标，再根据中点坐标公式即可求解； （2）分线段在线段的上面和线段在线段的下面两种情况讨论即可求解． 【详解】 解：（1）过点作于点． 在中，，， ，， 在中，，， ， 点坐标为，，点坐标为， 当点与点重合时，点坐标为，， 的值为； （2）线段在线段的上方， ， ， ， ， 则； 线段在线段的下方， ． 综上所述，或． 故答案为：；或． 【点睛】 本题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，中点坐标公式，以及分类思想的运用． 12．将一条两边互相平行的纸带沿折叠，如图（1），，，设 （1）_______（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿折叠成图（2），________（用含x的代数式表示）． 【答案】 【分析】 （1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得，，最后计算出； （2）由折叠和平角的定义求出，再次折叠经计算求出 ． 【详解】 解：（1）如图1所示： ， ，， 又， ， 又， ， 又， ； （2）如图2所示： ， ， 又， 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】 本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义和角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系． 13．一条两边沿互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则___________度． 【答案】230 【分析】 将围巾展开，根据折叠的性质得：则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，根据平行线的性质得：∠FDC=∠KCG=2x，由平角的定义列式：∠FDC+∠FDM=180°，可得x的值，从而得结论． 【详解】 解：如图乙，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN， 设∠ABC=x，则∠DAB=x+10°， ∵CD∥AB， ∴∠ADM=∠DAB=x+10°=∠ADF， ∵DF∥CG， ∴∠FDC=∠KCG=2x， ∵∠FDC+∠FDM=180°， ∴2x+2（x+10°）=180°， x=40°， ∴3∠DAB+2∠ABC=3（x+10°）+2x=5x+30°=230°， 故答案为：230． 【点睛】 此题考查了平行线性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 14．如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；③∠B＝3∠BCC′；④DC∥EC；其中正确的是：________；(只填写序号) 【答案】①②④ 【分析】 根据折叠的全等性质,垂直平分线的性质,平行线的判定定理,外角的性质等判断即可 【详解】 解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处， ∴∠1=∠2，A=AC，DC=D， ∴AD垂直平分C′C； ∴①，②都正确； ∵B＝D， DC=D， ∴B＝D= DC， ∴∠3=∠B，∠4=∠5， ∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC； ∴③错误； 根据折叠的性质，得∠ACD=∠AD=∠B+∠3=2∠3， ∵∠ACB的角平分线交AD于点E， ∴2（∠6+∠5）=2∠B， ∴ ∴D ∥EC ∴④正确； 故答案为：①②④. 【点睛】 本题考查了折叠的性质，平行线的判定，外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各种基本性质是解题的关键. 15．如图，点F，G是长方形ABCD边AD上两点，点H是边CD上的点，连接BF，GH，分别将△ABF，△GDH沿BF，GH翻折，点A，D恰好都与对角线上的点E重合，若∠ABF＝25°，则∠EHC＝___． 【答案】100° 【分析】 由△ABF沿BF翻折，∠ABF=25°，可得∠ABD=50°，∠ADB=40°，再由△GDH沿GH翻折，可得∠DGH=50°，∠GHD=40°，则∠DHE=80°，所以∠EHC=180°-80°=100°． 【详解】 解：∵将△ABF沿BF翻折， ∴∠ABF=∠EBF， ∵∠ABF=25°， ∴∠EBF=25°， ∴∠ABD=50°， ∴∠ADB=40°， ∵将△GDH沿GH翻折， ∴∠DHG=∠EHG，GD=GE，GH⊥ED， ∴∠DGH=50°， ∴∠GHD=40°， ∴∠DHE=80°， ∴∠EHC=180°-80°=100°， 故答案为：100°． 【点睛】 本题考查了折叠问题，长方形的性质，熟练掌握折叠中角的相等关系是解题的关键． 16．如图将长方形纸片沿直线折叠，点A、B分别对应点E、F，再将折叠后的四边形沿着射线的方向平移，点F恰好与点C重合后停止，平移后的四边形为四边形，要使，则的度数为__________． 【答案】 【分析】 先求出的度数，由平移得FN∥，求出的度数，再利用翻折的性质求出答案． 【详解】 解：∵，， ∴， 由平移得FN∥， ∴， 由翻折得∠BNM=∠FNM， ∴． 故答案为：． 【点睛】 此题考查翻折的性质，平移的性质，长方形的性质，熟记各性质并综合运用解决问题是解题的关键． 17．如图，点，分别为长方形纸片的边，上的点，将纸片沿翻折，点，分别落在点，处．下列结论一定正确的有________（填序号即可）． ①；②；③；④若的度数比的倍还多，则的度数为． 【答案】①③ 【分析】 利用平行线的性质及翻折的性质判断①；利用平行线的性质判断②；利用翻折的性质及即可判断③；设，则，根据题意列得，求出x的值即可得到判断④． 【详解】 解：由题意得AB∥CD， ∴， 由折叠得， ∴，故①正确； ∵AB∥CD， ∴， ∵∥， ∴， ∴，故②错误； 由翻折得． ∵． ∴，故③正确； 设，则， ∴， 解得， ∴，故④错误； 故答案为：①③． 【点睛】 此题考查平行线的性质，翻折的性质，列一元一次方程解决问题，熟记平行线的性质及翻折的性质是解题的关键． 18．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___． 【答案】 【分析】 根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系． 【详解】 解：平分，平分， ，， ， 即； 如图，连接． 点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键． 19．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是____________． 【答案】(0，3) 【分析】 由题意根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标． 【详解】 解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（-3，0），AE=4， 则B′E=4，即B′E=AE， ∵C′O∥AE， ∴B′O=C′O=3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故答案为：（0，3）． 【点睛】 本题主要考查利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题的关键． 20．如图，在四边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为______． 【答案】 【分析】 延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、，此时周长最小，推出，进而得出的度数． 【详解】 解：延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、． ， 、关于对称，、关于对称， ，， ，同理：， ，，、M、N、在同一直线上时△AMN的周长最小， ，， ， ， ， ． ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 三、解答题 21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，1），C（2，4）． （1）在平面直角坐标系中描出点A，B，C，并作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）如果将△ABC向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A2B2C2，直接写出，B2，C2的坐标， （3）求△A2B2C2的面积； 【答案】（1）见解析；（2）；（3）9 【分析】 （1）根据A、B、C三点坐标描出各点即可；依据轴对称的性质，作出对称点，顺次连接各点即可得出△A1B1C1； （2）依据平移性质，可得到△A2B2C2，进而可得到，B2，C2的坐标； （3）依据网格特点，利用割补法和三角形面积公式求解即可． 【详解】 （1）如图所示； （2）作出△A2B2C2，如图所示， 则； （3）由图象可知，△A2B2C2的面积． 【点睛】 本题考查坐标与图形变换-轴对称、坐标与图形变换-平移、三角形的面积公式，作图时找到图形的关键点是解答的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），请按下列要求画图并填空． （1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为 　 　； （2）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并写出点F的坐标为 　 　． 【答案】（1）画图见解析，（2，﹣4）；（2）画图见解析，（0，4） 【分析】 （1）根据平移的性质即可得线段CD； （2）作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点F，由图即可知点F的坐标． 【详解】 解：（1）如图线段CD即为所求； 根据平移可知：点D的坐标是（2，﹣4）． 故答案为：（2，﹣4）； （2）作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点F， 由图知点F的坐标为F（0，4）． 故答案为：（0，4）． 【点睛】 本题考查了作图-平移变换，轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是根据平移的性质作出线段CD． 23．在平面直角坐标系中，对于点M（a，b），N（c，d），将点M关于直线x＝c对称得到点M′，当d≥0时，将点M′向上平移d个单位，当d＜0时，将点M′向下平移|d|个单位，得到点P，我们称点P为点M关于点N的对称平移点． 例如，如图已知点M（1，2），N（3，5），点M关于点N的对称平移点为P（5，7）． （1）已知点A（2，1），B（4，2）， ①点A关于点B的对称平移点为 　 　（直接写出答案）． ②若点A为点B关于点C的对称平移点，则点C的坐标为 　 　．（直接写出答案） （2）已知点D在第一、三象限的角平分线上，点C的横坐标为m，点E的坐标为（1.5m，0）． ①点K为点E关于点D的对称平移点，若以D，E，K，O为顶点的四边形围成的面积为6，求m的值； ②点E向右平移1个单位得到点F，点E向右平移6个单位得到点l，以EF一边向上作正方形EFGH，以F一边向上作正方形FIMN，点P为正方形EFGH的边上的一个动点，在点P运动过程中，若D点关于P点的所有对称平移点都在正方形FIMN的内部或边上，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①（6，3）；②(3,-1)；（2）①；②或 【分析】 (1)①根据点P为点M关于点N的对称平移点的定义，画出图形，可得结论； ②根据点P为点M关于点N的对称平移点的定义画出图形，可得结论； (2)①分两种情形: ，根据梯形的面积公式，构建方程求解即可； ②分两种情形构建不等式组求解即可． 【详解】 (1)①如图1中，点A关于点B的对称平移点P为（6，3）， 故答案为: （6，3） ②如图1中， ∵点A为点B关于点C的对称平移点， ∴点C的坐标为(3,-1)， 故答案为: (3,-1) （2）如图2中， ①当m > 0时，四边形OKDE是梯形， ∵ ∴当或（舍弃） 当时，同理可得 综上所述，m的值为：； ②当时，m必须满足 解得 当m<0时，同法可得 综上所述，满足条件的m的值为或 【点睛】 本题属于四边形综合题，掌握梯形的面积公式，不等式组，轴对称，平移变换等知识是解题的关键． 24．如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在的位置； （1）若∠1的度数为a，试求∠2的度数（用含a的代数式表示）； （2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在的位置． ①若，∠1的度数为a，试求∠3的度数（用含a的代数式表示）： ②若，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数． 【答案】（1）；（2）①；②50° 【分析】 （1）由平行线的性质得到∠4=∠B′FC=α，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可； （2）①由（1）知，∠BFE=，根据平行线的性质得到∠BFE=∠C′GB=，再由折叠的性质及平角的定义求解即可； ②由（1）知，∠BFE=∠EFB′=90°-∠1，由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′=90°，再根据折叠的性质得到∠1+180°-2∠3=90°，结合∠3=∠1+20°即可求解． 【详解】 解：（1）如图， 由题意可知，A′E//B′F， ∴∠4=∠1=α， ∵AD//BC， ∴∠4=∠B′FC=α， 由折叠的性质可知，∠2=∠BFE， ∵∠BFE+∠2+∠B′FC=180°， ∴∠2=×（180°-α）=； （2）①由（1）知，∠BFE=90°-α， ∵EF//C′G， ∴∠BFE=∠C′GB=， 再