专题01 运算能力之乘法公式综合难点专练（解析版）（人教版）.docx

专题01运算能力之乘法公式综合难点专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】 根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】 解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形， ∴2（m-3）+2（n-3）=32， ∴m+n=22， ∵mn=120， ∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484， ∴m2+n2=244， ∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4， ∵m＞n， ∴m-n=2． 故选：A． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式． 2．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（　　） A．22 B．24 C．42 D．44 【答案】C 【分析】 由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，进而得到ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42． 【详解】 解：设正方形A、B的边长分别为a、b，由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2， 图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20， 所以ab＝10， 由图3可知，阴影部分面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42． 故选：C． 【点睛】 此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键． 3．如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（ ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】A 【分析】 设①小长方形的长为，宽为b，根据正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22根根据大长方形阴影面积为长为，宽为的长方形面积-7个小长方形面积=96列方程求出即可． 【详解】 解：设①小长方形的长为，宽为b， 根据②正方形边长为，阴影面积为， 根据③大长方形的长为，宽为，阴影面积为， ∴联立得， 整理得， 解得， 一个小长方形①的面积为5． 故选择A． 【点睛】 本题考查图形阴影面积应用问题，多项式乘法与图形面积，完全平方公式，仔细分析图形，从中找出等量关系，正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22，大长方形阴影面积为长为，宽为的长方形面积-7个小长方形面积=96，列方程组是解题关键． 4．利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算． 【详解】 解： A、不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为，所以不符合题意； B、不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意； C、，所以符合题意； D、不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为，所以不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：是解答问题的关键． 二、填空题 5．如图，长方形的边，E是边上的一点，且，F，G分别是线段，上的动点，且，现以，为边作长方形，以为边作正方形，点H，I均在长方形内部．记图中的阴影部分面积分别为，长方形和正方形的重叠部分是四边形，当四边形的邻边比为3∶4，的值为________． 【答案】7或 【分析】 利用长方形及正方形的性质可求解KI=2DG-10，KH=DG-3，根据当长方形KILH的邻边的比为3：4可求解DG的长，再利用DG的长分别求解AF，CG，AJ的长，进而可求解，注意分类讨论． 【详解】 解：在长方形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=13． ∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为长方形，BF=DG， ∴四边形KILH为长方形，KI=HL=2DG-AB=2DG-10． ∵BE=BA=10， ∴LG=EC=3， ∴KH=IL=DG-LG=DG-3． 当长方形KILH的邻边的比为3：4时，（DG-3）：（2DG-10）=3：4，或（2DG-10）：（DG-3）=3：4， 解得DG=9或， 当DG=9时，AF=CG=1，AJ=4， ∴S1+S2=AF•AJ+CE•CG=1×4+1×3=7； 当DG=时，AF=CG=，AJ=， ∴S1+S2=AF•AJ+CE•CG = = 故答案为7或． 【点睛】 本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 6．计算：（1）若x满足则的值为____； （2）如上图，，长方形的面积是50，四边形和以及都是正方形四边形是长方形，则图中正方形的面积为_______． 【答案】120 204 【分析】 （1）设（30-x）=m，（x-20）=n，求出mn和m+n，利用完全平方公式计算即可； （2）根据正方形ABCD的边长为x，AE=2，CG=4，所以DE=x-2，DG=x-4，得到（x-2）（x-4）=50，设x-2=a，x-4=b，从而得到ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，根据题意求出（a+b）2，即可求出正方形NFMP的面积． 【详解】 解：（1）设（30-x）=m，（x-20）=n， ∴（30-x）（x-20）=mn=-10， ∴m+n=（30-x）+（x-20）=10， ∴（30-x）2+（x-20）2， =m2+n2， =（m+n）2-2mn， =102-2×（-10） =120； （2）∵正方形ABCD的边长为x，AE=2，CG=4， ∴DE=x-2，DG=x-4， ∴（x-2）（x-4）=50， 设x-2=a，x-4=b， ∴ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2， 则（a+b）2=（a-b）2+4ab=22+4×50=204， ∴正方形NFMP的面积为：204， 故答案为：（1）120；（2）204． 【点睛】 本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用． 7．找规律填数：＝_____（直接填写结果）． 【答案】10n 【分析】 将变形为，故． 【详解】 解： ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查算术平方根以及完全平方公式的逆运用，熟练掌握算术平方根以及完全平方公式的逆运用是解决本题的关键． 三、解答题 8．已知关于的二次三项式满足. （1）求整式； （2）若，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案即可； （2）直接利用整式的加减运算法则结合的值代入得出答案即可． 【详解】 解：（1）∵ ∴ ； （2）∵， ∴ . 当时，． 【点睛】 此题主要考查了整式的加减，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键． 9．计算： （1）； （2）； （3）； （4）请用简便方法计算： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）-16． 【分析】 （1）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项即可； （2）先根据单项式乘以多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可； （3）先根据积的乘方化简，再从左往右计算即可； （4）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键． 10．计算： （1） （2）; （3）; （4）． 【答案】（1）-5x3 y5 z3；（2）；（3）18；（4）． 【分析】 （1）根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可； （3）分别根据多项式乘以多项式和单项式乘以单项式运算法则去括号，然后外挂； （4）运用平方差公式进行计算即可得到答案． 【详解】 解： ． ． 18 ． 【点睛】 此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键． 11．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． （1）对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_____，宽为_____，用长乘以宽可求得其面积，同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． （2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？ 方法1（从整体角度）：_________； 方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：_____________； 数学等式：______________________． （3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知，，求的值． 【答案】（1）（a+2b），（a+b）；（2）（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）15 【分析】 （1）根据图形直接得出长为（a+2b），宽为（a+b）； （2）整体上是一个边长为（a+b+c）的正方形，各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式； （3）将（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，变形为（a+b+c）2-a2-b2-c2=2ab+2bc+2ac，再整体代入求值即可． 【详解】 解：（1）由图形直观得出，长为：（a+2b），宽为（a+b）， 故答案为：（a+2b），（a+b）； （2）方法1（从整体角度）：（a+b+c）2， 方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 因此有数学等式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （3）由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得， 2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2-（a2+b2+c2）， ∵a+b+c=7，a2+b2+c2=19， ∴2ab+2bc+2ac=49-19=30， ∴ab+bc+ac=15． 【点睛】 本题考查完全平方公式的几何背景，因式分解以及多项式乘以多项式的计算法则，掌握公式特征和适当变形是正确应用的前提． 12．某公园对一个边长为a（a＞1）的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等． （1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的对吗？请你说明理由． （2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改造后，向东扩展了多少米？ （3）如果正方形的花坛边长是a米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示出改造后长方形的长． 【答案】（1）小明的说法不对，理由见解析；（2）向东扩展米；（3） 【分析】 （1）理由平方差公式求出小明所得的图形面积，与原图形面积相比较即可得到答案； （2）设向东扩展x米，根据题意得方程，解方程即可； （3）利用长方形的面积公式计算即可 【详解】 解：（1）小明的说法不对，理由如下： 由题意得：， ∴小明的说法不对； （2）设向东扩展x米， 由题意得， 解得x=， 答：向东扩展米； （3）改造后长方形的长为 【点睛】 此题考查了平方差计算公式与图形面积，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键 13．对于实数a，b，c定义一种新运算，规定 例如： （1）求； （2）如图，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．连接AF和AD，求图中阴影部分的面积； （3）若，求的值． 【答案】（1）15；（2）；（3） 【分析】 （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则列出方程，得到，运用完全平方公式可得，再把这两个条件代入阴影面积的代数式可得； （3）根据新定义运算法则列出方程，配方得，根据非负数性质可得． 【详解】 （1）= 故答案为：15 （2） 又 （3） ， 【点睛】 考核知识点：新定义运算、乘法公式．熟练掌握完全平方公式是关键． 14．现定义运算，对于任意有理数a，b，都有如：，． （1）若，求x的取值范围； （2）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，计算：． 【答案】（1）x的取值范围是；（2）. 【分析】 （1）根据新定义的运算方法进行计算即可， （2）在理解新定义运算的意义和转换方法，然后类推计算即可． 【详解】 解：（1）∵x<x+2，x>x-3， ∴， ． ∵， ∴． ∴． ∴． x的取值范围是． （2）∵a-b<0，2b>0，b-a>0，2a-2b<0， ∴a-b<2b，b-a>2a-2b． . 【点睛】 此题主要考查了整式的四则运算以及新定义运算的意义，理解新定义的运算方法是正确解答的前提． 15．如图1，用4个相同边长是、的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形． （1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则值为__________；则的值为__________； （2）若小长方形两边长为和，则大正方形的边长为___________； 若满足，则的值为__________； （3）如图2，正方形的边长是，它由四个直角边长分别是，的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想，，三边的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）2，6；（2）5，17；（3），理由见解析 【分析】 （1）大正方形的边长为x+y，小正方的边长为x-y，由面积可求出正方形的边长； （2）小长方形两边之和为正方形的边长，再由完全平方公式求解即可； （3）根据大、小正方形和4个直角三角形的面积之间的关系得出结论． 【详解】 解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4， ∴，， 又∵， ∴，， 故答案为：2，6； （2）大正方形的边长为， ∵， ∴， 故答案为：5，17； （3），，三边的数量关系为． 理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为， 由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得， ， 即． 【点睛】 本题考查完全平方公式的几何背景，理清各个图形面积之间的关系是解决问题的关键，用代数式表示各个部分的面积是得出结论的前提. 16．某同学用如图所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图所示的正方形． （1）①请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ． ②以上结果可以验证的乘法公式是 ． （2）根据上面的结论计算： ①已知m＋n＝5，，求mn的值． ②已知（2019−m）（2020−m）＝1010，求的值． 【答案】（1）①，；②＝；（2）①7；②2021 【分析】 (1)①方法一：阴影部分面积为两个小正方形面积之和，分别求出两个小正方形面积然后相加即可；方法二：阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，分别求出面积然后进行计算即可；②根据完全平方公式可以很容易得出答案； (2)①根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案；②根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案. 【详解】 解：（1）①方法一：由题意可知阴影部分面积为两个小正方形面积之和 ∴ 方法二：由阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积 ∴ ②∵ ∴ 即验证的乘法公式为 （2）①∵m＋n＝5 ∴ ∵ ∴ ∴mn＝7 ②∵（2019−m）（2020−m）＝1010， ∴ 【点睛】 本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键在于能够熟练掌握相关公式. 17．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 猜想发现：由；；；；； 猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）． 猜想证明：∵ ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）． 猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为 【分析】 猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可； 变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可； 拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可． 【详解】 猜想运用： ∵， ∴， ∴， ∴当时，， 此时， 只取， 即时，函数的最小值为2． 变式探究： ∵， ∴，， ∴， ∴当时，， 此时， ∴，（舍去）， 即时，函数的最小值为5. 拓展应用： 设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得： ， 即， ∵，， ∴， 即， 整理得：， 即， ∴当时， 此时，， 即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为． 【点睛】 本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题． 18．有些同学会想当然地认为． （1）举出反例说明该式不一定成立； （2）计算； （3）直接写出当、满足什么条件，该式成立． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】 （1）选一组使等式不成立的x、y值即可； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则进行推导计算即可； （3）将x=y代入等式中即可解答． 【详解】 解：（1）令， ，（反例不唯一） ∵ ，， ， ∴该等式不一定成立； （2） = =， 即 （3）将代入中， 得： ，，0=0， ∴当、满足x=y时，该式成立． 【点睛】 本题考查整式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握整式的混合运算是解答的关键． 19．计算： （1）8x2y2÷2y2； （2）（﹣2a2）3+4a5•a； （3）（x+2y）2﹣2y（2x+y）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）4x2；（2）-4a6；（3）x2+2y2；（4）；（5）；（6）． 【分析】 （1）根据单项式除以单项式可以解答本题； （2）根据积的乘方、单项式乘单项式和合并同类项可以解答本题； （3）根据完全平方公式、单项式乘多项式可以解答本题； （4）根据分式的减法和除法可以解答本题； （5）根据分式的除法和减法可以解答本题； （6）根据分式的减法和除法可以解答本题． 【详解】 解：（1）8x2y2÷2y2=4x2； （2）(-2a2)3+4a5•a =(-8a6)+4a6 =-4a6； （3）(x+2y)2-2y(2x+y) =x2+4xy+4y2-4xy-2y2 =x2+2y2； （4） ； （5） ； （6） ． 【点睛】 本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 20．长方形ABCD和正方形CEFH，按如图所示的方式叠放在一起，且长方形ABHG与长方形DEFG的周长相等（其中点D在EC上，点B在CH的延长线上，AD和FH相交于点G），正方形CEFH的边长为m，长方形ABCD的宽为x，长为y（x＜m＜y）． （1）写出x，y，m之间的等量关系； （2）若长方形ABHG的周长记作C1，长方形DEFG的周长记作C2． ①求C1＋C2的值（用含y、m的代数式表示）； ②若关于y的不等式C1＋C2＜10-2m的正整数解只有2个，求m的取值范围； （3）若长方形ABHG的面积记作S1，长方形DEFG的面积记作S2，试比较2S2与S1的大小，并说明理由． 【答案】（1）2x+y=3m；（2）①2m+2y；②1≤m<；（3）2S2>S1 【分析】 （1）根据长方形ABHG与长方形DEFG的周长相等列式求解即可； （2）①把长方形ABHG与长方形DEFG的周长相加整理即可；②根据C1＋C2＜10＋2m列式求解； （3）分别表示出S1，S2，然后用作差法比较； 【详解】 解：（1）长方形ABHG的周长=2x+2(y-m)=2x+2y-2m，长方形DEFG的周长=2m+2(m-x)=4m-2x， ∵长方形ABHG与长方形DEFG的周长相等， ∴2x+2y-2m=4m-2x， ∴2x+y=3m； （2）①C1＋C2=2x+2y-2m+4m-2x=2m+2y； ②由C1＋C2＜10-2m，得 2m+2y＜10-2m， ∴y<5-2m， ∵C1＋C2＜10-2m的正整数解只有2个， ∴2<5-2m≤3， ∴1≤m<； （3）∵S1=x(y-m)=xy-xm，S2=m(m-x)=m2-mx， ∴2S2-S1= 2m2-2mx- xy+xm， ∵2x+y=3m ∴y=3m-2x ∴2S2-S1=2m2-2mx- x(3m-2x)+xm =2m2-4mx+2x2 =2(m-x)2， ∵x＜m＜y， ∴2(m-x)2>0， ∴2S2>S1． 【点睛】 本题考查了整式混合运算的应用，解一元一次不等式，根据题意正确列出算式是解答本题的关键． 21．若一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，则称m为“方和数”． （1）100 　 　“方和数”，110 　 　“方和数