专题01 三角形边或角关系的三种模型（解析版）（人教版）.docx

专题01 三角形边或角关系的三种模型 几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明角的数量关系，或者三角形的三边和差关系等，接来下我们针对这两个版块做出详细分析与梳理。 类型一、燕尾角模型 例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴,故选：A． 【变式训练1】如图，若，则____________． 【答案】230° 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【变式训练2】如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__． 【答案】360° 【详解】解：由图形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H， ∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°． 故答案为：360°． 【变式训练3】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__． 【答案】900° 【详解】解：连EF，GI，如图 ， ∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°， 故答案为：900°． 【变式训练4】模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用 （1）直接应用： ①如图2，，则__________； ②如图3，__________； （2）拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________； ②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________． 【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B-∠C+2∠D=0 【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°； ②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°； （2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）=∠BOC-（∠BOC-∠A） =∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°； ②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-10°=110°； ③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°） =142°； ④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC， ∠BOC=∠B+∠C+∠BAC， 联立得：∠B-∠C+2∠D=0． 类型二、折叠模型 例1.如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（       ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则，则． 故选：B． 【变式训练1】如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【详解】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB， ∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A， ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'， ∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°， 故选：D． 【变式训练2】如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵∠A＝55°， ∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°， ∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°， 由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°， ∵∠1＝95°， ∴∠2＝110°－95°＝15°， 故选：B． 【变式训练3】如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（   ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【详解】由折叠的性质可知 ∵ ∴ ∴ 故选C 【变式训练4】如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（       ）． A．42° B．69° C．44° D．32° 【答案】A 【详解】由图形翻折的性质可知，， ， ， ，利用“8”字模型， ， 故选：A． 类型三、“8”字模型 例1.如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF=， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【变式训练1】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【变式训练2】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：． （2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数． （3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是__； （4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________． 【答案】（1）见解析；（2）26°；（3）；（4） 【详解】解：（1）180°，180°， ． ，； （2），分别平分，，设，， 则有， ， （36°+16°）=26° （3）直线平分，平分的外角， ，，∴180°-， ∴180° ∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∴ ∴ ∴180°， 即90°． （4）连接PB，PD 直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵180°，180° ∴360° 同理得到：360° ∴720° ∴720° ∵180°，180° ∴360°，180°-