9.4 一元一次不等式组（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(28450634).doc

第九章 不等式与不等式（组） 9.4 一元一次不等式组（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 要点诠释： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 要点二、解一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 要点诠释： (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 2.一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 要点三、一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 要点诠释： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数． 【典型例题】 类型一、不等式组的概念 例1．解不等式组 【思路点拨】按照解不等式组的基本步骤进行求解就可以了． 【答案与解析】 解：解不等式①，得x≥1 解不等式②，得x＜4 所以，不等式组的解集是1≤x＜4． 【总结升华】求出不等式①、②的解集后，应取其公共部分作为不等式组的解集． 举一反三： 【变式】解不等式组 无解．则a的取值范围是 ( ) A．a＜1 B．a≤l C．a＞1 D．a≥1 【答案】B 例2. 不等式组是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由. 【思路点拨】解这类问题的第一步是分别求出各个不等式的解集；第二步借助数轴以确定不等式组的公共解集；最后看公共解集中是否存在整数解. 【答案与解析】 解：解不等式（1），得：x＜2； 解不等式（2），得：x-3； 解不等式（3），得：x-2； 在数轴上分别表示不等式（1）、（2）、（3）的解集： ∴原不等式组的解集为：-2≤x＜2. ∴原不等式组的整数解为：-2、-1、0、1. 【总结升华】求不等式组的解集就是求不等式组中所有不等式解集的公共部分.对于三个以上的不等式有时不容易得到公共解集，于是常常借助数轴的直观性，这样较容易确定其解集.在数轴上表示点的位置，要注意空心圈与实心圆点的不同用法. 举一反三： 【变式】解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【答案】解：， 由①得：x≥﹣2； 由②得：x＜， ∴不等式组的解集为﹣2≤x＜， 则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3． 例3.试确定实数a的取值范围．使不等式组 恰好有两个整数解． 【思路点拨】先确定其解集，再判断出整数解，最后利用数轴确定a的范围． 【答案与解析】 解：由不等式，去分母得3x+2(x+1)＞0， 去括号，合并同类项，系数化为1后得x＞． 由不等式去分母得 3x+5a+4＞4x+4+3a，可解得x＜2a． 所以原不等式组的解集为，因为该不等式组恰有两个整数解：0和l，故有：1＜2a≤2，所以：≤１． 【总结升华】此题考查的是一元一次不等式组的解法，得出x的整数解，再根据x的取值范围求出a的值即可． 举一反三： 【变式】.已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值． 【答案】解：解第一个不等式，得解集， 解第二个不等式，得解集， ∵不等式组的解集为x＞2， ∴，即，又为自然数， ∴或1或2． 类型二、解特殊的一元一次不等式组 例4.求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或 ②． 解①得x＞；解②得x＜﹣3． ∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3． 请你仿照上述方法解决下列问题： （1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集． （2）求不等式≥0的解集． 【答案与解析】 解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得①或②， 解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜； （2）根据“同号两数相乘，积为正”可得①，②， 解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2， 故不等式组的解集为：x≥3或x＜﹣2． 【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 类型三、一元一次不等式组的应用 例5.某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)该校初三年级共有多少人参加春游? (2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【思路点拨】本题的关键语句是：“若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人”．理解这句话，有两层不等关系． (1)租用36座客车x辆的座位数小于租用42座客车(x-1)辆的座位数． (2)租用36座客车x辆的座位数大于租用42座客车(x-2)辆的座位数+30． 【答案与解析】 解：(1)设租36座的车x辆． 据题意得：， 解得：． 由题意x应取8，则春游人数为：36×8＝288(人)． (2)方案①：租36座车8辆的费用：8×400＝3200(元)， 方案②：租42座车7辆的费用：7×440＝3080(元)， 方案③：因为42×6+36×1＝288，所以租42座车6辆和36座车1辆的总费用： 6×440＋1×400＝3040(元) ． 所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【总结升华】本例不等关系相对隐蔽，需要在审题过程中加以挖掘． 举一反三： 【变式1】“向阳”中学某班计划用勤工俭学收入的66元，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲乙丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学．已知购买的乙种纪念品比购买的甲种纪念品多2件，而购买的甲种纪念品不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲乙丙三种纪念品各多少件？ 【答案】 解：设购买的甲、乙、丙三种纪念品件数分别为x、y、z，由题意得： 且 由方程组得： 解不等式组得：10≤x≤11 ∵x为整数，∴x＝10或x＝11 当x＝10时，y＝12，z＝12 当x＝11时，y＝13，z＝7 ∴可有两种方案购买． 【变式2】5.12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作． 拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李． (1) 设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案； (2) 若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案． 【答案】 解：（1）设租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车，则： ， 解得：， ∵应为整数，∴或8， ∴有两种租车方案，分别为： 方案1：租甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；方案2：租甲种汽车8辆，乙种汽车0辆． （2）租车费用分别为： 方案1: 8000×7＋6000×1＝62000（元）；方案2：8000×:8＝64000（元）． ∴ 方案1花费最低，所以选择方案1． 【巩固练习】 一、选择题 1．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（　　） A．m=3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3 2．若不等式组有实数解．则实数m的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 3．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ( ) A．a＜1 B．a≤l C．1 D．a≥1 4．关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是 ( ) A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7 5．某班有学生48人，每人都会下象棋或者围棋，且会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有 （ ） A．20人 B．19人 C．11人或13人 D．20人或19人 6．某城市的一种出租车起步价是7元（即在3km以内的都付7元车费），超过3km后，每增加1km加价1.2元（不足1km按1km计算），现某人付了14.2元车费，求这人乘的最大路程是（ ） A．10km B．9 km C．8km D．7 km 二、填空题 7.已知，且，则k的取值范围是________． 8．如果不等式组无解，则a的取值范围是　 　． 9．如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为_______． 10．将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子分得的橘子将少于3个，则共有_______个儿童，_______个橘子． 11．对于整数a、b、c、d，规定符号．已知，则b+d的值是________． 12. 在△ABC中，三边为、、, （1）如果，，，那么的取值范围是 ； （2）已知△ABC的周长是12，若是最大边，则的取值范围是 ； （3） ． 三、解答题 13.解下列不等式组． (1) (2) （3） （4） 14.已知：关于x，y的方程组的解是正数，且x的值小于y的值． （1）求的范围； （2）化简|8+11|-|10+1|． 15.某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元． （1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？ （2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 答案与解析 一、选择题 1. 【答案】D； 【解析】解：不等式组变形得：， 由不等式组的解集为x＜3， 得到m的范围为m≥3， 故选D. 2. 【答案】A； 【解析】原不等式组可化为而不等式组有解，根据不等式组解集的确定方法“大小小大中间找”可知m≤． 3. 【答案】B； 【解析】原不等式组可化为根据不等式组解集的确定方法“大大小小没解了”可知a≤1． 4. 【答案】D； 【解析】解得原不等式组的解集为：3≤x＜m，表示在数轴上如下图，由图可得：6＜m≤7． 5. 【答案】D； 6. 【答案】B； 【解析】设这人乘的路程为xkm，则13＜7+1.2（x-3）≤14.2，解得8＜x≤9. 二、填空题 7. 【答案】＜k＜1； 【解析】解出方程组，得到x，y 分别与k的关系，然后再代入不等式求解即可． 8. 【答案】a≤1； 【解析】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1， 解不等式x﹣a＜0，x＜a． ∵不等式组无解， ∴a≤1． 9.【答案】1； 【解析】由不等式解得x≥4—2a．由不等式2x-b＜3，解得． ∵ 0≤x＜1，∴ 4-2a＝0，且，∴ a＝2，b＝-1．∴ a+b＝1． 10．【答案】7， 37； 【解析】设有x个儿童，则有0＜(4x+9)-6(x-1)＜3． 11.【答案】3或-3 ； 【解析】根据新规定的运算可知bd＝2，所以b、d的值有四种情况：①b＝2，d＝1；②b＝1，d＝2；③b＝-2，d＝-1；④b＝-1，d＝-2．所以b+d的值是3或-3． 12.【答案】(1) 4＜x＜28 (2)4＜b＜6 (3)2a； 【解析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 三、解答题 13.【解析】 解：（1）解不等式组 解不等式①，得x＞5， 解不等式②，得x≤-4． 因此，原不等式组无解． (2)把不等式进行整理，得，即， 则有①或②解不等式组①得；解不等式组②知其无解， 故原不等式的解集为. （3）解不等式组 解①得：， 解②得：， 解③得：， 将三个解集表示在数轴上可得公共部分为：≤x＜ 所以不等式组的解集为：≤x＜ (4) 原不等式等价于不等式组： 解①得：， 解②得：， 所以不等式组的解集为： 14.【解析】 解：（1）解方程组，得 根据题意，得 解不等式①得．解不等式②得＜5，解不等式③得，①②③的解集在数轴上表示如图． ∴ 上面的不等式组的解集是． （2）∵ ． ∴ 8+11＞0，10+1＜0． ∴ |8+11|-|10+1|＝8+11-[-(10+1)]＝8+11+10+1＝18+12． 15.【解析】 解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元． 根据题意得： 解得： 所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元． （2）设购买气排球x个，则购买篮球（50﹣x）个． 根据题意得：50x+80（50﹣x）≤3200 解得x≥26， 又∵排球的个数小于30个， ∴排球的个数可以为27，28，29， ∵排球比较便宜，则购买排球越多，总费用越低， ∴当购买排球29个，篮球21个时，费用最低． 29×50+21×80=1450+1680=3130元．