专题04 整式的乘法与因式分解单元综合提优专练（解析版）（人教版）.docx

专题04整式的乘法与因式分解单元综合提优专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1； ②x3+x=x(x2+1)； ③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 ①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解； ②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解； ③整式的乘法，故③不是因式分解； ④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解； 故选B 【点睛】 本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键． 2．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．2x（x+3）＝2x2+6x B．24xy2＝3x•8y2 C．x2+2xy+y2+1＝（x+y）2+1 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） 【答案】D 【分析】 根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】 A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选D． 【点睛】 本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3．已知A＝﹣4x2，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B•A，结果得32x5﹣16x4，则B+A为（ ） A．﹣8x3+4x2 B．﹣8x3+8x2 C．﹣8x3 D．8x3 【答案】C 【分析】 根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】 由题意可知：-4x2•B=32x5-16x4， ∴B=-8x3+4x2 ∴A+B=-8x3+4x2+（-4x2）=-8x3 故选C． 【点睛】 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 4．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ） A．2mn B．（m+n）2 C．（m-n）2 D．m2-n2 【答案】C 【详解】 解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2． 又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2． 故选C． 5．观察下列各式及其展开式： （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ） A．36 B．45 C．55 D．66 【答案】B 【分析】 归纳总结得到展开式中第三项系数即可． 【详解】 解：解：（a+b）2=a2+2ab+b2； （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7； 第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1； 第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1； 第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1， 则（a+b）10的展开式第三项的系数为45． 故选B． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的规律，根据给的式子得出规律是解题的关键. 6．已知a2+a﹣4=0，那么代数式：a2（a+5）的值是（ ) A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】 由a2+a﹣4=0，变形得到a2=-（a-4），a2+a=4，先把a2=-（a-4）代入整式得到a2（a+5）=-（a-4）（a+5），利用乘法得到原式=-（a2+a-20），再把a2+a=4代入计算即可． 【详解】 ∵a2+a﹣4=0， ∴a2=-（a-4），a2+a=4， a2（a+5）=-（a-4）（a+5）=-（a2+a-20）=−(4−20)=16， 故选D 【点睛】 此题考查整式的混合运算—化简求值，掌握运算法则是解题关键 7．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误. 【详解】 A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、不能分解，故C选项错误； D、，正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法以及注意事项是解题的关键. 8．观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（　　） A．， B．，4 C．3， D．3，4 【答案】A 【分析】 根据题意可得规律为，再逐一判断即可. 【详解】 根据题意得，a，b的值只要满足即可， A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意； B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意； C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意； D.3+4=7,3×4=12，不符合题意. 故答案选A. 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律. 9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分别表示出甲乙图形中阴影部分的面积，根据面积相等可得结论. 【详解】 甲图中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即，乙图中阴影部分长方形的长为，宽为，阴影部分的面积为，根据两个图形中阴影部分的面积相等可得. 故选：A. 【点睛】 本题考查了平方差公式的验证，灵活表示图形的面积是解题的关键. 10．因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案． 【详解】 解：∵甲看错了a的值 ∴b是正确的 ∵= ∴b=-6 ∵乙看错了b的值 ∴a是正确的 ∵= ∴a=-1 ∴= 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键． 二、填空题 11．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为_____． 【答案】5 【分析】 由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积，将a+b与ab的值代入计算即可求出值. 【详解】 解：根据题意得： 当a+b=7，ab=13时，S阴影= a2-b（a-b）=a2-ab+b2=[（a+b）2-2ab]-ab=5， 故答案为5 【点睛】 此题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解本题的关键. 12．甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了b，分解结果为；乙看错了a，分解结果为，则 ______ ． 【答案】15 【分析】 由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值. 【详解】 解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的， 他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8， ∴a=6， 同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9， ∴b=9， 因此a+b=15． 故应填15. 【点睛】 此题考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，利用对应项系数相等是求解的关键. 13．若x，y满足方程组则的值为______. 【答案】 【分析】 方程组中第二个方程整理后求出x+y的值，原式利用平方差公式变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】 解： 由②得， 因为， 所以. 故答案为 【点睛】 此题考查了二元一次方程组的解，以及平方差公式，将原式进行适当的变形是解本题的关键． 14．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形的边长之和为________． 【答案】5 【分析】 设正方形A，B的边长分别为a，b，根据图形构建方程组即可解决问题． 【详解】 解：设正方形A，B的边长分别为a，b． 由图甲得：， 由图乙得：，化简得， ∴， ∵a+b>0， ∴a+b=5， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查完全平方公式，正方形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 15．在我们所学的课本中，多项式与多项式相乘可以用几何图形的面积来表示.例如，（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图（1）来表示.请你根据此方法写出图（2）中图形的面积所表示的代数恒等式：____________. 【答案】（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2 【详解】 试题分析：图②的面积可以用长为a+a+b，宽为b+a+b的长方形面积求出，也可以由四个正方形与5个小长方形的面积之和求出，表示出即可． 解：根据图形列得：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2． 故答案为（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2． 考点：多项式乘多项式． 点评：此题考查了多项式乘以多项式法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 16．分解因式（2a﹣1）2+8a＝__． 【答案】（2a+1）2 【分析】 运用乘法公式展开，合并同类项即可，再根据完全平方公式进行分解因式． 【详解】 原式═4a2+4a+1＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2， 故答案为：（2a+1）2． 【点睛】 本题考查乘法公式在多项式的化简及因式分解中的运用．解题关键是明确要求，特别是因式分解时，要分解到不能再分解为止． 17．=_______． 【答案】 【分析】 先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案． 【详解】 解： = = = = 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键． 18．若多项式是完全平方式，则的值是______． 【答案】 【分析】 利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果． 【详解】 ∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键． 三、解答题 19．先化简，再求值： ，其中，． 【答案】ab-1, 【分析】 先算乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可． 【详解】 ， 当，时，原式． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 20．(1)若3a=5，3b=10，则3a+b的值． (2)已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值． 【答案】(1)50；(2)2 . 【分析】 （1）逆用同底数幂的乘法进行计算即可得； （2）由a+b=3，可得a2+2ab+b2=9，再根据a2+b2=5，即可求得ab的值. 【详解】 （1）∵3a=5，3b=10， ∴3a+b=3a×3b=5×10=50； （2）∵a+b=3， ∴（a+b）2=9， 即a2+2ab+b2=9， 又∵a2+b2=5， ∴ab=2. 【点睛】 本题考查了同底数幂乘法的逆用，完全平方公式，熟练掌握同底幂乘法的运算法则是解（1）的关键，掌握完全平方公式是解（2）的关键. 21．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)按要求填空： ①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______； ②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：______ 方法2：______ ③观察图②，请写出代数式(m+n)2，(m-n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：______； (2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2的值． (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______． 【答案】（1）①m﹣n；②（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2=20；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2 【分析】 （1）①观察可得阴影部分的正方形边长是m-n； ②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m-n的小正方形的面积；方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积； ③根据以上相同图形的面积相等可得； （2）根据|m+n-6|+|mn-4|=0可得m+n=6、mn=4，利用（1）中结论（m-n）2=（m+n）2-4mn计算可得； （3）根据：大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和列式可得． 【详解】 （1）①阴影部分的正方形边长是m﹣n． ②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积， 即（m﹣n）2， 方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn； ③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn． （2））∵|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0， ∴m+n﹣6=0，mn﹣4=0， ∴m+n=6，mn=4 ∵由（1）可得（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn ∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=62﹣4×4=20， ∴（m﹣n）2=20； （3）根据大长方形面积等于长乘以宽有：（2m+n）（m+n）， 或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有：2m2+3mn+n2， 故可得：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2． 故答案为（1）m﹣n；（2）①（m﹣n）2，②（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练的掌握完全平方公式的相关知识. 22．观察下列算式： ① ② ③ （1）请按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式； （2）把这个规律用含有字母的式子表示出来，并说明其正确性. 【答案】(1) 4×6-52=24-25=-1；5×7-62=35-36=-1；(2)n×（n+2）-（n+1）2=-1． 【分析】 （1）按照前3个算式的规律写出即可； （2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可． 【详解】 （1）①1×3-22=3-4=-1， ②2×4-32=8-9=-1， ③3×5-42=15-16=-1， ④4×6-52=24-25=-1； ⑤5×7-62=35-36=-1； （2）第n个式子是：n×（n+2）-（n+1）2=-1． 故答案为4×6-52=24-25=-1；5×7-62=35-36=-1；n×（n+2）-（n+1）2=-1． 【点睛】 本题是对数字变化规律的考查，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键． 23．阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下： 设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an ∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N） 又∵m+n=logaM+logaN ∴loga（M•N）=logaM+logaN 解决以下问题： （1）将指数43=64转化为对数式: . （2）仿照上面的材料，试证明： =—(a>0，al，M>0，N>0). （3） 拓展运用：计算log32+log36-log34=____. 【答案】（1）3=log464；；（2）见解析；（3）1 【分析】 （1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式； （2）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=am，N=an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论． 【详解】 （1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464， 故答案为3=log464； （2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an， ∴==am-n，由对数的定义得m-n=loga， 又∵m-n=logaM-logaN， ∴loga=logaM-logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； （3）log32+log36-log34， =log3（2×6÷4）， =log33， =1， 故答案为1． 【点睛】 此题考查整式的混合运算，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系. 24．阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，① 所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．② 所以c2＝a2+b2．③ 所以△ABC是直角三角形．④ 请据上述解题回答下列问题： （1）上述解题过程，从第　 　步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为　 　； （2）请你将正确的解答过程写下来． 【答案】（1）③，忽略了a2﹣b2＝0的可能；（2）见解析 【分析】 （1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以a2-b2，没有考虑a2-b2是否为0； （2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形． 【详解】 解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a2﹣b2＝0的可能； （2）正确的写法为：c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）， 移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0， 因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0， 则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2； 所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． 故答案为：③，忽略了a2﹣b2＝0的可能． 【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 25．如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块小正方形以及另两块长方形的纸板，恰好拼成一个大正方形，求大正方形的面积. 【答案】大正方形的面积是36cm2 【分析】 设小正方形的边长为x，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积． 【详解】 设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为4＋（5−x）cm或（x＋1＋2）cm， 根据题意得：4＋（5−x）＝（x＋1＋2）， 解得：x＝3， ∴4＋（5−x）＝6， ∴大正方形的面积为36cm2． 答：大正方形的面积为36cm2． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长． 26．某小区有一块长为()米,宽为()米的长方形地块(如图所示)，物业公司计划将中间修建一小型喷泉,然后将周围(阴影部分)进行绿化; (1)应绿化的面积是多少平方米? (2)当时求出应绿化的面积. 【答案】（1）；（2）63. 【分析】 （1）依据应绿色的面积=矩形面积-正方形面积列式计算即可； （2）将a=3，b=2代入化简后的结果，最后，依据有理数的运算法则进行计算即可. 【详解】 (1) 依题意得：绿化的面积= 答：绿化的面积为（）平方米； (2) 当时， 平方米. 答：当时应绿化的面积为63平方米. 【点睛】 本题考查了阴影部分面积的表示和多项式的乘法，完全平方公式，准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键. 27．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2－4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步） = y2+8y+16 （第二步） =（y+4）2 （第三步） =（x2－4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______． A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解． 【答案】（1）C；（2）不彻底，（x-2)4 ；（3） (x-1)4 【分析】 （1）观察多项式结构发现利用了完全平方公式； （2）观察发现分解不彻底，最后一步括号里还能利用完全平方公式分解； （3）类比例题中的方法将原式分解即可． 【详解】 解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式， 故选：C； （2）∵x2－4x+4=（x-2)2 ， ∴该同学因