9.5 《不等式与不等式组》章末复习（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(28450645).doc

第九章 不等式与不等式（组） 9.5 《不等式与不等式组》章末复习（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点二、一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点诠释： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 【典型例题】 类型一、不等式 例1. 判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）． （1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；　 　 （2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；　 　 （3）若a＞b，则 ac2＞bc2；　 　 （4）若ac2＞bc2，则a＞b；　 　 （5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．　 　 （6）若a＞b＞0，则＜．　 　． 【答案与解析】 解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确； （2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误； （3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误； （4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确； （5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确． （6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确． 故答案为：√、×、×、√、√、√． 【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变． 例2. 设x>y，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少? 【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。 【答案与解析】 解：可利用作差比较法比较大小． -(8-l0x)-[ -(8-l0y)] =-8+10x+8-10y =10x -10y． ∵x>y，∴10x>10y，∴10x -10y>0 ∴-(8-l0x)>-(8-l0y)． 按题意-(8-l0x)>0，则10x>8． ∴． ∴x的最小正整数值是1． 【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断： ① ② ③ 举一反三： 【变式】己知：x<0.5，比较2-4x和18x-9的大小. 【答案】 解：∵2-4x-（18x-9）=11-22x 而又∵x<0.5，∴-22x>-11 即11-22x>0 ∴2-4x>18x-9 类型二、一元一次不等式   例3. 已知关于x的不等式的解集是，求a的取值范围. 【答案与解析】 解：法一：， ， ∵它的解集为， ， . 法二：是关于x方程 的解， ，解得 . 【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解. 举一反三： 【变式1】如果关于ｘ的不等式正整数解为1、2、3, 则正整数ｋ应取怎样的值? 【答案】解不等式得： 　　　　∵ｋ为正整数且中的正整数解为1，2，3 　　　　∴ 　　　　∴． 【变式2】如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是　 　． 【答案】解：∵（a+1）x＞a+1的解集为x＜1， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1． 类型三、一元一次不等式组 例4. 求不等式组的整数解. 【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分. 【答案与解析】 解： 解不等式①得：x＜2 解不等式②得：x≥－1 解不等式③得：x＞-2 ∴不等式组的解集为－1≤x＜2 故不等式组的整数解为－1，0,1 【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出符合要求的特殊解． 举一反三： 【变式】若关于不等式组只有四个整数解，求a的取值范围. 【答案】 解：由，得， 由，得， ∴不等式组的解集为， ∵只有四个整数解，∴，即， ∴a的取值范围：. 例5. 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台．三种家电的进价和售价如下表所示： 价格 种类 进价（元/台） 售价（元/台） 电视机 2000 2100 冰 箱 2400 2500 洗衣机 1600 1700 (1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案? (2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元? 【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15-2x)台．根据两个关键词：“不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据x的取值讨论确定进货方案．(2)分别求出(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴． 【答案与解析】 解：(1)设购进电视机、冰箱各x台． 依题意，得 解这个不等式组得，6≤x≤7 ∵ x为正整数．∴ x＝6或7． 方案一：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台； 方案二：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台． (2)方案1需补贴： (6×2100+6×2500+3×1700)×13％＝4251(元)． 方案二需补贴： (7×2100+7×2500+1×1700)×13％＝4407(元)． ∴ 国家财政最多需补贴农民4407元． 【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这个不等式(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案． 类型四、综合应用 例6.已知不等式组的解集为，试求m，n的值． 【答案与解析】 解：解不等式，得． 解不等式 n-4(x-1)＜1，得． 因为不等式组的解集为， 所以有， ∴ ． 答：m、n的值分别1和3． 【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意，建立关于m、n的方程求解． 例7.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表： 种植户 种植A类蔬菜面积(单位：亩) 种植B类蔬菜面积(单位：亩) 总收入(单位：元) 甲 3 1 12500 乙 2 3 16500 说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等． (1)求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元? (2)某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有租地方案． 【答案与解析】 解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元． 由题意得： 解得 答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元． (2)设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a)亩． 由题意得： 解得：10＜a≤14． ∵ a取整数为：11、12、13、14． ∴ 租地方案为： 类别 种植面积单位：（亩） A 11 12 13 14 B 9 8 7 6 【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，读懂统计表，能够从统计表中获得正确信息，及熟练解方程组和不等式组是解题的关键． 举一反三： 【变式】某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元． （1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元， 1株乙种花木售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株,那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？ 【答案】 解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元． 由题意得：， 解得： ． （2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为（3a+10）株． 则有： 解得： 由于a为整数，∴a可取18或19或20，所以有三种具体方案： ①种植甲种花木18株，种植乙种花木3a+10=64株； ②种植甲种花木19株，种植乙种花木3a+10=67株； ③种植甲种花木20株，种植乙种花木3a+10=70株. 【巩固练习】 一、选择题 1．不等式组的解集应为（　　　）． A、　　　　B、　　　　 C、　　D、或≥1 2．某商场的老板销售一种商品，他要以利润不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（　　）． A．80元 B．100元 C．120元 D．160元 3．不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 4．若不等式组 有解，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 5．当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（　　）. A．a＞﹣1 B．a＞﹣2 C．a＞0 D．a＞﹣1且a≠0 6. 中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与两个球体质量相等的正方体的个数为( ) ． A．5 B．4 C．3 D．2 7.如图，用两根长度均为Lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆．则围成的正方形和圆的面积比较（ ）． A．正方形的面积大 　　　B．圆的面积大 　　　C．一样大 　　D．根据L的变化而变化 8.已知为非零有理数，下面四个不等式组中，解集有可能为的不等式组是（ ）． A．　　　B．　　　C． 　　　D． 二、填空题 9．已知关于x的不等式组的整数解共有个，则的取值范围为 ． 10．已知方程组的解满足，则a的取值范围 ． 11. 若不等式组无解，则的取值范围是　　　　　. 12.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打　　折． 13.已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围 . 14.如果关于的不等式组的正整数解仅为1,2,3，则的取值范围是 ，的取值范围是 . 15. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b．例如，明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是 . 16.若不等式组 只有一个整数解，则a的取值范围 ． 三、解答题 17.已知x满足，化简|x－3|＋|2x－1| ． 18.求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或 ②． 解①得x＞；解②得x＜﹣3． ∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3． 请你仿照上述方法解决下列问题： （1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集． （2）求不等式≥0的解集． 19.某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元. （1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？ （2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？ 20. 今年春季我国西南地区发生严重旱情，为了保障人畜饮水安全，某县急需饮水设备12台，现有甲、乙两种设备可供选择，其中甲种设备的购买费用为4000元/台，安装及运输费用为600元/台；乙种设备的购买费用为3000元/台，安装及运输费用为800元/台．若要求购买的费用不超过40000元，安装及运输费用不超过9200元，则可购买甲、乙两种设备各多少台? 答案与解析 一.选择题 1. 【答案】C； 【解析】解第一个不等式得，解第二个不等式得，所以不等式组的解集为． 2. 【答案】C； 【解析】解：设降价x元时商店老板才能出售．则可得： 360－x≥×（1+20%） 解得：x≤120． 3. 【答案】C； 【解析】解第一个不等式得x＞2，由题意可得≤2，所以≤1． 4. 【答案】A； 【解析】画数轴进行分析． 5. 【答案】A； 【解析】当x=1时，a+2＞0解得：a＞﹣2； 当x=2，2a+2＞0，解得：a＞﹣1，∴a的取值范围为：a＞﹣1． 6. 【答案】A ； 【解析】解：设一个球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z， 根据已知条件， 有 ①×2－②×5，得2x＝5y，即与2个球体质量相等的正方体的个数为5． 7. 【答案】B； 8. 【答案】D； 【解析】由选项及解集可得一正一负，不防设正负代入选项验证． 二．填空题 9.【答案】； 【解析】解得不等式组的解集为，要使其中包含4个整数，所以． 10.【答案】； 【解析】方程组得： 所以， ∴解得：－． 11. 【答案】； 【解析】要使原不等式无解，则需满足，得≥2． 12.【答案】7； 【解析】设至多打x折 则1200×﹣800≥800×5%， 解得x≥7，即最多可打7折． 13.【答案】 k≥-3； 【解析】3k-5x=-9，x=， 解得k≥-3． 14.【答案】，； 15．【答案】3，1； 【解析】由于本密码的解密钥匙是： 明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b． 故当密文是1，7时， 得， 解得． 也就是说，密文1，7分别对应明文3，1． 16．【答案】1＜a≤2． 【解析】先把a看成一个固定数，解关于x的不等式组，再由不等式组的解集研究a的取值范围． 三.解答题 17.【解析】 解：原不等式组可化为：， 　　即， ∵35＋36－99＜0， ， ∴，于是，|x－3|＋|2x－1|＝(3－x)＋(2x－1)＝x＋2． 18.【解析】 解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得①或②， 解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜； （2）根据“同号两数相乘，积为正”可得①，②， 解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2， 故不等式组的解集为：x≥3或x＜﹣2． 19.【解析】 解：（1）设新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需y万元， 根据题意，得， 解得： 答：新建1个地上停车位需要0.1万元，新建1个地下停车位需0.5万元． （2）设建m个地上停车位，则建（50-m）个地下停车位，根据题意，得 12＜0.1m+0.5（50-m）≤13， 解得：30≤m＜ ∵m为整数， ∴m=30，31，32 ∴50-m=20,19,18. 答：有三种建造方案：方案一：新建30个地上停车位和20个地下停车位；方案二：新建31个地上停车位和19个地下停车位；方案三：新建32个地上停车位和18个地下停车位. 20. 【解析】 解：设购买甲种设备x台，则购买乙种设备(12-x)台， 购买设备的费用为：4000x+3000(12-x)； 安装及运输费用为：600x+800(12-x)． 由题意得：． 解之得：2≤x≤4． ∴ 可购甲种设备2台，乙种设备10台或购甲种设备3台，乙种设备9台，或购甲种设备4台，乙种设备8台．