8.3二元一次方程（组）的解法Ⅱ-加减法（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(27700964).doc

第八章 二元一次方程（组） 8.3 二元一次方程（组）的解法Ⅱ——加减法（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、加减消元法解二元一次方程组 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； (2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 要点二、选择适当的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元． 【典型例题】 类型一、加减法解二元一次方程组 例1. 用加减消元法解方程组 【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解. 【答案与解析】 解：此式可化为： 由(1)：3x+4y=18 (1) 由(2)：6x+5y=27 (2) (1)×2：6x+8y=36 (3) (3)－(2)：3y=9 y=3 代入(1)：3x+12=18 3x=6 x=2 ∴ 【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c的形式再消元. 举一反三： 【变式】方程组的解为： . 【答案】 例2.若关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解． 【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把2x+y，x-y看作一个整体，则两个方程同解． 【答案与解析】 解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(2x+y)与(x-y)分别看成一个整体当作未知数，可得 解得： 【总结升华】本例采用了类比的方法，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 举一反三： 【变式】三个同学对问题“若方程组的解是， 求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是： ． 【答案】 解：由方程组的解是，得， 上式可写成，与比较， 可得：． 类型二、用适当方法解二元一次方程组 例3. 解方程组 【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单. 【答案与解析】 解：设，则 原方程组可化为 解得 即 ，所以 解得 所以原方程组的解为． 【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法. 举一反三： 【变式】 【答案】 解：去分母，整理化简得，， ②×3－①×2得，，即， 将代入①得，，即， 所以原方程组的解为. 例4. 试求方程组的解． 【答案与解析】 解： ①－②，整理得 ③ ∵，∴13－y≥0，即y≤13， 当时，③可化为，解得； 当时，③可化为，无解. 将代入②，得，解得. 综上可得，原方程组的解为：或. 【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解. 举一反三： 【变式】若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值． 【答案】 解：方程组， ①×3+②得：11x=22， 解得：x=2， 将x=2代入①得：6﹣y=7， 解得：y=﹣1， ∴方程组的解为， 将代入y=kx+9得：k=﹣5， 则当k=﹣5时，（k+1）2=16． 【巩固练习】 一、选择题 1．如果x:y＝3:2，并且x+3y＝27，则x与y中较小的值是（ ）. A．3 B．6 C．9 D．12 2．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3．已知方程组中，x、y的值相等，则m等于（ ）. A．1或-1 B．1 C．5 D．-5 4.如果的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）. î í ì = + = - A．a<2； B.； C. ； D. > 5．小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果．后来发现、处被墨水污损了，请你帮他计算出、处的值分别是（ ）. A．1、1 B．2、1 C．1、2 D．2、2 6. 已知方程组有无数多个解，则a、b 的值等于（ ）. î í A．a=-3,b=-14 B. a=3,b=-7 C. a=-1,b=9 D.a=-3,b=14 二、填空题 7．若是二元一次方程，则a＝________，b＝________． 8．已知等腰三角形的周长是18，腰长比底边大3，则这个三角形的腰长_____，底边长___． 9．已知是关于x、y的二元一次方程，则m＝_______，n＝_______；在自然数范围内，该方程的解是________． 10．若|x-y-5|与|2x+3y-15|互为相反数，则x+y＝________． 11．定义运算“※”，规定x※y=，其中a，b为常数，且1※2=5，2※1=6，则2※3=　 　． 12. 已知方程组的解满足x+y=3，则k的值为　　． 三、解答题 13．解下列方程组： （1） （2） 14.解关于x、y的二元一次方程组时，小虎同学把c看错而得到，而正确的解是，试求a+b+c的值． 15．阅读下列解方程组的方法，然后解决有关问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是非常麻烦的，而采用下面的解法则是轻而易举的.①－②，得2x+2y＝2，所以x+y＝1．③ ③×16，得16x+16y＝16 ④， ②－④，得x＝-1，从而y＝2．所以原方程组的解是． 请你用上述方法解方程组， 并猜测关于x、y的方程组的解是什么？并加以验证． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B； 【解析】，解得，所以较小的数为6. 2. 【答案】B． 3. 【答案】B； 【解析】解方程组得解为，因为x、y的值相等，所以，解得. 4. 【答案】C； 5. 【答案】B； 【解析】将代入得，解之得. 6. 【答案】A； 【解析】方程组有无穷多解，说明方程组中的方程对应项的系数成比例. 二、填空题 7. 【答案】1， 0； 【解析】 由二元一次方程的定义得，解得. 8. 【答案】7，4； 【解析】设等腰三角形的底边长为，则腰长为，所以，解得. 9. 【答案】1， 2， ； 10．【答案】7； 11.【答案】10； 【解析】根据新运算的定义可得，根据题意得：，解得：， 则2※3=4+6=10． 12.【答案】8． 【解析】解方程组， ①﹣②得：x=﹣2， 把x=﹣2代入②得：﹣2+y=3，解得：y=5 则方程组的解是：， 代入x+2y=k得：﹣2+10=k，则k=8. 三、解答题 13.【解析】 解：（1）将“”看作整体: 由①得， ③ 将③代入②得 ，即， ④ 将④代入③，化简得，即， 将代入④得， 所以原方程组的解为 . （2） 由①得， ③ 将③代入②，整理得，解得， 将代入③得， 所以原方程组的解为. 14.【解析】 解：∵方程组的正确解为， ∴把代入方程cx﹣7y=8，可得3c+14=8，解得c=﹣2； 把小虎求得的解和正确解分别代入方程ax+by=2，可得， 解得， ∴a+b+c=10+11﹣2=19． 15.【解析】 解：，①－②，得2x+2y＝2，即x+y＝1 ③． ③×2005，得2005x+2005y＝2005 ④． ②－④，得x＝-1，把x＝-1代入③得y＝2． 所以原方程组的解是，可以猜测关于x，y的方程组的解是． 验证如下：将x＝-1，y＝2，代入方程(a+2)x+(a+1)y＝a中满足方程左、右两边的值相等，将x＝-1，y＝2，代入方程(b+2)x+(b+1)y＝b中满足方程左、右两边的值相等， 所以是方程组的解．