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9.2
一元一次不等式的解法能力提升-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练人教版28450614
一元
一次
不等式
解法
能力
提升
2020
2021
学年
七年
级数
第九章 不等式与不等式(组)
9.2 一元一次不等式的解法(能力提升)
【要点梳理】
知识点一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式,例如,是一个一元一次不等式.
要点诠释:
(1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式);
②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:
相同点:二者都是只含有一个未知数,未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式.
不同点:一元一次不等式表示不等关系,由不等号“<”或“>”连接,不等号有方向;一元一次方程表示相等关系,由等号“=”连接,等号没有方向.
要点二、一元一次不等式的解法
1.解不等式:求不等式解的过程叫做解不等式.
2.一元一次不等式的解法:
与一元一次方程的解法类似,其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为:(或)的形式,解一元一次不等式的一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)化为(或)的形式(其中);(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集.
要点诠释:
(1)在解一元一次不等式时,每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用.
(2)解不等式应注意:
①去分母时,每一项都要乘同一个数,尤其不要漏乘常数项;
②移项时不要忘记变号;
③去括号时,若括号前面是负号,括号里的每一项都要变号;
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变.
3.不等式的解集在数轴上表示:
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来,能形象地说明不等式有无限多个解,它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助.
要点诠释: 在用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
(1)边界:有等号的是实心圆点,无等号的是空心圆圈;
(2)方向:大向右,小向左.
【典型例题】
类型一、一元一次不等式的概念
例1.下列式子哪些是一元一次不等式?哪些不是一元一次不等式?为什么?
(1) (2) (3) (4) (5)
【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断.
【答案与解析】
解:(1)是一元一次不等式.(2)(3)(4)(5)不是一元一次不等式,因为:(2)中分母中含有字母,(3)未知量的最高次项不是1次,(4)不等式左边含有两个未知量,(5)不是不等式,是一元一次方程.
【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成:①不等式的左右两边分母不含未知数;②不等式中只含一个未知数;③未知数的最高次数是1,三个条件缺一不可.
类型二、解一元一次不等式
例2.解不等式:,并把解集在数轴上表示出来.
【思路点拨】先用分数的基本性质,将分母变为整数,再去分母,在去分母时注意分数线兼有括号的作用.
【答案与解析】
解:将分母变为整数,得:
去分母,得:
去括号,合并同类项,得:
系数化1,得:
这个不等式的解集表示在数轴上,如下图:
【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时,必须改变不等号的方向.
举一反三:
【变式】解不等式:
【答案】
解:去括号,得
移项、合并同类项得:
系数化1,得
故原不等式的解集是
例3.m为何值时,关于x的方程:的解大于1?
【思路点拨】从概念出发,解出方程(用m表示x),然后解不等式.
【答案与解析】
解: x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
由
解得m>2
【总结升华】此题亦可用x表示m,然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围.
举一反三:
【变式】已知关于方程的解是非负数,是正整数,则 .
【答案】1或2
例4.已知关于的方程组的解满足,求的取值范围.
【思路点拨】先解出方程组再解不等式.
【答案与解析】
解:由,解得:
∵
∴
解得
∴的取值范围为
【总结升华】有时根据具体问题,可以不必解出的具体值.
类型三、解含字母的一元一次不等式
例5.解关于x的不等式:(1-m)x>m-1
【思路点拨】由此不等式的结构,这里只需将未知数的系数化1即可,两边同时除以(1-m),但由不等式的基本性质我们知,若不等式两边同时除以一个负数,原不等号的方向得改变,这里1-m的符号我们不知道,故需分类讨论.
【答案与解析】
解:当1- m >0即 m <1时,原不等式的解集为:x>-1;
当1- m <0即m >1时,原不等式的解集为:x<-1;
当1-m=0即m=1时,没有数能使得不等式成立,故原不等式无解.
【总结升华】不难发现,我们可以总结概括,如下:
若ax>b(a≠0),
当时,不等式的解集是;
当时,不等式的解集是.
举一反三:
【变式1】解关于x的不等式m(x-2)>x-2.
【答案】
解: 化简,得(m-1)x>2(m-1),
① 当m-1>0时,x>2;
② 当m-1<0时,x<2;
③ 当m-1=0时,无解.
【变式2】已知x>a的解集中最小整数为-2,则a的取值范围是______.
【答案】﹣3≤a<﹣2.
类型四、逆用不等式的解集
例6.如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是 .
【思路点拨】本题是关于x的不等式,应先只把x看成未知数,求得x的解集,从而来求得a的值.
【答案】a<﹣1
【解析】
解:∵(a+1)x>a+1的解集为x<1,
∴a+1<0,
∴a<﹣1.
【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定a+1<0.
举一反三:
【变式】已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5,则a的值为 .
【答案】15.
【解析】解:3x﹣a≤0,
x≤,
∵不等式的解集为x≤5,
∴=5,
解得a=15.
故答案为:15.
【巩固练习】
一、选择题
1.已知关于x的不等式是一元一次不等式,那么m的值是 ( ) .
A.m=1 B.m=±1 C.m=-1 D.不能确定
2.由得到,则a应该满足的条件是( ).
A.a>0 B.a<0 C.a≠0 D.a为任意实数
3.关于x的不等式x﹣b>0恰有两个负整数解,则b的取值范围是( )
A.﹣3<b<﹣2 B.﹣3<b≤﹣2 C.﹣3≤b≤﹣2 D.﹣3≤b<﹣2
4.不等式的解集是,则a为( ).
A.-2 B.2 C.8 D.5
5.如果1998a+2003b=0,那么ab是( )
A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数
6.关于的不等式的解集如图所示,则的值是 ( ).
A.0 B.2 C. -2 D.-4
二、填空题
7.若为非负数,则 的解集是 .
8.不等式5x﹣3<3x+5的最大整数解是 .
9.比较大小:________.
10.已知-4是不等式的解集中的一个值,则的范围为________.
11.若关于x的不等式只有六个正整数解,则a应满足________.
12.已知的解集中的最小整数为,则的取值范围是 .
三、解答题
13.若m、n为有理数,解关于x的不等式(-m2-1)x>n.
14. 适当选择a的取值范围,使1.7<x<a的整数解:
(1)x只有一个整数解;
(2) x一个整数解也没有.
15.当时,求关于x的不等式的解集.
16.已知关于x的方程4x+2m+1=2x+5的解是负数.
(1)求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,解关于x的不等式2(x﹣2)>mx+3.
答案与解析
一、选择题
1. 【答案】C;
【解析】,所以;
2. 【答案】C;
【解析】由得到,不等式两边同乘以,不等号方向没变,所以;
3. 【答案】D;
【解析】不等式x﹣b>0,解得:x>b,
∵不等式的负整数解只有两个负整数解,
∴﹣3≤b<﹣2
故选D.
4. 【答案】A;
【解析】由,可得,它与表示同一解集,所以,解得;
5. 【答案】B;
【解析】1998a+2003b=0,可得均为0或异号;
6. 【答案】A;
【解析】因为不等式的解集为,再观察数轴上表示的解集为,因此,解得
二、填空题
7. 【答案】;
【解析】为非负数,所以,解得:.
8. 【答案】3;
【解析】不等式的解集是x<4,
故不等式5x﹣3<3x+5的正整数解为1,2,3,
则最大整数解为3.故答案为:3.
9. 【答案】>;
【解析】,
所以.
10.【答案】;
【解析】将-4代入得:,所以.
11.【答案】;
【解析】由已知得:,,即.
12.【答案】
【解析】画出数轴分析得出正确答案.
三、解答题
13.【解析】
解:
∴(-m2-1)x>n ,
两边同除以负数(-m2-1)得:.
∴原不等式的解集为:.
14.【解析】
解:(1) ;(2).
15.【解析】
解:
.
16.【解析】
解:(1)方程4x+2m+1=2x+5的解是:x=2﹣m.
由题意,得:2﹣m<0,
所以m>2.
(2)2(x﹣2)>mx+3,
2x﹣4>mx+3,
2x﹣mx>3+4,
(2﹣m)x>7,
因为m>2,
所以2﹣m<0,
所以x<.