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9.2 一元一次不等式的解法(能力提升)-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练(人教版)(28450614).doc
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9.2 一元一次不等式的解法能力提升-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练人教版28450614 一元 一次 不等式 解法 能力 提升 2020 2021 学年 七年 级数
第九章 不等式与不等式(组) 9.2 一元一次不等式的解法(能力提升) 【要点梳理】 知识点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式,例如,是一个一元一次不等式. 要点诠释: (1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式(单项式或多项式); ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系: 相同点:二者都是只含有一个未知数,未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式. 不同点:一元一次不等式表示不等关系,由不等号“<”或“>”连接,不等号有方向;一元一次方程表示相等关系,由等号“=”连接,等号没有方向. 要点二、一元一次不等式的解法 1.解不等式:求不等式解的过程叫做解不等式. 2.一元一次不等式的解法: 与一元一次方程的解法类似,其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为:(或)的形式,解一元一次不等式的一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)化为(或)的形式(其中);(5)两边同除以未知数的系数,得到不等式的解集. 要点诠释: (1)在解一元一次不等式时,每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用. (2)解不等式应注意: ①去分母时,每一项都要乘同一个数,尤其不要漏乘常数项; ②移项时不要忘记变号; ③去括号时,若括号前面是负号,括号里的每一项都要变号; ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变. 3.不等式的解集在数轴上表示: 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来,能形象地说明不等式有无限多个解,它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助. 要点诠释: 在用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: (1)边界:有等号的是实心圆点,无等号的是空心圆圈; (2)方向:大向右,小向左. 【典型例题】 类型一、一元一次不等式的概念 例1.下列式子哪些是一元一次不等式?哪些不是一元一次不等式?为什么? (1) (2) (3) (4) (5) 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断. 【答案与解析】 解:(1)是一元一次不等式.(2)(3)(4)(5)不是一元一次不等式,因为:(2)中分母中含有字母,(3)未知量的最高次项不是1次,(4)不等式左边含有两个未知量,(5)不是不等式,是一元一次方程. 【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成:①不等式的左右两边分母不含未知数;②不等式中只含一个未知数;③未知数的最高次数是1,三个条件缺一不可. 类型二、解一元一次不等式 例2.解不等式:,并把解集在数轴上表示出来. 【思路点拨】先用分数的基本性质,将分母变为整数,再去分母,在去分母时注意分数线兼有括号的作用. 【答案与解析】 解:将分母变为整数,得: 去分母,得: 去括号,合并同类项,得: 系数化1,得: 这个不等式的解集表示在数轴上,如下图: 【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时,必须改变不等号的方向. 举一反三: 【变式】解不等式: 【答案】 解:去括号,得 移项、合并同类项得: 系数化1,得 故原不等式的解集是 例3.m为何值时,关于x的方程:的解大于1? 【思路点拨】从概念出发,解出方程(用m表示x),然后解不等式. 【答案与解析】 解: x-12m+2=6x-15m+3 5x=3m-1 由 解得m>2 【总结升华】此题亦可用x表示m,然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围. 举一反三: 【变式】已知关于方程的解是非负数,是正整数,则 . 【答案】1或2 例4.已知关于的方程组的解满足,求的取值范围. 【思路点拨】先解出方程组再解不等式. 【答案与解析】 解:由,解得: ∵ ∴ 解得 ∴的取值范围为 【总结升华】有时根据具体问题,可以不必解出的具体值. 类型三、解含字母的一元一次不等式 例5.解关于x的不等式:(1-m)x>m-1 【思路点拨】由此不等式的结构,这里只需将未知数的系数化1即可,两边同时除以(1-m),但由不等式的基本性质我们知,若不等式两边同时除以一个负数,原不等号的方向得改变,这里1-m的符号我们不知道,故需分类讨论. 【答案与解析】 解:当1- m >0即 m <1时,原不等式的解集为:x>-1; 当1- m <0即m >1时,原不等式的解集为:x<-1; 当1-m=0即m=1时,没有数能使得不等式成立,故原不等式无解. 【总结升华】不难发现,我们可以总结概括,如下: 若ax>b(a≠0), 当时,不等式的解集是; 当时,不等式的解集是. 举一反三: 【变式1】解关于x的不等式m(x-2)>x-2. 【答案】 解: 化简,得(m-1)x>2(m-1),   ① 当m-1>0时,x>2;   ② 当m-1<0时,x<2;   ③ 当m-1=0时,无解. 【变式2】已知x>a的解集中最小整数为-2,则a的取值范围是______. 【答案】﹣3≤a<﹣2. 类型四、逆用不等式的解集 例6.如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是   . 【思路点拨】本题是关于x的不等式,应先只把x看成未知数,求得x的解集,从而来求得a的值. 【答案】a<﹣1 【解析】 解:∵(a+1)x>a+1的解集为x<1, ∴a+1<0, ∴a<﹣1. 【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定a+1<0. 举一反三: 【变式】已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5,则a的值为  . 【答案】15. 【解析】解:3x﹣a≤0, x≤, ∵不等式的解集为x≤5, ∴=5, 解得a=15. 故答案为:15. 【巩固练习】 一、选择题 1.已知关于x的不等式是一元一次不等式,那么m的值是 ( ) . A.m=1 B.m=±1 C.m=-1 D.不能确定 2.由得到,则a应该满足的条件是( ). A.a>0 B.a<0 C.a≠0 D.a为任意实数 3.关于x的不等式x﹣b>0恰有两个负整数解,则b的取值范围是(  ) A.﹣3<b<﹣2 B.﹣3<b≤﹣2 C.﹣3≤b≤﹣2 D.﹣3≤b<﹣2 4.不等式的解集是,则a为( ). A.-2 B.2 C.8 D.5 5.如果1998a+2003b=0,那么ab是( ) A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数 6.关于的不等式的解集如图所示,则的值是 ( ). A.0 B.2 C. -2 D.-4 二、填空题 7.若为非负数,则 的解集是 . 8.不等式5x﹣3<3x+5的最大整数解是   . 9.比较大小:________. 10.已知-4是不等式的解集中的一个值,则的范围为________. 11.若关于x的不等式只有六个正整数解,则a应满足________. 12.已知的解集中的最小整数为,则的取值范围是 . 三、解答题 13.若m、n为有理数,解关于x的不等式(-m2-1)x>n. 14. 适当选择a的取值范围,使1.7<x<a的整数解: (1)x只有一个整数解; (2) x一个整数解也没有. 15.当时,求关于x的不等式的解集. 16.已知关于x的方程4x+2m+1=2x+5的解是负数. (1)求m的取值范围; (2)在(1)的条件下,解关于x的不等式2(x﹣2)>mx+3. 答案与解析 一、选择题 1. 【答案】C; 【解析】,所以; 2. 【答案】C; 【解析】由得到,不等式两边同乘以,不等号方向没变,所以; 3. 【答案】D; 【解析】不等式x﹣b>0,解得:x>b, ∵不等式的负整数解只有两个负整数解, ∴﹣3≤b<﹣2 故选D. 4. 【答案】A; 【解析】由,可得,它与表示同一解集,所以,解得; 5. 【答案】B; 【解析】1998a+2003b=0,可得均为0或异号; 6. 【答案】A; 【解析】因为不等式的解集为,再观察数轴上表示的解集为,因此,解得 二、填空题 7. 【答案】; 【解析】为非负数,所以,解得:. 8. 【答案】3; 【解析】不等式的解集是x<4, 故不等式5x﹣3<3x+5的正整数解为1,2,3, 则最大整数解为3.故答案为:3. 9. 【答案】>; 【解析】, 所以. 10.【答案】; 【解析】将-4代入得:,所以. 11.【答案】; 【解析】由已知得:,,即. 12.【答案】 【解析】画出数轴分析得出正确答案. 三、解答题 13.【解析】 解: ∴(-m2-1)x>n , 两边同除以负数(-m2-1)得:. ∴原不等式的解集为:. 14.【解析】 解:(1) ;(2). 15.【解析】 解: . 16.【解析】 解:(1)方程4x+2m+1=2x+5的解是:x=2﹣m. 由题意,得:2﹣m<0, 所以m>2. (2)2(x﹣2)>mx+3, 2x﹣4>mx+3, 2x﹣mx>3+4, (2﹣m)x>7, 因为m>2, 所以2﹣m<0, 所以x<.

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