9.2 一元一次不等式的解法（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(28450614).doc

第九章 不等式与不等式（组） 9.2 一元一次不等式的解法（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1． (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 要点二、一元一次不等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 3.不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 【典型例题】 类型一、一元一次不等式的概念 例1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？ （1） （2） （3） （4） （5） 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断． 【答案与解析】 解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1次，（4）不等式左边含有两个未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程． 【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式 例2.解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分数线兼有括号的作用． 【答案与解析】 解：将分母变为整数，得： 去分母，得： 去括号，合并同类项，得： 系数化1，得： 这个不等式的解集表示在数轴上，如下图： 【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三： 【变式】解不等式： 【答案】 解：去括号，得 移项、合并同类项得： 系数化1，得 故原不等式的解集是 例3.m为何值时，关于x的方程：的解大于1？ 【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式． 【答案与解析】 解： x-12m+2=6x-15m+3 5x=3m-1 由 解得m＞2 【总结升华】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围． 举一反三： 【变式】已知关于方程的解是非负数，是正整数，则 ． 【答案】1或2 例4.已知关于的方程组的解满足，求的取值范围． 【思路点拨】先解出方程组再解不等式． 【答案与解析】 解：由，解得： ∵ ∴ 解得 ∴的取值范围为 【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出的具体值． 类型三、解含字母的一元一次不等式 例5．解关于x的不等式：(1-m)x>m-1 【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化1即可，两边同时除以（1-m），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方向得改变，这里1-m的符号我们不知道，故需分类讨论． 【答案与解析】 解：当1- m ＞0即 m ＜1时，原不等式的解集为：x＞-1； 当1- m ＜0即m ＞1时，原不等式的解集为：x＜-1； 当1-m=0即m=1时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解． 【总结升华】不难发现，我们可以总结概括，如下： 若ax＞b（a≠0）， 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是． 举一反三： 【变式1】解关于x的不等式m（x-2）＞x-2. 【答案】 解: 化简，得（m-1）x＞2（m-1）， 　　① 当m-1＞0时，x＞2； 　　② 当m-1＜0时，x＜2； 　　③ 当m-1=0时，无解. 【变式2】已知x＞a的解集中最小整数为－2，则a的取值范围是______． 【答案】﹣3≤a＜﹣2． 类型四、逆用不等式的解集 例6.如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是　 　． 【思路点拨】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，从而来求得a的值． 【答案】a＜﹣1 【解析】 解：∵（a+1）x＞a+1的解集为x＜1， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1． 【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定a+1＜0． 举一反三： 【变式】已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5，则a的值为　　． 【答案】15. 【解析】解：3x﹣a≤0， x≤， ∵不等式的解集为x≤5， ∴=5， 解得a=15． 故答案为：15． 【巩固练习】 一、选择题 1．已知关于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是 ( ) . A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝-1 D．不能确定 2．由得到，则a应该满足的条件是（ ）. A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a为任意实数 3．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　） A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2 4．不等式的解集是，则a为（ ）. A．-2 B．2 C．8 D．5 5．如果1998a+2003b=0，那么ab是（ ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 6.关于的不等式的解集如图所示，则的值是 （ ）. A．0 B．2 C． -2 D．-4 二、填空题 7．若为非负数，则 的解集是 . 8．不等式5x﹣3＜3x+5的最大整数解是　 　． 9．比较大小：________. 10．已知-4是不等式的解集中的一个值，则的范围为________. 11．若关于x的不等式只有六个正整数解，则a应满足________. 12.已知的解集中的最小整数为，则的取值范围是 . 三、解答题 13．若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n． 14. 适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解： （1）x只有一个整数解； (2) x一个整数解也没有． 15.当时，求关于x的不等式的解集． 16.已知关于x的方程4x+2m+1=2x+5的解是负数． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，解关于x的不等式2（x﹣2）＞mx+3． 答案与解析 一、选择题 1. 【答案】C； 【解析】，所以； 2. 【答案】C； 【解析】由得到，不等式两边同乘以，不等号方向没变，所以； 3. 【答案】D； 【解析】不等式x﹣b＞0，解得：x＞b， ∵不等式的负整数解只有两个负整数解， ∴﹣3≤b＜﹣2 故选D． 4. 【答案】A； 【解析】由，可得，它与表示同一解集，所以，解得； 5. 【答案】B； 【解析】1998a+2003b=0，可得均为0或异号； 6. 【答案】A； 【解析】因为不等式的解集为，再观察数轴上表示的解集为，因此，解得 二、填空题 7. 【答案】； 【解析】为非负数，所以，解得：. 8. 【答案】3； 【解析】不等式的解集是x＜4， 故不等式5x﹣3＜3x+5的正整数解为1，2，3， 则最大整数解为3．故答案为：3． 9. 【答案】＞； 【解析】， 所以. 10．【答案】； 【解析】将-4代入得：，所以. 11.【答案】； 【解析】由已知得：，，即. 12.【答案】 【解析】画出数轴分析得出正确答案. 三、解答题 13.【解析】 解： ∴(－m2－1)x＞n ， 两边同除以负数（－m2－1）得：. ∴原不等式的解集为：. 14.【解析】 解：(1) ；(2)． 15.【解析】 解： ． 16.【解析】 解：（1）方程4x+2m+1=2x+5的解是：x=2﹣m． 由题意，得：2﹣m＜0， 所以m＞2． （2）2（x﹣2）＞mx+3， 2x﹣4＞mx+3， 2x﹣mx＞3+4， （2﹣m）x＞7， 因为m＞2， 所以2﹣m＜0， 所以x＜．