专题01运算能力课之分式的化简求值综合专练（解析版）（人教版）.docx

专题01运算能力课之分式的化简求值综合专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（2021·山西八年级期末）先化简：÷（a＋1）＋，然后让a在－1、1、5三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】；当a＝5时，原式值为2 【分析】 先化除法为乘法，然后利用提取公因式、完全平方公式、平方差公式进行因式分解，通过约分对已知分式进行化简，最后代入求值． 【详解】 解：原式 由题意可知： 解得a≠±1． 所以当a＝5时，原式＝． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值．分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值． 2．（2021·辽宁阜新市·八年级期末）（1）因式分解：． （2）解不等式组． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）先提公因式，再用公式法因式分解； （2）分别解不等式①②，再求不等式组的解集； （3）先化简分式，再将的值代入求解 【详解】 （1）原式 （2） 由①得，，由②得，， ∴原不等式组解集为． （3）原式 当时，原式． 【点睛】 本题考查了多项式的因式分解，解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟练运用以上知识是解题的关键． 3．（2021·甘肃）先化简，再求值：，请在、0、2中选择一个适合的x的值，代入求值． 【答案】；-2 【分析】 把括号内通分，把除法转化为乘法约分化简，然后取一个使原分式有意义的数代入计算． 【详解】 解：原式 ， ∵当x=2或-2时原分式无意义， ∴x=0， ∴原式． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 4．（2021·安徽七年级期末）先化简，再求值：，其中x＝4． 【答案】， 【分析】 先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可． 【详解】 解： ＝ ， 当x＝4时，原式＝＝． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则，正确进行化简是解题关键． 5．（2021·安徽七年级期末）先化简，再求值：，其中x是16的算术平方根． 【答案】，． 【分析】 先求出x的值，再运用分式的四则混合运算法则进行化简，将x的值代入计算即可． 【详解】 解：∵＝4， ∴x＝4． ＝ ＝ ＝． 当x=4时，原式＝＝． 【点睛】 本题主要考查了算术平方根、分式的化简求值，正确的运用分式的四则混合运算法则进行化简是解答本题的关键． 6．（2021·安徽七年级期末）观察以下等式：①；②；③…，按以上规律解决下列问题： （1）第⑤个等式是　 　． （2）探究：…+＝　 　（用含的等式表示）； （3）计算：若+…＝，求n的值． 【答案】（1）；（2）；（3）16 【分析】 （1）根据规律写出第5个等式即可； （2）根据规律裂项相消即可； （3）根据（2）的规律整理出n的方程，解出n值即可． 【详解】 解：（1）根据规律可知，第⑤个等式是 故答案为：； （2）由规律可得， 故答案为：； （3）∵，， ∴可以得到 ∴ ∵ ∴ 解得n＝16， 经检验n＝16，是该分式方程的解， 故n的值为16． 【点睛】 本题主要考查了数字的变化规律，利用规律化简分式是解题的关键. 7．（2021·山东八年级期末）先化简再求值：，已知． 【答案】，-2 【分析】 先将括号内两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可就求出值． 【详解】 解：原式． ∵，∴a-b=-4． ∴原式=-2． 【点睛】 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（2021·无锡市天一实验学校八年级期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 先把除法化为乘法，再进行约分，然后算分式的减法，再代入求值，即可求解． 【详解】 解：原式= = = =， 当x=-2时，原式==． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分和通分是解题的关键． 9．（2021·安徽）先化简，再求值（1﹣）÷（1），其中m＝2． 【答案】， 【分析】 根据分式的混合运算法则把原式化简，把m的值代入计算即可． 【详解】 解： 把代入上式中 原式 【点睛】 本题考查分式的化简求值．注意运算顺序和约分法则．还需注意分式的分母不能为0． 10．（2021·云南）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一 填空 在以上化简步骤中，其中有一步是根据分式的基本性质：“分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，”对分式进行通分．这是第__________步； 任务二 订正 请写出该分式化简的正确过程； 任务三 求值 当时，求该分式的值． 【答案】任务一：三；任务二：见解析；任务三： 【分析】 任务一：根据分式的基本性质即可判断； 任务二：依据分式的加减运算法则计算可得； 任务三：将x的值化简代入计算即可． 【详解】 解：任务一： 以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：三； 任务二： 解：原式 ． 任务三： 解：当时， 原式． 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质． 11．（2021·苏州市景范中学校九年级二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【分析】 根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】 解：原式= = = = =； 当时， 原式=． 【点睛】 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 12．（2021·山东）化简和化简求值 （1）； （2）先化简，再从-1，0，1中选择合适的值代入求值． 【答案】（1）（2）；当时，原式 【分析】 （1）先将括号里通分计算，再算除法； （2）先运用通分法则计算括号内部分，然后将除法转换为乘法计算化简后，挑一个使分式有意义的值代入计算即可． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）原式 ， ， 由分式可知：， 当时，原式． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 13．（2021·江苏八年级期末）化简或解方程： （1）化简：； （2）先化简再求值：，其中a＝． （3）解分式方程：． 【答案】（1）；（2），；（3）原方程无解． 【分析】 （1）先把分式的分母分解因式，再通分，最后根据同分母的分式相加的法则求出答案即可； （2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可； （3）方程两边都乘以x﹣2得出方程1＝x﹣1﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】 解：（1）解：原式＝， ＝， ＝， ＝， ＝； （2） 解：原式＝， ＝， ＝， ＝ ， 当a＝ 时，原式＝＝； （3）， 解：方程两边都乘以x﹣2，得1＝x﹣1﹣3（x﹣2）， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根， 即原方程无解． 【点睛】 本题主要考查分式化简求值和解分式方程，解决本题的关键是要熟练掌握分式化简求值和解分式方程的方法. 14．（2021·湖北八年级期末）先化简，再求值：，其中a＝+1，b＝﹣1． 【答案】 【分析】 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】 解： = = = 当a＝+1，b＝﹣1时， 原式＝． 【点睛】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，代值计算要仔细． 15．（2021·福建莆田二中）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中． 【答案】，2 【分析】 利用通分,因式分解,运算法则细心计算即可． 【详解】 解：原式= = =， 当时，原式． 【点睛】 本题考查了分式的化简，熟练运用分式的通分，因式分解，约分进行化简是解题的关键． 16．（2021·河南八年级期末）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 ＝…第六步 任务一：填空： （1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是　 　． A．整式乘法 B．因式分解 （2）以上化简步骤中，第　 　步是进行分式的通分，通分的依据：　 　． （3）第　 　步开始出现错误，这一步错误的原因：　 　． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数作为x的值，代入求值； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：（1）B；（2）四，分式的基本性质；（3）五，去括号没有变号；任务二：，或0；任务三：分式化简时需要注意分母的取值不为零． 【分析】 任务一：分式化简的要先因式分解，再通分； 任务二：解不等式组，求得解集，选取合适的值，代入计算即可； 任务三：在运算时，去括号要注意变号，代入求值时，注意分母的取值． 【详解】 解：（1）第一步进行因式分解， 故选：B； （2）第四步分式通分，通分根据分式的基本性质， 故答案为：四，分式的基本性质； （3）第五步出现错误， 原式 ， 在去括号时符号错误， 故答案为：五，去括号没有变号； 任务二： ， 解不等式组， 由①得，x≥﹣1， 由②得，x＜2， ∴不等式组的解集为﹣1≤x≤2， ∵x≠﹣1， ∴x可以取0，1， 当x=0时，原式=， 当x=1时，原式=0； 任务三：分式化简时需要注意分母的取值不为零． 【点睛】 本题考查了分式的化简，解不等式组，熟练掌握分式化简的方法，掌握分式的基本性质，注意分母的取值不为零的情况是解题的关键． 17．（2021·贵州八年级期末）先化简，再求值：（x﹣2），其中x＝5． 【答案】﹣x﹣4，﹣9． 【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可． 【详解】 解：(x﹣2) • • • ＝﹣(x+4) ＝﹣x﹣4， 当x＝5时，原式＝﹣5﹣4＝﹣9． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 18．（2021·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3． 【答案】． 【分析】 先将括号里的分式通分，然后按照分式减法法则计算，再根据分式除法法则进行运算即可将分式化简，最后代入字母取值进行计算即可求解. 【详解】 解：原式＝， =， ＝， 当x＝3时， 原式＝． 【点睛】 本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的通分和分式的运算法则. 19．（2021·浙江七年级期末）先化简，再求值：÷（），其中x＝，y＝﹣． 【答案】，6 【分析】 根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案． 【详解】 解：原式＝ ＝ ＝ ＝， 当x＝，y＝﹣时， 原式＝＝6． 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算，本题属于基础题型． 20．（2021·辽宁八年级期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 根据分式的运算法则及运算顺序进行化简，再代入求值即可． 【详解】 解： ， 当时， 原式 ． 【点睛】 此题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 21．（2021·四川成都市·九年级期末）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1＝0． 【答案】，1 【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】 解：原式＝ ＝ ＝ ＝， ∵a2+3a﹣1＝0， ∴a2+3a＝1， 则原式＝1． 【点睛】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．（2021·山西临汾市·八年级期中）计算： （1）． （2），其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】 （1）利用零指数幂，负正数指数幂，绝对值的性质化简计算即可； （2）先将括号内的分式通分计算，同时将除法转化为乘法，约分化简计算即可； 【详解】 解：（1）原式． （2）原式 ． 当时，原式． 【点睛】 本题主要考查实数的混合运算及分式的混合运算，熟练运用零指数幂，负整数指数幂及绝对值的运算性质和分式的混合运算法则计算是解题的关键． 23．（2021·重庆实验外国语学校八年级期末）化简求值：，其中x＝． 【答案】，﹣1﹣． 【分析】 先利用完全平方公式和提取公因式法和平方差公式分解因式，然后根据分式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案． 【详解】 解： 把，代入上式中 原式＝﹣1﹣＝﹣1﹣． 【点睛】 本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握分式的混合运算的相关方法. 24．（2021·辽宁鞍山市·八年级期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】 结合值先化简分式，再将的值代入化简后的式子求解即可． 【详解】 ． ， ， 原式． 【点睛】 本题考查了分式的化简，二次根式的性质，分母有理化，正确的计算是解题的关键． 25．（2021·辽宁葫芦岛市·八年级期中）给出以下式子：，先简化，然后从，2，三个数中，选个合适的数代入求值． 【答案】，时， 【分析】 先根据分式的运算法则及运算顺序进行化简，再将使原式有意义的未知数的值代入计算即可． 【详解】 解：原式 ， 由题意得，，，， ∴，，， ∴当时， 原式 ． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值和二次根式的化简求值，熟练掌握分式和二次根式的运算法则是解决本题的关键． 26．（2021·河南南阳市·八年级期中）已知a2+a＝1，求代数式的值． 【答案】，-2 【分析】 先根据分式的运算法则进行化简，然后整体代入即可求解． 【详解】 解：原式＝ ＝ ＝ 原式 【点睛】 本题考查分式的化简求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 27．（2021·胶州市初级实验中学九年级一模）（1）计算： （2）解不等式组： （3）关于的方程有两个实数根，求的取值范围 【答案】（1）；（2）不等式组的解集为；（3）的取值范围为且． 【分析】 （1）由分式的加减乘除混合运算进行化简，即可得到答案； （2）分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到答案； （3）根据根的判别式，即可求出m的取值范围． 【详解】 解：（1） = = =； （2） 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解集为； （3）∵关于的方程有两个实数根， ∴， ∴； 当，即时，原方程是一元一次方程，只有一个解，不符合题意； ∴； ∴的取值范围为且． 【点睛】 本题考查了分式的加减乘除混合运算，分式的化简，解不等式组，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算． 28．（2021·浙江七年级期末）按条件求值： ①若分式的值是整数，求非负整数x的值． ②已知分式可以写成，利用上述结论解决；若分式表示一个整数，求整数x的值． ③化简：，再从0，，五个数中，选择一个你最喜欢的数代入并求值． 【答案】①3；②3或5或9或-1；③，1 【分析】 ①根据分式的值是整数可得x+2=±5，从而求出x； ②将分式变形为，参照①中方法即可求出x； ③首先通分，计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再根据分式有意义的条件确定x的值，然后代入x的值即可． 【详解】 解：①分式的值是整数， ∴x+2=±5， ∴x=3或x=-7， ∵x为非负整数， ∴x=3； ②==， ∴x-4=±1或±5， ∴x=3或5或9或-1； ③ = = = = ∵x不能取0，3，2，-3， ∴x=-2时， 原式==1． 【点睛】 此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式的除法和减法计算法则，正确把分式进行化简． 29．（2021·山西八年级期中）阅读材料，完成任务． 一道习题引发的思考 小明在学习第16章《分式》时，遇到了一道习題，并对有关内容进行了研究： 习题再现： 己知，求的值； 解题过程： 解： ，即， ． 通过以上的解题思路，小明可以总结出论：已知形如（m，n为常数，）， 我们可以利用完全平方公式计算求出的值． 任务： （1）请你帮小明计算的值； （2）①若，求的值； ②在①的基础上，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】 （1）根据阅读材料中的方法配成完全平方式即可求解； （2）①根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出值即可； ②对两边平方后，利用①的结论计算即可． 【详解】 解：（1）∵（m，n为常数，）， ∴ ； （2）①∵， ∴ ； ② ， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了配方法的应用，分式的化简求值，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2配方是解题关键．