5.2 同位角、内错角、同旁内角-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(26870403).doc

第五章 相交线与平行线 5.2 同位角、内错角、同旁内角 【要点梳理】 要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念 1. “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1. 图1 要点诠释： ⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交． ⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 要点诠释： (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角. (2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法： (1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. (2)借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 【典型例题】 类型一、“三线八角”模型 例1. (1)图3中，∠1、∠2由直线 被直线 所截而成． (2)图4中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？ 【答案】(1) EF，CD； AB． （2）不是 ． 【解析】（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角． 【总结升华】判断 “三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线. 类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别 例2.如图，(1)DE为截线,∠E与哪个角是同位角? (2)∠B与∠4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？ (3)∠B和∠E是同位角吗?为什么? 【答案与解析】 解：（1）DE为截线,∠E与∠3是同位角； （2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE； （3）不是,因为∠B与∠E的两边中任一边没有落在同一直线上,所以∠B和∠E不是同位角. 【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪几个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取与该截线相关的角来分析. 举一反三： 【变式】如图所示，下列说法错误的是（　　） A．∠1和∠3是同位角 B．∠1和∠5是同位角 C．∠1和∠2是同旁内角 D．∠5和∠6是内错角 【答案】B 解：从图上可以看出∠1和∠5不存在直接联系，而其它三个选项都符合各自角的定义，正确． 例3. 如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来． 【答案与解析】 解：内错角：∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8； 同旁内角：∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5； 同位角：∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6． 【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要求分解成简单的图形后，结论便一目了然. 举一反三： 【变式】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？ 【答案】 解：同位角：∠5与∠1，∠4与∠3； 内错角：∠2与∠3，∠4与∠1； 同旁内角：∠4与∠2，∠5与∠3，∠5与∠4. 例4. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角. 【答案与解析】 解： 同位角：∠B与∠ACD，∠B与∠ECD； 内错角：∠A与∠ACD，∠A与∠ACE； 同旁内角：∠B与∠ACB，∠A与∠B，∠A与∠ACB，∠B与∠BCE． 【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析． 举一反三： 【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角． 【答案】 解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角； ∠2与∠8，∠3与∠5是内错角； ∠2与∠5，∠3与∠8是同旁内角. 类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系 例5. 如图直线DE、BC被直线AB所截， (1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么角？每组中两角的大小关系如何？ (2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？ 【答案与解析】 解：(1)∠1和∠2是内错角；∠1和∠3是同旁内角；∠1和∠4是同位角． 每组中两角的大小均不确定． (2) ∠1与∠2相等，∠1和∠3互补. 理由如下： ① ∵∠1=∠4（已知） ∠4＝∠2（对顶角相等） ∴∠1＝∠2. ② ∵∠4＋∠3＝180°(邻补角定义) ∠1＝∠4(已知) ∴∠1＋∠3＝180° 即∠1和∠3互补. 综上，如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等，∠1和∠3互补． 【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并且所有的内错角相等，所有同旁内角互补． 举一反三： 【变式1】若∠1与∠2是内错角，则它们之间的关系是 ( ) ． A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2 【答案】D 【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（　　）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C （提示：②④正确）． 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，直线AD、BC被直线AC所截，则∠1和∠2是( ). A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角 2．如图，能与构成同位角的有( ). A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下列命题中，真命题有（　　） （1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； （2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等； （3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线； （4）如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若∠1与∠2是同位角，则它们之间的关系是( ). A．∠1＝∠2 ； B．∠1＞∠2 ； C．∠1＜∠2； D．∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2. 5．如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 6. 已知图（1）—（4）： 在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（ ）. A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3） D．（1） 7.如图，下列结论正确的是（ ）. A．∠5与∠2是对顶角； B．∠1与∠3是同位角； C．∠2与∠3是同旁内角； D．∠1与∠2是同旁内角. 8.在图中，∠1与∠2不是同旁内角的是 （ ）. 二、填空题 9．如图，当直线BC、DC被直线AB所截时，∠1的同位角是_______，同旁内角是_______；当直线AB、AC被直线BC所截时，∠1的同位角是________；当直线AB、BC被直线CD所截时，∠2的内错角是________． 10．如图， (1)∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角； (2)∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角； (3)∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角； (4)∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线 所截得的________角； (5)∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线 所截得的________角． 11．如图，若∠1＝95°，∠2＝60°，则∠3的同位角等于________，∠3的内错角等于________，∠3的同旁内角等于________． 12．如图，标有角号的7个角中共有　 　对内错角，　 　对同位角，　 　对同旁内角． 13．如图，直线a、b、c分别与直线d、e相交，与∠1构成同位角的角共有________个，和∠l构成内错角的角共有________个，与∠1构成同旁内角的角共有________个． 14.如图，三条直线两两相交，其中同旁内角共有 对，同位角共有 对，内错角共有 对. 三、解答题 15．如图，∠1和哪些角是内错角? ∠1和哪些角是同旁内角? ∠2和哪些角是内错角? ∠2和哪些角是同旁内角?它们分别是由哪两条直线被哪一条线截成的? 16．指出图中的同位角、内错角、同旁内角． 17.指出图中各对角的位置关系： （1）∠C和∠D是　 　角； （2）∠B和∠GEF是　 　角； （3）∠A和∠D是　 　角； （4）∠AGE和∠BGE是　 　角； （5）∠CFD和∠AFB是　 　角． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】∠1与∠2是直线AD、BC被直线AC所截而成，且这两角都在被截线AD、BC之间，在截线AC两侧，所以为内错角． 2．【答案】B 【解析】如图，与能构成同位角的有：∠1，∠2，∠3． 3. 【答案】B 【解析】（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确； （2）应为两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项错误； （3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线，正确； （4）应为如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，故本选项错误． 所以（1）（3）两项是真命题． 4. 【答案】D 【解析】由两角是同位角，内错角或同旁内角得不出它们大小之间的关系． 5. 【答案】A． 6. 【答案】C 【解析】图（2）或图（4）中的∠1与∠2没有公共边，不属于“三线八角”中的角． 7. 【答案】D 8. 【答案】D 【解析】选项D中∠1与∠2没有公共边，不属于“三线八角”中的角． 二、填空题 9.【答案】∠2, ∠5, ∠3, ∠4 【解析】先看哪两条线被哪一条线所截，再判断它们的关系． 10.【答案】(1)BD(或BC), 同位； (2)AC, 内错； (3)AB, AC, BC, 同旁内; (4)AB， AC， BC，同位； (5)AB， CE， BC，同旁内． 【解析】可以从复杂图形中抽出简单图形进行分析． 11．【答案】85°， 85°， 95° 【解析】∠3的同位角和内错角均与∠1互补，故它们的度数均为：180°－95°=85°， 而∠3的同旁内角是∠1的对顶角，所以∠3的同旁内角的度数等于∠1的度数． 12．【答案】4对内错角：分别是∠1和∠4，∠2和∠5，∠6和∠1，∠5和∠7； 2对同位角：分别是∠7和∠1，∠5和∠6； 4对同旁内角：分别是∠1和∠5、∠3和∠4、∠3和∠2、∠4和∠2． 13．【答案】3，2，2 【解析】如图，与∠1是同位角的是：∠2, ∠3,∠4；与∠1是内错角的是：∠5, ∠6；与∠1是同旁内角的是：∠7，∠8． 14．【答案】6, 12, 6 【解析】每个“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，而两两相交，且不交于同一点的三条直线共有三个“三线八角”，所以同旁内角共有：（对），同位角共有：（对），同旁内角共有：（对）． 三、解答题 15. 【解析】 解：∠1和∠DAB是内错角，由直线DE和BC被直线AB所截而成； ∠1和∠BAC是同旁内角，由直线BC和AC被直线AB所截而成； ∠1和∠2也是同旁内角，是直线AB和AC被直线BC所截而成； ∠1和∠BAE也是同旁内角，是直线DE和BC被直线AB所截而成； ∠2和∠EAC是内错角，是直线DE和BC被直线AC所截而成； ∠2和∠BAC是同旁内角，是直线AB和BC被直线AC所截而成； ∠2和∠1也是同旁内角，是直线AB和AC被直线BC所截而成； ∠2和∠DAC也是同旁内角，是直线DE和BC被直线AC所截而成． 16．【解析】 解：如图，可分解成三个基本图形，由图(1)得内错角：∠BAD和∠B； 由图(2)得同位角：∠DAE和∠C，同旁内角：∠CAD和∠C； 由图(3)得同位角：∠BAE和∠C，内错角：∠B和∠BAE，同旁内角：∠B和∠C，∠B和∠BAC，∠C和∠BAC． 即原图形中共有两组同位角，两组内错角，四组同旁内角． 17.【解析】 解：（1）∠C和∠D是同旁内角； （2）∠B和∠GEF是同位角； （3）∠A和∠D是内错角； （4）∠AGE和∠BGE是邻补角； （5）∠CFD和∠AFB是对顶角； 故答案为：（1）同旁内角 （2）同位角 （3）内错角 （4）邻补角 （5）对顶角