8.4实际问题与二元一次方程（组）Ⅰ-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(27700975).doc

第八章 二元一次方程（组） 8.4 实际问题与二元一次方程（组）Ⅰ 【要点梳理】 知识点一、常见的一些等量关系（一） 1.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例. 3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量. 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， . 要点二、实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等. 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【典型例题】 类型一、和差倍分问题 例1.电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？ 【思路点拨】设茶壶的单价为x元，茶杯的单价为y元，根据题意可得，1个茶壶和10个茶杯共花去220元，茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元，据此列方程组求解． 【答案与解析】 解：设茶壶的单价为x元，茶杯的单价为y元， 由题意得，， 解得：． 答：茶壶的单价为70元，茶杯的单价为15元． 【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 举一反三： 【变式】根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（　　） A．7元 B．35元 C．45元 D．50元 【答案】C． 解：设水壶单价为x元，杯子单价为y元， 则有 ， 解得 ． 答：一个热水瓶的价格是45元． 类型二、配套问题 例2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 【思路点拨】本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反了）. 【答案与解析】 解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套. 根据题意，列方程组得 解方程组得 答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套. 【总结升华】生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键. 举一反三： 【变式】某家具厂生产一种方桌，设计时1的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有10的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）. 【答案】 解：设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，由题意得， , . ∴方桌有50=300（张）. 答：有6的木材生产桌面，4的木材生产桌腿，可生产出300张方桌. 类型三、工程问题 例3.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件? 【思路点拨】本例由分析知，有两个相等关系：(1)甲4天的工作量＋甲乙合做8天的工作量＝工作总量；(2)乙4天的工作量＋甲、乙合做9天的工作量＝工作总量，根据这两个相等关系可列方程求解． 【答案与解析】 解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲、乙两人每天做机器零件分别为50个、30个． 【总结升华】解答这类问题的基本关系式是：工作量＝工作效率×工作时间．工程问题一般分为两类：一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题． 类型四、利润问题 例4.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示： 类别/单价 成本价 销售价（元/箱） 甲 24 36 乙 33 48 （1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ （2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？ 【思路点拨】（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，根据投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，列出方程组解答即可； （2）总利润=甲的利润+乙的利润． 【答案与解析】 解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得 ， 解得：． 答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱． （2）300×（36﹣24）+200×（48﹣33） =3600+3000 =6600（元）． 答：该商场共获得利润6600元． 【总结升华】本题考查了二元一次方程组的实际应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 举一反三： 【变式】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗? 【答案】 解：设王师傅分别购进甲、乙两种商品件和件，则 解得： 答：王师傅分别购进甲乙两种商品32件与18件． 【巩固练习】 一、选择题 1．有一些苹果箱，若每只装苹果25 kg，则剩余40 kg无处装；若每只装30 kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有( ) . A．12只 B．6只 C．112只 D．128只 2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长椅坐5人，则少10条长椅，若每条长椅坐6人，则又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( ) . A． B． C． D． 3.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（　　） A．300元 B．310元 C．320元 D．330元 4.王力在一天内以每件80元的价格卖了两件上衣，其中一件赢利20％，一件赔了20％，则在这次买卖中他( ) . A．赔了10元 B．赚了10元 C．赔了约7元 D．赚了约7元 5.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺帽和生产螺栓的数分别为（　　） A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人 6.某校七年级(2)班40名同学为四川地震灾区捐款，共捐了100元，捐款情况如下表： 捐款（元） 1 2 3 4 人数 6 7 表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( ) . A. B． C. D. 二、填空题 7．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个．其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，列出的方程组是________． 8．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是　　元和　　元． 9．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题. 10．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________． 11．如图，3个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为9cm，8个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为14cm，则100个这样的纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________ cm． 12．“六一”儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天共售出门票3000张，共收入15600元，则这一天售出了成人票________张，儿童票___ _ 张． 三、解答题 13．某厂第二车间人数比第一车间人数的少30人，如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间人数的，这两个车间各有多少人？ 14.已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？ 15.某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：利润=售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 若商店计划销售完这批商品后能使利润达到1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ 16.古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． （1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示________，y表示________； 乙：x表示________，y表示________． （2）求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】D； 【解析】设这些苹果箱共只，则有，解得. 2. 【答案】A； 3. 【答案】C． 【解析】设大人门票为x，小孩门票为y， 由题意，得：， 解得：， 则3x+2y=320． 即王斌家计划去3个大人和2个小孩，需要320元的门票． 4. 【答案】C； 【解析】设一件的原价为元，另一件的原件为元，则： ， 解得， 　 （元），故选C. 5. 【答案】A； 【解析】解：设分配x人生产的螺栓，y人生产螺帽刚好配套， 根据题意，得：， 解得：， 故选：A． 6. 【答案】A； 【解析】根据捐2元和3元的同学总人数和这些学生捐款总金额列方程组. 二、填空题 7. 【答案】； 8.【答案】20，2． 【解析】设每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为x元，y元， 则， 解得． 故每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是20元和2元． 9.【答案】19； 【解析】设做对了道题，做错了道题，由题意列方程组 ，解得 ． 10．【答案】；35,40； 11.【答案】106； 【解析】设1个纸杯的高度为cm，纸杯叠放在一起纸杯之间的距离为cm，则有： ，解得， 100个纸杯整齐叠放在一起的高度：（cm）． 12.【答案】900， 2100． 三、解答题 13.【解析】 解：设第一车间x人，第二车y人，则 解得 答：第一车间250人，第二车间170人． 14.【解析】 解：设A服装成本为x元，B服装成本y元，由题意得： ， 解得：， 答：A服装成本为300元，B服装成本200元． 15.【解析】 解：设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件，依题意得： ， 解得：， 答：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进60件． 16.【解析】 解：（1）甲：20 180 乙：180 20 A工程队整治河道的天数， B工程队整治河道的天数； A工程队整治河道的长度， B工程队整治河道的长度． （2）选甲同学所列方程组解答如下： ， 解得， A工程队整治河道：12x=60 （米）， B工程队整治河道：8y=120 （米）． 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．