专题08 分式方程解的三种考法（解析版）（人教版）.docx

专题08 分式方程解的三种考法 类型一、整数解的问题 例．关于x的不等式组有解，且使关于x的分式方程有非负整数解的所有m的值的和是（       ） A．-1 B．2 C．-7 D．0 【答案】C 【详解】解：关于的不等式组有解， 由可得： ，解得， 由解得， 分式方程有非负整数解， 是非负整数， ，，，， 故选：． 【变式训练1】若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（       ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【详解】解：， 由①得，x＞2，由②得x＞a-1， ∵不等式组的解集为x＞2，∴a-1≤2， ∴a≤3，，3-ay+3=3-y，（a-1）y=3，y= ∵方程的解为整数，∴a=-2，0，2，4， ∵y≠3，∴≠3，∴a≠2， ∵a≤3，∴a的取值为-2，0， ∴所有满足条件的整数a的值之和是-2+0=-2， 故选：D． 【变式训练2】若关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数m的和是（       ） A．7 B．10 C．18 D．21 【答案】C 【详解】解不等式组： 由①得： 由②得：，， ∴不等式组的解集为 ∵不等式组有且只有两个奇数解 ∴，解得： ∵分式方程有解，则分母不为零 ∴ 解分式方程： ，解得： ∴满足条件的m值为5，6，7 ∴所有满足条件的整数m的和是，故选C． 【变式训练3】若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解．则符合条件的所有整数k的和为（       ） A．3 B．1 C．0 D．6 【答案】B 【详解】解：，解不等式①得x≤k， 解不等式②得x＜5，由题意得k＜5， 解分式方程得，y＝， 由题意得，≥0，且≠1，解得，k≥﹣3且k≠﹣1， ∴k的取值范围为：﹣3≤k＜5，且k≠﹣1的整数， ∴k的取值为﹣3，﹣2，0，1，2，3，4， 当k＝﹣3时，＝0，当k＝﹣2时，＝，当k＝0时，＝， 当k＝1时，＝2，当k＝2时，＝，当k＝3时，＝3，当k＝4时，＝， ∵为整数，且k为整数，∴符合条件的整数k为﹣3，1，3， ∵﹣3＋1＋3＝1，∴符合条件的所有整数k的和为1． 故选：B 【变式训练4】已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：，去分母得，，解得 ， 时，方程产生增根，，即，， ，且，， 解不等式①得：，解不等式②得：， 不等式组有解，∴不等式组的解集为：， 恰好有三个整数解，，解得， 又且，且，整数为，其和为1+3=4，故选C． 类型二、增根问题 例1.若关于x的分式方程有增根，则m的值为（       ） A．1.5 B．-6 C．1或-2 D．1.5或-6 【答案】D 【详解】解：， 方程两边同乘以，得，即， 关于的分式方程有增根， 或，即或， （1）当时，则，解得， （2）当时，则，解得， 综上，的值为或， 故选：D． 【变式训练1】关于x的分式方程：． （1）当m＝3时，求此时方程的根； （2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 【答案】（1）x=-5；（2）-4或6 【详解】解：（1）把m=3代入方程得：，去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5， 检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解为x=-5； （2）去分母得：mx+2x+4=3x-6，∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x=2或x=-2， 把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；把x=-2代入整式方程得：-2m=-12， 解得：m=6． 【变式训练2】关于x的分式方程有增根，则m的值为（          ） A． B． C．1 D．6 【答案】A 【详解】解：由题意得，分式两边同乘（x-2）得：， 化简得：， ∵方程有增根，∴x=2， 即：， 解得：， 故选：A． 【变式训练3】若关于x的分式方程有增根，则增根是______． 【答案】1 【详解】解： ， 方程两边都乘以 ∴方程的增根是使的x的值， 故答案为1 【变式训练4】若关于x的方程有增根，则的值为___________． 【答案】-1 【详解】解：方程两边同乘以x−2 得① ∵原方程有增根，∴x−2=0， 即x=2. 把x=2代入①，得 m=−1. 故答案为：-1． 类型三、无解问题 例1．已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3 【答案】C 【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3， 解得：， ①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解， ②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，即无解或3（m+2）＝﹣3， 解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3． 故选C． 【变式训练1】如果关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：，方程两边同时乘以x﹣5得，2﹣（m+1）＝x﹣5， 去括号得，2﹣m﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣m， ∵原分式方程无解，∴x＝5，∴m＝1， 故选：B． 【变式训练2】若关于x的分式方程无解，则m的值是（       ） A．－1 B．1 C．0 D．0或1 【答案】D 【详解】方程左右两边同乘（x-1）得， 2m+x-1=m（x-1），化简整理后得， （m-1）x=3m-1， 当m-1=0，m=1时，0·x=2，此时x无解； 当x=1时，是分式方程的增根，则分式方程无解，将x=1代入，得， m-1=3m-1，则m=0， 所以当m=0或1时，分式方程无解，故选D． 【变式训练3】已知关于的分式方程无解，则的值为（       ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【详解】解：由得x= ∵分式方程无解 ∴=±2或m+4=0 ∴m=0或m=-8或 ∴或或 故答案为D. 【点睛】 本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点. 【变式训练4】若分式方程无解，则的值为（   ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 【答案】C 【详解】情况一：解是方程的增根 分式方程转化为一元一次方程为：mx=6x－18 移项并合并同类项得：(6－m)x=18 解得： ∵分式方程无解，∴这个解为分式方程的增根 要想是分式方程的增根，则x=3或x=0 显然不可能为0，则 解得：m=0 情况二：转化的一元一次方程无解 由上知，分式方程可转化为：(6－m)x=18 要使上述一元一次方程无解，则6－m=0 解得：m=6，故选：C