5.5《相交线与平行线》章末复习（基础巩固）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(26870490).doc

第五章 相交线与平行线 5.5 《相交线与平行线》章末复习（基础巩固） 【要点梳理】 知识点一、相交线 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的 两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 要点诠释： ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 要点诠释： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 知识点二、平行线 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 要点诠释： （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点三、命题及平移 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项. 2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释：平移的性质： （1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 【典型例题】 类型一、相交线 例1. a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（　　） A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个 C．1个或2个 D．都不对 【思路点拨】根据三条直线两两平行，三条直线交于一点，两条直线平行与第三条直线相交，三条直线两两相交不交于同一点，可得答案． 【答案】B 【解析】 解：三条直线两两平行，没有交点； 三条直线交于一点，有一个交点； 两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； 三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点， 故选B. 【总结升华】本题考查了相交线，分类讨论是解题关键：①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点，注意不要漏掉任何一种情况． 举一反三： 【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角. 【答案】 解： 因为∠BOC＋∠AOC=180º（平角定义）,      所以∠AOC是∠BOC的补角.      因为∠AOD＋∠BOD=180º（平角定义）,      ∠AOD=∠BOC（已知）,      所以∠BOC＋∠BOD=180º.    所以∠BOD是∠BOC的补角． 所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC. 而∠BOC的邻补角只有一个∠AOC，且∠BOC没有对顶角. 例2. 已知：如图，直线a、b、c两两相交，且∠1＝2∠3，∠2=86°，求∠4的度数. 【答案与解析】 解：根据对顶角相等, ∴∠1＝∠2＝86°. 又∵∠1＝2∠3，∴86°＝2∠3，∴∠3＝43°, 又∠3与∠4对顶角， 所以∠3=∠4＝43°. 【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（对顶角）是解题的关键． 性质是解答此类问题的关键. 类型二、平行线的性质与判定 例3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由. 【答案与解析】 解：平行，理由如下： 因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， 所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）. 又因为∠1=∠2（已知）， 所以∠BCD=∠2. 所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）. 【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补. 举一反三： 【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由． 【答案】∠AED=∠ACB，理由如下： ∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°, ∴∠2＝∠4. ∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）. ∴∠5＝∠3. 又∠3=∠B, ∴∠5＝∠B. ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）. ∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等). 类型三、命题及平移 例4.如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC． 【思路点拨】欲证AD∥BC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件． 【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°. 【解析】 解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠FAD＝∠FBC；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加条件∠ABC+∠BAD＝180°． 【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： AD∥BC，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可. 举一反三： 【变式】下列说法中正确的个数是（　　） （1）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c （2）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a⊥c （3）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c （4）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c． 　A．1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】C 例5.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD． 【思路点拨】连接AC或BC便得平移的方向和距离． 【答案与解析】 解：如图(2)，线段CD有两种情况：(1)当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此下边线段CD即为所求；(2)当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，上边线段CD即为所求． 【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．本题中未指明哪一端点(A还是B)移动到点C，故应有两种情况：即点A平移到点C或点B平移到点C． 举一反三： 【变式】下列说法错误的是（ ） A．平移不改变图形的形状和大小 B．平移中图形上每个点移动的距离可以不同 C．经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等 D．经过平移，图形对应点的连线段相等 【答案】B 类型四、实际应用 例6.如图，107国道上有一个出口M，想在附近公路旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？ 【答案与解析】 解：如图，过点M作MN⊥，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工. 【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键. 【巩固练习】 一、选择题 1．下列图中,∠1和∠2是对顶角的有(　 )个. 　　 　　A．1个 　　　　B．2个 　　　C．3个 　　　　D．4个 2．下列说法正确的是（　　） A． 两点之间的距离是两点间的线段 B． 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C． 与同一条直线垂直的两条直线也垂直 D． 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （3）相等的两个角是对顶角； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离. 其中正确的有( )． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．∠1和∠2是直线AB和CD被直线EF所截得到的同位角，那么∠1和∠2的大小关系是( )． A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 5．如图所示中，不能通过基本图形平移得到的是( )． 6．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于( )． A．75° B．105° C．45° D．135° 7．下列说法中，正确的是( )． A．过点P画线段AB的垂线. B．P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，连接PQ，使PQ⊥AB. C．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. D．过一点有且只有一条直线平行于已知直线. 8．如果在同一平面内有两个图形甲和乙，通过平移，总可以完全重合在一起(不论甲和乙的初始位置如何)，则甲和乙是( )． A．两个点 B．两个半径相等的圆 C．两个点或两个半径相等的圆 D．两个能够完全重合的多边形 二、填空题 9．如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________． 10．平行用符号　 表示，直线AB与CD平行，可以记作为　 　． 11．每天小明上学时，需要先由家向东走150米到公共汽车站点，然后再乘车向西900米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是________，移动的距离是________． 12. (广东湛江)如图所示，请写出能判断CE∥AB的一个条件，这个条件是； ①：________ ②：________ ③：________ 13．如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=________度. 14．同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a________c．若a∥b，b∥c，则a________c．若a∥b，b⊥c，则a________c． 北 北 甲 乙 15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 ． 16．如图所示，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条． 三、解答题 17．把图中的互相平行的线写出来，互相垂直的线写出来： 18．如图所示，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，你能推断哪两条线段平行?说明理由． 19.如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其它部分都是草地．求草地的面积． 20．如图所示，点P是∠ABC内一点． (1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F． (2)∠EPF等于∠B吗?为什么? 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】A； 【解析】只有第三个图中的∠1与∠2是对顶角. 2. 【答案】D． 3. 【答案】B； 【解析】（1）只有两条直线平行时，同位角相等，错误；（2）正确；（3）不符合对顶角的定义，错误；（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故错误.故选：B. 4. 【答案】D； 【解析】因为不知道直线AB和CD是否平行，平行时同位角相等，不平行时同位角不相等，所以无法确定同位角是否相等，故选D． 5. 【答案】D 【解析】易见A、B、C都可以通过基本图形平移得到，只有D不能． 6. 【答案】C； 【解析】根据直线平行，内错角相等，从A点北偏东60°方向等于从B点南偏西60°，再从B点向南偏西15°方向到C点，∠ABC应等于这两个角的差，故C正确． 7.【答案】C； 【解析】应是过一点画线段所在直线的垂线，不能是画线段的垂线，故A错误；P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，如果P点不在过Q点与AB垂直的直线上，或Q点不在过P点与AB垂直的直线上，连接PQ，不可能有PQ⊥AB，故B错误；过一点画直线的平行线，这点不能在直线上，否则是同一条直线，故D错误；只有C是垂线的性质，故C正确． 8.【答案】C 【解析】分析：两个能够完全重合的多边形，如果把其中一个多边形旋转一个角度，那么另一个多边形不论怎样平移，也不可能和这个多边形(指旋转一个角度的多边形)完全重合在一起，只有两个点或两个半径相等的圆总能完全重合在一起，故选C． 二、填空题 9. 【答案】50° 【解析】因为AB∥CD，所以∠1＝∠AGF，因为∠AGF与∠EGB是对顶角，所以∠EGB＝∠AGF，故∠EGB＝50°． 10.【答案】∥，AB∥CD． 11.【答案】向西，750米 ； 【解析】移动的方向是起点到终点的方向，移动的距离是起点到终点的线段的长度. 12．【答案】∠DCE＝∠A，∠ECB＝∠B，∠A+∠ACE＝180°； 【解析】根据平行线的判定，CE∥AB成立的条件可以是∠DCE＝∠A或∠ECB＝∠B或∠A+∠ACE＝180°． 13．【答案】70°； 【解析】∠EFD+∠FEB＝180°，∠EFD=180°-50°-90°=40°， ∴∠EFP=20°，则∠EPF=180°-90°-20°=70°. 14.【答案】∥，∥，⊥； 15.【答案】48°； 【解析】内错角相等，两直线平行. 16.【答案】8； 【解析】表示点到直线或线段距离的垂线段有：线段AC、BC、DE、CE、BE、CD、CB、AD. 三、解答题 17.【解析】 解：AB∥CD，MN∥OP，EF∥GH； AB⊥GH，AB⊥EF，CD⊥EF，CD⊥GH． 18.【解析】 解：AB∥CD，理由如下： 因为AC平分∠DAB(已知)，所以∠1＝∠3(角平分线定义)．又因为∠1＝∠2(已知)，所以∠2＝∠3(等量代换)，所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)． 19.【解析】 解：将马路的一边向另一边平移到重合，则此时草地的形状为：长为（a－2）米，宽为b米的长方形，所以面积为：（a－2）b＝(ab-2b)平方米． 20.【解析】 解：如图所示，(1)①直线PD即为所求；②直线PE、PF即为所求． (2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)．