专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考法（解析版）（人教版）.docx

专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考法 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 例1．如图，已知，P是的平分线上的任意一点，交于点D，于点E，如果，求的长． 【答案】4cm 【详解】如图，过点P作PF⊥OB于点F， ∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，∴PF＝PE，∠EOP＝∠DOP ∵PDOA，∠AOB＝30°，∴∠PDF＝∠AOB＝30°， ∴∠DPO＝∠EOP＝∠DOP，∴ PD＝OD＝8cm 在Rt△PDF中，∵∠DFP=90°,∠FDP=30° ∴PF=PD=4cm，∴ PF＝PE＝4cm． 【变式训练1】如图，中，，点分别在边，上，，． 求证： 平分． 【答案】见解析 【详解】证明：过点作于点． ． 在和中，． ．点在的平分线上．平分． ． 【变式训练2】图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M． (1)EC＝BF； (2)EC⊥BF； (3)连接AM，求证：AM平分∠EMF． 【答案】(1)见解析．(2)见解析．(3)见解析． 【解析】(1)证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF， 在△ABF和△AEC中，∵， ∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF； (2)根据（1），∵△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF， ∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°， ∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM＝90°， 在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF． (3)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图： ∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）． ∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q， ∴AM平分∠EMF． 【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长． 【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF， ∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF， 在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC； （2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE， ∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE； （3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH， ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB 在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB， ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH＝∠ODF， ∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°， ∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF， 在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA）， ∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3． 类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形 例1.如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为______cm2． 【答案】4.5 【详解】解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP， ∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°， 在△ABP和△EBP中， ，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=PE， ∴∴ cm2，故答案为4.5． 【变式训练1】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝4，则CE＝________． 【答案】2 【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， 在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF， ∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF， 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF， ∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2． 【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF 【答案】见解析 【解析】证明：延长AE、BC交于点F. 如图所示：∵AE⊥BE，∴∠BEA=90°， 又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC， 在△ACF和△BCD中,，∴△ACF≌△BCD(ASA)，∴AF=BD. 又AE=BD，∴AE=AF，即点E是AF的中点，∴AB=BF，∴BD是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°，DF⊥AB于F，∴CD=DF. 类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短 例1.已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明． 【答案】AB=AC+BD，证明见详解． 【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，∵，∴∠F=∠CAF， ∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF， ∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED， ∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC． 【变式训练1】如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O． (1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC； (2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析；(2)AE+CD=AC，证明见解析 【解析】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC， ∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O． ∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA， ∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC， ∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC）， 即∠AOC=90°+∠ABC； (2)解：AE+CD=AC， 证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°， 在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON， 则在△AEO和△AMO中，， ∴△AEO≌△AMO， 同理△DCO≌△NCO， ∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON， ∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°， ∴∠MON=∠MOA=45°， 过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L， ∴MK=ML， S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML， ∴， ∵，∴， ∵AO=3OD，∴，∴， ∴AN=AM=AE， ∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC． 【变式训练2】如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．（提示：过点E作EF⊥AD，垂足为F．） 【答案】见解析 【详解】证明：过点E作EF⊥DA于点F， ∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF， ∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF， 又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE平分∠DAB． 【变式训练3】如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC． (1)求证：∠ABD＝∠ACD； (2)求证：AD平分∠CDE； (3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析；(3)∠BAC=60°，理由见解析 【解析】(1)证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC， 又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°， ∴∠ABD=∠ACD； (2)证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示： 则∠AMC=∠ANB=90°． ∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC， 由(1)可知：∠ABD=∠ACD， ∴△ACM≌△ABN (AAS)，∴AM=AN． ∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)； (3)解：∠BAC的度数为60°，理由如下： 在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示： ∵CD=AD+BD，∴AD=PD． ∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP (SAS) ， ∴AD=AP，∠BAD=∠CAP， ∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形， ∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°． 【变式训练4】已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），满足． （1）如图2，若，且，则________，_______． （2）求证：． （3）如图3，若，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）36，126；（2）见解析；（3） 【详解】（1）∵，且， ∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°， 又∵是的平分线，∴∠BAD=∠CAD=18°， ∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案为：36，126 （2）在上截取，连接， 又∵AE=AE，，∴，∴， ∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴ ∴； （3）∵，∴， ∵，，∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE， ∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴点E到CA、CB的距离相等， 又∵是的平分线，∴点E到AC、AB的距离相等， ∴点E到BA、BC的距离相等，∴是的平分线， ∴∠ABE=∠CBE，∴， 又∵，∴， 即． 课后训练 1．如图①，是四边形的一个外角，//，，点在的延长线上，，，垂足为． (1)求证：①平分；②． (2)如图②，若，，．求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)90° 【解析】(1)解：①∵ADBC，∴∠C=∠CDE， ∵BC=BD，∴∠C=∠CDB， ∴∠CDB=∠CDE，∴DC平分； ②如图，过点F作FH⊥BD，交BD延长线于H， ∵∠FDG=∠CDE，∠FDH=∠CDB，∠EDC=∠CDB，∴∠FDG=∠FDH， ∵FG⊥AE，FH⊥BD，∴FH=FG，∠H=∠FGD=∠AGF=90°, ∵FD=FD，∴Rt△FHD≌Rt△FGD（HL），∴DH=DG， ∵，∴FB=FA， ∴Rt△FHB≌Rt△FGA（HL）∴BH=AG， ∵BD=BC，∴AG=BH=BD+DH=BC+DG，即AG=BC+DG； (2)解：∵AB=4，BC=3，DG=1， ∴BD=BC=3，AG=BC+DG=3+1=4， ∴AD=AG+DG=4+1=5， ∵AB2+BD2=42+32=52=AD2，∴∠ABD=90°， 过点F作FM⊥AB于M，交AD于N，如图， 则∠AMF=∠BMF=90°=∠ABD，∴FMBD，∴∠BFM=∠FBD， ∵，∴FB=FA， ∴AM=AB=2，∠AFM=∠BFM，∴∠AFM=∠FBD， 由（1）②知，Rt△FHB≌Rt△FGA， ∴∠FAG=∠FBD，∴∠FAG=∠AFN， ∵FMBD，∴∠MFD=∠BDC， ∵∠BDC=∠CDE=∠FDG，∴∠MFD=∠FDG， ∴∠AFM+∠FAG+∠DFN+∠FDG=180°， ∴2∠AFM+2∠DFN=180°， ∴2∠AFD=180°，∴∠AFD=90°． 2．已知：如图1，四边形ABCD中，，连接AC、BD，交于点E，． (1)求证：； (2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【解析】(1)解：如图，过点A作AP⊥BD于点P，AF⊥BC，交CB的延长线于点F， ∵AP⊥BD，AF⊥BC，BD⊥BC ∴四边形APBF是矩形 ∵∠ABC＝135°，∠DBC＝90°， ∴∠ABP＝45°，且∠APB＝90°，∴AP＝PB， ∴四边形APBF是正方形，∴AP＝AF，且AD＝AC， ∴，∴∠DAP＝∠FAC， ∵∠FAC+∠PAC＝90°，∴∠DAP+∠PAC＝90°，∴∠DAC＝90° (2)如图，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥BD于点N，过点C作CP⊥BF于点P，在BD上截取DH＝BC，连接AH， ∵∠ABC＝135°，∠ABF＝90°， ∴∠CBF＝45°，且∠DBC＝90°， ∴∠DBF＝∠CBF，且FN⊥BD，FM⊥BC，∴FN＝FM， ∵S△DBF＝2S△CBF， ∴×2，∴BD＝2BC， ∴BH＝BD﹣DH＝BD﹣BC＝BC， ∵∠AED＝∠BEC，∠DAC＝∠DBC＝90°， ∴∠ADH＝∠ACB，且AD＝AC，DH＝BC， ∴△ADH≌△ACB（SAS）， ∴∠AHD＝∠ABC＝135°，AH＝AB， ∴∠AHB＝∠ABD＝45°，∴∠HAB＝90°， ∵BC＝BH，∠HAB＝∠BPC，∠AHB＝∠FBC＝45°， ∴△AHB≌△PBC（AAS），∴AB＝PC， ∵AB＝PC，且∠ABP＝∠BPC，∠AGB＝∠CGP， ∴△AGB≌△CGP（AAS），∴AG＝GC (3)解：如图， ∵AB＝3＝PC，∠PBC＝45°，PC⊥BF，∴BP＝PC=3， ∵△AGB≌△CGP，∴BG＝PG＝， 在中，CG＝＝，∴AG＝GC＝，∴AC＝AD＝2AG＝3 在中，CD＝＝， ∵S△DBF＝2S△CBF，∴DF＝2FC ∵DF+FC＝DC，∴FC＝ 在中，PF＝＝1，∴FG＝PG+PF＝1+ ＝． 3．如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，交CD于点G． (1)求证：CG=CE； (2)如图2，连接FC，AC．若BF平分∠DBE，求证：CF平分∠ACE； (3)如图3，若G为DC中点，AB=2，求EF的长． 【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3) 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°， ∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BCG＝90°， ∵∠DGF＝∠BGC，∴∠GBC＝∠EDC， 在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴CG＝CE； (2)证明：∵BF平分∠DBE，BF⊥DE，∴DF＝EF， ∴CF是Rt△DCE的中线，∴CF＝EF，∴∠E＝∠FCE， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBE＝∠ACB＝45°， ∵BF平分∠DBE，∴∠FBE∠DBE＝22.5°， ∴∠E＝90°﹣∠FBE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCE＝67.5°， ∴∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°， ∴∠ACF＝∠FEC，∴CF平分∠ACE； (3)解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCG＝90°，AB＝BC＝CD＝2，BD， ∵G为DC中点，∴CG＝GDCD＝1， 在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG， 设GF＝x， 在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2﹣BF2＝DF2，DG2﹣GF2＝DF2， ∴，解得：x， ∴DF2＝12﹣（）2，∴DF， 由（1）知：△BCG≌△DCE，∴BG＝DE，∴EF＝DE﹣DF． 4．已知：在四边形中，于E，且． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分交于F，点G在上，连接，且．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，过点F作，且，若，求线段的长． 【答案】(1)120°；(2)见解析；(3)3． 【解析】(1)解：如图1，取AD的中点F，连接EF， ∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴AD=2AF=2EF， ∵AD=2AE，∴AE=EF=AF，∴∠CAD=60°，∵∠B+∠CAD=180°，∴∠B=120°； (2)证明：如图2，作FM⊥BC于M，FN⊥AB于点N， ∴∠BMF=∠BNF=90°，∠GMF=∠ANF=90°， ∵BF平分∠ABC，∴FM=FN， 在Rt△BFM和Rt△BFN中，，∴Rt△BFM≌Rt△BFN（HL），∴BM=BN， 在Rt△FMG和Rt△FNA中，，∴Rt△FMG≌Rt△FNA（HL）， ∴MG=NA，∴BN+NA=BM+MG，∴AB=BG． (3)如图3， 连接AG，DF，DG，作FM⊥BC于M，延长GF交AD于N， ∵AF=AD，∠DAE=60°，∴△ADF是等边三角形，∴∠AFD=60°，AF=DF， ∵GF=AF，∠DFC=180°-∠AFD=120°，∴AF=GF=DF， ∴∠FGD=∠FDG，∠FAG=∠FGA，∴∠AGD=∠AFN+∠DFN=∠AFD=×60°＝30°， ∵∠ADC=120°，AD=DG，∴∠DGA=∠DAG==30°， ∴∠DGC=180°-∠DGA-∠AGD=180°-30°-30°=120°， ∴∠DGC=∠DFC， ∵∠1=∠2，∴180°-∠DGC-∠1=180°-∠DFC-∠2， ∴∠GCF=∠FDG，∠DCF=∠FGD，∴∠GCF=∠DCF， ∵FH⊥CD，∴FM=FH， ∵∠FMG=∠FHD=90°，∴Rt△FMG≌Rt△FHD（HL），∴DH=MG， 同理可得：△MCF≌△HCF（HL）， ∴CM=CH=2CG，∴GM=CG=DH，∴3CG=CD=，∴GM=CG=， ∴BM=BG-GM=AB-GM=5-=， 在Rt△BFM中，∠BFM=90°-∠FBM=90°-60°=30°， ∴BF=2BM=3． 5．如图，的和的平分线，相交于点，． （1）求的度数； （2）如图，连接，求证：平分； （3）如图，在⑵的条件下，在上取点，使得，且，，求的周长． 【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）28 【详解】（1）证明：如图1， 分别平分，， ， ， ； (2)如图2，过点分别作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N， GQ⊥AC于Q， 平分， GM⊥AB于M，GN⊥BC 于N，        ，同理，， ∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q， 平分 ； （3）解：∵GM⊥AB于M， GQ⊥AC于Q，GM=GQ，∴ 平分， ∵又，       ， 在上取点，使 ， 平分，， 又，， ，，， ， ，，， 又，， ， ， △ABC的周长为：， 的周长是． 6．如图所示，是的高，点H为的垂直平分线与的交点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 【详解】解：（1）连接， ∵H为的垂直平分线与的交点，∴，， ∵，∴，∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 在中，， ∴ ∴，即平分， 在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴，AB=AG，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， 又∵，． ∴．∵ ∴ ，∴      ∴，∴ ∴． 7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC=3，BC=4，求CD的长； （2）如图③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点P在AD上，点M在AC上．若AC=6，BC=8，则PC+PM的最小值为　　． 【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）；（2）． 【详解】教材呈现：是的平分线，， ，， 在和中，，，； 定理应用：（1）如图，过点D作于点E， 在中，，， AD平分，且，， 在和中，， ，，， 设，则， 在中，，即，解得，即CD的长为； （2）如图，过点M作，交AB于点N，连接PN， AD平分， 垂直平分MN（等腰三角形的三线合一）， ， ， 由两点之间线段最短得：当点在同一条直线上时，取得最小值，最小值为CN， 又由垂线段最短得：当时，CN取得最小值， 在中，， ， 又， ， 解得， 即的最小值为， 故答案为：．