第十五章 分式（能力提升）八年级数学上册单元过关测试定心卷（人教版）（解析版）.docx

2022-2023学年人教版八年级数学上册单元测试定心卷 第十五章 分 式（能力提升） 时间：100分钟 总分：120分 一、 选择题（每题3分，共24分） 1．下列各式：，，，中，是分式的共有 （　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】 ，形式为，且B中含有字母，是分式； ，形式为，但B中不含字母，不是分式； ，形式为，且B中含有字母，是分式； ，形式为，且B中含有字母，是分式；        故一共有3个分式． 故选C 【点睛】 本题主要考查了分式的定义：形如，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键． 2．若分式的值为零，则x的值为 （    ） A．1 B． C． D．0 【解析】 解：根据题意得：且， 解得：． 故选：A 【点睛】 本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件分子等于0，且分母不等于0是解题的关键． 3．中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.000 000 000 14米．数字0.000 000 000 14用科学记数法可表示为 （    ） A． B． C． D． 【解析】 解：0.00000000014=1.4×10-10． 故选：B． 【点睛】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．化简的结果是 （   ） A． B． C． D． 【解析】 解： 故选：C． 【点睛】 本题考查分式的约分，涉及提公因式、平方差公式进行分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 5．若分式的值为负数，则x的取值范围是 （  ） A． B． C． D． 【解析】 解：∵分式的值为负数， ∴4﹣x＜0， 解得：x＞4， 则x的取值范围是x＞4，故A正确． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了分式的性质，根据题意得出4﹣x＜0，是解题的关键． 6．若关于x的方程的解为，则a等于 （    ） A． B．4 C． D． 【解析】 解：把x＝1代入方程得：， 解得：a＝． 故选：D． 【点睛】 本题考查了分式方程的解，关键是要掌握方程的解的定义，由已知解代入原方程得到新方程，然后再解答． 7．若关于x的方程有增根，则k的值为 （   ） A．2 B． C．4 D． 【解析】 解： 方程两边都乘以（（x+2），得 （x+2）-4=kx， ∵分式方程的增根是x=-2， ∴把x=-2代入（x+2）-4=kx，得k=2， 故选：A． 【点睛】 本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【解析】 解：， ， 解得， 关于x的分式方程的解是非负数， 且， 解得且， 故选C． 【点睛】 本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 9．计算：=_______． 【解析】 解： = =， 故答案为：． 【点睛】 本题考查分式的除法，要熟练掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 10．分式－，的最简公分母为________． 【解析】 解：3和2的最小公倍数是6，x的最高次幂是2，y的最高次幂是3，6x2y3是两者的最简公分母． 故答案为：6x2y3． 【点睛】 本题考查了最简公分母，解决本题的关键是熟练掌握最简公分母的确定方法步骤． 11．已知，则分式的值为______________． 【解析】 解： 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解此题的关键． 12．方程的解是__________． 【解析】 解：， 两边都乘以x(x-1)，得 3(x-1)=2x， 解得 x=3， 当x=3时，x(x-1) ≠0， ∴x=3是原方程的解． 故答案为：x=3． 【点睛】 本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 13．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为______． 【解析】 解：由题意得： x*y＝2，即，则：， 则， 故答案为：1011． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，理解新运算法则，将已知化为未知的形式进行化简是解题的关键． 14．如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形PQMN．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个长方形的面积均为S，AE=x，DE=y，且x>y．若代数式x2-3xy+2y2的值为0，则=_______ 【解析】 解：∵x2-3xy+2y2 =0， ∴(x-y)(x-2y)=0， ∴x=y或x=2y， ∵x>y ， ∴x=2y， ∵四个长方形的面积均为S， ∴EP=，EN=， ∴PQ=x-y，PN=EN-EP=， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了因式分解的应用、分式的混合运算，正确通过解关于a的方程表示a与b的关系是解本题的关键． 15．代数式与代数式的和为1，则________． 【解析】 解：∵代数式与代数式的和为1， ∴， 去分母得, ， 去括号得, ， 移项并合并同类项得, ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴, 故答案为：1． 【点睛】 本题主要考查了分式方程的解法，理解去分母、去括号、移项并合并同类项、未知数系数化1，检验方程的根是解答关键． 16．已知，则______． 【解析】 ， ∴， ∴， 即． ∴， 解得： ∴的值为4，的值为． ∴ 故答案为6． 【点睛】 本题考查了分式、整式加减运算、二元一次方程组的知识；熟练掌握分式加减运算、整式加减运算、二元一次方程组的性质是解答本题的关键． 三、解答题（每题8分，共72分） 17．已知，求的值． 【解析】 解：设，则． 则． 【点睛】 本题考查分式的求值，关键在于观察已知条件与分式之间的联系． 18．计算： (1)； (2) 【解析】 (1)解：原式= = =； (2)解：原式= = =． 【点睛】 本题考查整式混合运算与分式混合运算，熟练掌握整式与分式运算法则是解题的关键． 19．先化简：，并从1，2，3，4中选取一个合适的数作为m的值代入求值． 【解析】 原式= ． ∵当m=-2，2，0时，原分式无意义， ∴当时，原式．（或当时，原式．或当时，原式．） 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20．计算时，小明、小亮两位同学的解法如下： 小明：     ①      ② 小亮：                ③             ④ (1)判断：小明、小亮两位同学的解题过程有无错误？若无误，请直接跳到下一问；若有误，则找出最先出错的式子：______（填序号）． (2)请任选一种自己喜欢的解法，完成解答． 【解析】 (1)解：小明：                        ①           ② 故最先出错的式子为小明的解题过程中的①； 故答案为：① (2)解：选第一种解法，过程如下：                         ＝ ＝ ＝ 【点睛】 本题考查了分式的加减混合运算，关键在于熟练掌握分式混合运算的法则和步骤． 21．解方程： (1)解方程：； (2)解关于x的方程过程中产生了增根，试判断k的值. 【解析】 （1）解：检验：将代入原方程，分母为0，故原方程无解． （2）解：由于原方程有增根，故原方程分母为0， 【点睛】 本题考查解分式方程，解决本题的关键是熟悉解方程的方法，理解增根的意义． 22．我县计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成． 已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． (1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ (2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【解析】 （1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室．根据题意得 解得x＝4． 经检验，x＝4是所原方程的根所以，1.5x＝1.5×4＝6．答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室． （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天根据题意得解得 答：最多安排甲公司工作12天． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式． 23．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （结果用含的式子表示）； (2)若“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的倍，求的值． 【解析】 (1)解：“丰收1号”的面积为：， 单位面积产量为：； “丰收2号”的面积为：， 单位面积产量为：； 故答案为：；； (2)解：由题意，可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴a的值为5． 【点睛】 本题考查了列代数式，分式方程，解题的关键是根据题意列出相应的分式方程． 24．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：______ (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【解析】 (1)解：将看成一个整体，令， 则原式． (2)解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． (3)解：①∵， ∴ ． ②∵， ∴ ． 【点睛】 本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 25．“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象. 【分数运算】 怎样理解？ 从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即. 【尝试推广】 （1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）； ②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释. （2）①观察下图，填空：____________； ②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释. 【解析】 解：（1）①； 故答案为； ②长方形先被平均分成a份，取其中的b份（涂部分）；再将涂色部分平均分成c份，取其中d份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成份，取其中份，所以的占原长方形的，即. （2）①（） ②长方形先被横向平均分成（）份，取其中的1份（涂部分）； 该长方形还可以如图被纵向平均分成份，取其中1份（涂部分）. 这样，可看成原长方形被平均分成份，涂色部分共取其中份， 所以占原长方形的， 即. 【点睛】 本题考查分式的性质；能够仿照分数的例子得到分式的性质，画出合适的图形是解题的关键．