5.5《相交线与平行线》章末复习（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(26870493).doc

第五章 相交线与平行线 5.5 《相交线与平行线》章末复习（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、相交线 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的 两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 要点诠释： ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 要点诠释： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 知识点二、平行线 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 要点诠释： （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点三、命题及平移 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项. 2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释：平移的性质： （1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 【典型例题】 类型一、相交线 例1. (1)如图（1）已知直线AB，CD相交于点0． (2)如图（2）已知直线AE，BD相交于点C． 分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角? 【答案与解析】 解： (1)邻补角是∠DOA与∠AOC，∠AOE与∠EOB，∠BOC与∠COA，∠COE与∠DOE，∠DOA与∠DOB，∠DOB与∠BOC；对顶角是∠AOD与∠COB，∠AOC与∠DOB. (2)邻补角是∠ACB与∠ACD，∠ECD与∠DCA，∠DCE与∠ECB，∠ECB与∠ACB；对顶角是∠ACB与∠DCE，∠BCE与∠ACD． 【总结升华】当需要写出的角较多时，写完后再计算一下个数，可以检验是否写全. 例2.直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝40°，求∠BOD的度数. 【答案与解析】 解：分两种情况. 第一种：如图1，直线AB，CD相交后，∠BOD是锐角， ∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°. ∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝50°. ∵∠BOD＝∠AOC ∴∠BOD＝50° 第二种：如图2，直线AB、CD相交后，∠BOD是钝角， ∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°. ∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝90°+40°＝130°， ∴∠BOD＝∠AOC＝130°. 【总计升华】本题属于无图题，首先应根据题意，画出图形，画图时要考虑两种情况：一种情况为∠BOD是锐角，第二种情况是∠BOD是钝角.此外关于两条直线相交，应想到邻补角、对顶角的定义及性质. 举一反三： 【变式1】如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角． 【答案】 证明：因为∠AOC+∠COB＝180°(平角定义)， 又因为∠AOC＝∠BOD(已知)， 所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°． 所以C、O、D三点在一条直线上(平角定义)， 即直线AB、CD相交于点O， 所以∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角定义)． 提示：证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180°． 【变式2】已知: 如图, ∠1 = ∠B, ∠2 = ∠3, EF⊥AB于F ， 求证: CD⊥AB . 【答案】 证明：∵∠1＝∠B，∴MD∥BC（同位角相等，两直线平行）. ∴ ∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）, 又∵∠2 ＝∠3（已知）, ∴∠3＝∠BCD. ∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）. 又∵EF⊥AB（已知）, ∴CD⊥AB. 类型二、平行线的性质与判定 例3. 如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　） 　A．40° B． 50° C． 90° D． 130° 【思路点拨】根据平移的性质得出l1∥l2，进而得出∠2的度数． 【答案】B． 【解析】 解：∵将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2， ∴l1∥l2， ∵∠1=50°， ∴∠2的度数是50°． 【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，根据已知得出l1∥l2是解题关键． 举一反三： 【变式1】如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M、N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是 ( ). A．∠EMB＝∠END B．∠BMN＝∠MNC C．∠CNH＝∠BPG D．∠DNG＝∠AME 【答案】D 【变式2】已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3. 求证：AB∥DC. 【答案】 证明：∵∠ABC＝∠ADC, ∴（等式性质）. 又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC, ∴∠1＝，∠2＝（角平分线的定义）. ∴∠1＝∠2　（等量代换）. 又∵∠1＝∠3（已知）, ∴∠2＝∠3（等量代换）. ∴AB∥DC(内错角相等，两直线平行). 类型三、命题及平移 例4.在小学，学习对“几何的初步认识”我们知道：一个三角形的三个内角之和等于180°，现在学习了平行线性质以后，你能说出这是为什么吗? 【答案与解析】 已知：三角形ABC， 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 证明：过A点作EF∥BC． 则∠EAB=∠B，∠FAC=∠C（两直线平行，内错角相等）． ∵ ∠B+∠BAC+∠C=∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°(平角定义)， ∴ ∠A+∠B+∠C=180°． 【总结升华】准确写出题设和结论后，再进行证明. 例5.如图所示，把边长为2的正方形的局部进行图①～④的变换，组成图⑤，则图⑤的面积是( ) A．18 B．16 C．12 D．8 【思路点拨】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则⑤面积可求． 【答案】B 【解析】图①到图②是将一个等腰三角形由下方平移到上方．图③到图④是将右边的小长方形平移到左侧，所以图④中阴影部分的面积与边长为2的正方形的面积是相等的，图⑤是由4个图④组成的，所以图⑤的面积是4×4＝16． 【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．平移的性质是平移前后，图形的形状、大小不变. 举一反三： 【变式】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ） A.48 B.96 C.84 D.42 【答案】A 类型四、实际应用 例6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB=30°，你能说出∠EGF的度数吗？ 【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF=∠EFG=30°，又因为折后重合部分相等，所以∠GEF=∠DEF=30°，所以∠DEG=2∠DEF=60°，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠EGC=180°－∠DEG，问题可解. 【答案与解析】 解：因为AD∥BC（已知）， 所以∠DEF=∠EFG=30°（两直线平行，内错角相等）. 因为∠GEF=∠DEF=30°（对折后重合部分相等）， 所以∠DEG=2∠DEF=60°. 所以∠EGC=180°－∠DEG=180°－60°=120°（两直线平行，同旁内角互补）. 【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质． 举一反三： 【变式】如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角． 为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ） A．60° B．30° C．45° D．90° 【答案】C 【提升练习】 一、选择题 1.同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（　　）个． A．1或3 B． 0、1或3 C． 0、1或2 D． 0、1、2或3 2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) . A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°. B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°. C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°. D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°. 3．已知：如图，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C的度数是( ) . A．135° B．115° C．65° D．35° 4．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）. 　　A．同位角 　　　B．同旁内角 　　　C．内错角 　　　D. 同位角或内错角 5.如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝（ ）． A．140° B. 130° C. 120° D. 110° 6. 如图，已知∠A=∠C，如果要判断AB∥CD，则需要补充的条件是（ ）． A．∠ABD=∠CEF B．∠CED=∠ADB C．∠CDB=∠CEF D．∠ABD+∠CED=180° (第5题) (第6题) (第7题) 7.如图，，则AEB=（ ）． A． B． C． D． 8. 把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB=32°，则下列结论不正确的有（ ）． A. B. ∠AEC=148° C. ∠BGE=64° D. ∠BFD=116° 二、填空题 9. 如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件： （1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE；（4）∠D+∠ABD=180°. 能判断AB∥CD的有 个. 10. 如图所示，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB等于________． 11. 如图所示，AB∥CD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是 ． 12．如图，一块梯形玻璃的下半部分打碎了，若∠A＝125°，∠D＝107°，则打碎部分的两个角的度数分别为 . 13.如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°，则∠E的度数 ． 14.如图，某个窗户上安装有两扇可以滑动的铝合金玻璃窗ABCD和A/B/C/D/，当玻璃窗户ABCD和A/B/C/D/重合时窗户是打开的；反之窗户是关闭的。若已知AB＝10，BC＝6，重叠部分四边形A/B/CD的面积是10，则该窗户关闭时两玻璃窗户展开的最大面积是 . 15．如图所示，直线AD、BE、CF相交于一点O，∠BOC的同位角有________，∠OED的同旁内角有________，∠ABO的内错角有________，由∠OED＝∠BOC得________∥________，由∠OED＝∠ABO得________∥________，由AB∥DE，CF∥DE可得AB________CF． 16. 如图，AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为 ． 三、解答题 17.如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE． 18. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c． 19. 如图所示，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大小． 20.河的两岸成平行线，A,B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短。确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G.在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D.在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．试说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D． 【解析】如图，三条直线的交点个数可能是0或1或2或3． 2. 【答案】A； 【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案. 3. 【答案】C； 【解析】∠CFA＝∠E＝65°，再由三角形的内角和为180°，可得答案. 4. 【答案】D； 【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是同旁内角. 5. 【答案】B； 【解析】过点C作CG∥AB，由题意可得：AB∥EF∥CG，故∠B=∠BCG，∠GCD=90°，则∠BCD=130°. 6. 【答案】B； 7. 【答案】B； 【解析】∠EAB＝75°－25°＝50°. 8. 【答案】B 二、填空题 9. 【答案】3； 【解析】（1）如果∠3=∠4，那么AC∥BD，故（1）错误； （2）∠1=∠2，那么AB∥CD；内错角相等，两直线平行，故（2）正确； （3）∠A=∠DCE，那么AB∥CD；同位角相等，两直线平行，故（3）正确； （4）∠D+∠ABD=180°，那么AB∥CD；同旁内角相等，两直线平行，故（4）正确； 故正确的有（2）（3）（4） 10.【答案】90°； 【解析】过点C作CD∥AE，由AE∥BF，知CD∥AE∥BF，则有∠ACD＝∠EAC＝ 50°，∠BCD＝∠CBF＝40°，从而有∠ACB＝∠ACD十∠BCD＝50°+40°＝90°． 11.【答案】垂直； 【解析】 解：EG⊥FG，理由如下： ∵ AB∥CD，∴ ∠BEN+∠MFD＝180°． ∵ EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线， ∴ ∠GEN+∠GFM＝(∠BEN+∠MFD)＝×180°＝90°． ∴ ∠EGF＝180°-∠GEN-∠GFM＝90°． ∴ EG⊥FG． 12．【答案】55°，73°； 【解析】如图，将原图补全，根据平行线的性质可得答案。 . 13.【答案】56°； 【解析】 解：过点F作FG∥EC，交AC于G， ∴ ∠ECF＝∠CFG， ∵ AB∥CD，∴ ∠BAE＝∠AFC． 又∵ ∠BAE＝3∠ECF，∠ECF＝28°， ∴ ∠BAE＝3×28°＝84°． ∴ ∠CFG＝28°，∠AFC＝84°． ∴ ∠AFG＝∠AFC-∠CFG＝56°． 又 FG∥EC，∴ ∠AFG＝∠E． ∴ ∠E＝56°． 14.【答案】110； 15.【答案】∠AFO、∠OED，∠EOD、∠EOC、∠OBC、∠EDO、∠EDC， ∠COB、∠DEB、∠DOB， OC、DE， DE、AB，∥； 【解析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的识别和平行线的判定和性质． 16.【答案】α+β-γ=180°； 【解析】通过做平行线或构造三角形得解． 三、解答题 17.【解析】 解：∵∠A=∠F（已知）， ∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）， ∵∠C=∠D（已知）， ∴∠D=∠CEF（等量代换）， ∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）． 18.【解析】 解：因为∠1＝50°，∠2＝130°(已知)， 所以∠1+∠2＝180°． 所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)． 所以∠3＝∠1＝50°(两直线平行，同位角相等)． 又因为∠4＝50°(已知)， 所以∠3＝∠4(等量代换)． 所以d∥e(同位角相等，两直线平行)． 因为∠5+∠6＝180°(平角定义)，∠6＝130°(已知)， 所以∠5＝50°(等式的性质)． 所以∠4＝∠5(等量代换)． 所以b∥c(内错角相等，两直线平行)． 因为a∥b，b∥c(已知)， 所以a∥c(平行于同一直线的两直线平行)． 19.【解析】 解：过E点作EF∥AB，则∠3＝180°-∠1＝70°． 因为EF∥AB，AB∥CD， 所以EF∥CD． 所以∠4＝180°-∠2＝55°． 所以∠x＝180°-∠3-∠4＝55°． 20.【解析】 解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知： . 而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短.