9.3 实际问题与一元一次不等式（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(28450626).doc

第九章 不等式与不等式（组） 9.3 实际问题与一元一次不等式（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、常见的一些等量关系 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 要点二、列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 要点诠释： (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B型车x辆 ”，而在答中应为“至少需要11辆 B型车 ”．这一点应十分注意． 【典型例题】 类型一、行程问题 例1．蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？ 【思路点拨】本题的数量关系是：7辆A型汽车装载货物的吨数+B型汽车装货物的吨数≥300吨，由此可得出不等式，求出自变量的取值范围，找出符合条件的值． 【答案与解析】 解：设需调用B型车x辆，由题意得： ， 解得： ， 又因为x取整数，所以x最小取11． 答：在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车11辆． 【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系． 举一反三： 【变式】某商场共用2200元同时购进A、B两种型号的背包各40个，且购进A型号背包2个比购进B型号背包1个多用20元． （1）求A、B两种型号背包的进货单价各为多少元？ （2）若该商场把A、B两种型号背包均按每个50元的价格进行零售，同时为了吸引消费者，商场拿出一部分背包按零售价的7折进行让利销售．商场在这批背包全部销售完后，若总获利不低于1350元，求商场用于让利销售的背包数量最多为多少个？ 【答案】 解：（1）设A型背包每个为x元，B型背包每个为y元，由题意得 ， 解得：． 答：A、B两种型号背包的进货单价各为25元、30元； （2）设商场用于让利销售的背包数量为a个， 由题意得，50×70a%+50（40×2﹣a）﹣2200≥1350， 解得：a≤30． 所以，商场用于让利销售的背包数数量最多为30个． 答：商场用于让利销售的背包数数量最多为30个． 类型二、阅读理解型 例2. 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位•千克） 600 100 原料价格（元•千克） 8 4 现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为xkg，则x应满足的不等式为（　　） A．600x+100（10-x）≥4200 B．8x+4（100-x）≤4200 C．600x+100（10-x）≤4200 D．8x+4（100-x）≥4200 【思路点拨】首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C”这一不等关系列不等式． 【答案】A 【解析】 解：若所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料（10-x）kg． 根据题意，得600x+100（10-x）≥4200． 【总结升华】能够读懂表格，会把文字语言转换为数学语言． 【变式】为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表： （1）小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为　 　元； （2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为 　立方米； （3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？ 【答案】解：（1）由表格中数据可得：0≤x≤15时，水价为：5元/立方米， 故小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：14×5=70（元）； （2）∵15×5=75＜110，75+6×7=117＞110， ∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米， 设小明家6月份使用水量为x立方米， ∴75+（x﹣15）×7=110， 解得：x=20， 故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：20﹣15=5（立方米）， 故答案为：5； （3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得： 117+（a﹣21）×9≤180， 解得：a≤28． 答：小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米． 类型三、方案选择型 例3.某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表： A B 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题： （1）用含x的式子填写下表： 车辆数（辆） 载客量 租金（元） A x 45x 400x B 5﹣x __________ ___________ （2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值； （3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【思路点拨】（1）根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，列出代数表达式即可； （2）根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决； （3）由（2）得出x的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可． 【答案与解析】 解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金， ∴B型客车载客量=30（5﹣x）；B型客车租金=280（5﹣x）； 故填：30（5﹣x）；280（5﹣x）． （2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4， ∴x的最大值为4； （3）由（2）可知，x≤4，故x可能取值为0、1、2、3、4， ①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5=1400元， 但载客量为45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去； ②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1520元， 但载客量为45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去； ③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3=1640元， 但载客量为45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去； ④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1760元， 但载客量为45×3+30×2=195=195，符合题意； ⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1=1880元， 但载客量为45×4+30×1=210，符合题意； 故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆． 【总结升华】此题主要考查了一次不等式的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与总租金关系是解决问题的关键． 举一反三： 【变式】黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元．公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆? 【答案】 解：设四座车租x辆，则十一座车租辆． 依题意 70×60+60x+(70-4x)×10≤5000， 将不等式左边化简后得：20x+4900≤5000， 不等式两边减去3500得 20x≤100， 不等式两边除以20得 x≤5， 又∵是整数，∴，． 答：公司租用四座车l辆，十一座车6辆． 例4.响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000元/台． （1）至少购进乙种电冰箱多少台？ （2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？ 【思路点拨】（1）关系式为：甲种电冰箱用款+乙种电冰箱用款+丙种电冰箱用款≤132000，根据此不等关系列不等式即可求解；（2）关系式为：甲种电冰箱的台数≤丙种电冰箱的台数，以及（1）中得到的关系式联合求解． 【答案与解析】 解：（1）设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱（80-3x）台， 根据题意得1200×2x+1600x+（80-3x）×2000≤132000 解这个不等式得x≥14 ∴至少购进乙种电冰箱14台； （2）根据题意得2x≤80-3x 解这个不等式得 x≤16 由（1）知 x≥14 ∴14≤x≤16 又∵x为正整数 ∴x=14，15，16． 所以，有三种购买方案 方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台. 方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台. 方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台． 【总结升华】探求不等关系时，要注意捕捉“大于”、“超过”、“不少于”、“不足”、“至多”等表示不等关系的关键词，通过这些词语，可以直接找到不等关系． 【巩固练习】 一、选择题 1．毛笔每支2元，钢笔每支5元，现有的购买费用不足20元，则购买毛笔和钢笔允许的情况是 ( ) A．5支毛笔，2支钢笔 B．4支毛笔，3支钢笔 C．0支毛笔，5支钢笔 D．7支毛笔，1支钢笔 2．小明用100元钱去购买三角板和圆规共30件，已知三角板每副2元，每个圆规5元，那么小明最多能买圆规 ( ) A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 3．某风景区招待所有一两层客房，底层比二层少5间，一旅行团共有48人，若全部安排住 底层，每间住4人，房间不够；而每间住5人，有的房间未住满；若全部安排住二层，每 间住3人，房间也不够；每间住4人，有的房间未住满．这家招待所的底层共有房间 ( ) A．9间 B．10间 C．11间 D．12间 4．一个两位数，某个位数字比十位数字大2，已知这个两位数不小于20，不大于40，那么这个两位数是多少？为了解决这个问题，我们可设个位数字为x，那么可列不等式（ ）． A．20≤10（x-2）+x≤40 B．20＜10（x-2）+x＜40 C．20≤x-2+x≤40 D．20≤10x+x-2≤40 5．张红家离学校1600米，一天早晨由于有事耽误，结果吃完饭时只差15分钟就上课，忙中出错，出门时又忘了带书包，结果回到家又取书包共用3分钟，只好坐小汽车去上学，小汽车的速度是36千米／时，小汽车行驶了1分30秒时又发生堵车，她等了半分钟后，路还没有畅通，于是下车又开始步行，问：张红步行速度至少是( )时，才不至于迟到． A．60米/分 B．70米/分 C．80米/分 D．90米/分 6．现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（　　） A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆 二、填空题 7．若，试用表示出不等式的解集 . 8．有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则至多只能安排_______人种甲种蔬菜． 9．某种肥皂零售价每块2元，对于购买两块以上(含两块)，商场推出两种优惠销售办法：第一种为一块按原价，其余按原价的七折优惠；第二种为全部按原价的八折优惠．在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少需要购买肥皂______块． 10．韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油．现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排A队的车，每车坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满．若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够；每辆车坐5人，有的车未坐满．A队有出租车__________辆． 11．发电厂派汽车去拉煤，已知大货车每辆装10吨，小货车每辆装5吨，煤场共有煤152吨，现派20辆汽车去拉，其中大货车x辆，要一次将煤拉回电厂，至少需派多少辆大货车?列式为_______________________________________________________． 12．一艘轮船上午6：00从长江上游的A地出发，匀速驶往下游的B地，于11：00到达B地，计划下午13：00从B地匀速返回，如果这段江水流速为3km/h，且轮船在静水中的往返速度不变，那么该船至少以　 　 km/h的速度返回，才能不晚于19：00到达A地． 三、解答题 13．在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球(每场得分均为整数)．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分． (1)用含x的代数式表示y； (2)小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少? (3)小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？ 14．某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示，经过预算，本次购买机器耗资不能超过34万元． 甲 乙 价格(万元/台) 7 5 每台日产量(个) 100 60 (1)按该公司要求可以有几种购买方案？ (2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？ 15．某单位计划10月份组织员工到杭州旅游，人数估计在10～25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量都较好，且组织到杭州旅游的价格都是每人200元，该单位联系时，甲旅行社表示可以给予每位旅客7.5折优惠；乙旅行社表示可免去一带队领导的旅游费用，其他游客8折优惠，问该单位怎样选择，可使其支付的旅游总费用较少？ 16．某村为解决村民出行难的问题，村委会决定将一条长为1200m的村级公路硬化，并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工．并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工，若甲、乙两队做需12天完成此项工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工． （1）问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天？ 答案与解析 一、选择题 1．【答案】D； 【解析】代入验证． 2．【答案】B； 【解析】设买圆规件，由题意得：≤100，得≤，且为正整数，所以最大取13． 3．【答案】B； 【解析】设底层有房间间，由题意得：得：，又为正整数，所以． 4．【答案】A； 5．【答案】B； 【解析】设张红步行速度x米／分才不至于迟到，由题意可列不等式引≥，化简得10x≥700，x≥70，故选B． 6．【答案】C； 【解析】解：设甲种运输车安排x辆，乙种运输车安排y辆， 根据题意得，解得：x≥6， 故至少甲要6辆车． 故选C． 二、填空题 7．【答案】； 【解析】因为，所以，原不等式可化为：，两边同除以（），得 8．【答案】4； 【解析】设安排人种甲种蔬菜，可得≥15.6，得≤4． 9．【答案】4； 【解析】解：设要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，需要购买肥皂x块，则： 2+0.7•2（x-1）＜0.8•2x， 得：x＞3．最少需要购买肥皂4块时，第一种办法比第二种办法得到的优惠多． 10．【答案】10； 11．【答案】10x ＋ 5 (20 –x ) ≥152； 12．【答案】33； 【解析】解：设船xkm/h的速度返回，根据题意得出： 6（x﹣3）≥5（x+3） 解得：x≥33， ∴该船至少以33km/h的速度返回，才能不晚于19：00到达A地． 故答案为：33． 三、解答题 13．【解析】 解：(1)因为前5场比赛的平均得分为x，则前5场比赛的得分之和为5x，故有 ． (2)依题意： y-x＞0， 则有：，解得：x＜17． 所以小方前5场比赛中总分的最大值应为：17×5-1＝84(分)． (3)由题意，小方在这10场比赛中得分至少为18×10+1＝181(分)． 设他在第10场比赛中的得分为S．则有 84+(22+15+12+19)+S≥181，解得S≥29． 答：小方在第10场比赛中的得分的最小值为29分． 14．【解析】 解：(1)设购买甲种机器x台，乙种机器（6-x）台． 由题意，得7x+5(6-x)≤34． 解不等式，得x≤2，故x可以取0，l，2三个值， 所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案： 方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台； 方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台； (2)按方案一购买机器，所耗资金为30万元，日生产量6×60＝360(个)；按方案二购买，所耗资金为1×7+5×5＝32（万元），日生产量为1×100+5×60＝400（个），按方案三购买，所耗资金为2×7+4×5＝34(万元)；日生产量为2×100+4×60＝440（个）．因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380（个），又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二． 15．【解析】 解：设该单位到杭州旅游的人数为x人，选择甲旅行社所需费用为元；选择乙旅行社所需费用为元，则 ， 200(x-l)×0.8=160x-160， ＝150x-160x+160＝160-10x． (1)若160-10x＞0，即x＜16时，； (2)若160-10x＝0，即x＝16时，； (3)若l60-10x＜0，即x＞16时，． ∴当旅游人数为16人时，选择甲、乙两旅行社中任何一家都行． 当旅游人数在10～15人之间时，选择乙旅行社， 当旅游人数在17～25人之间时，选择甲旅行社． 16．【解析】 解：（1）设甲单独做需要用x天，乙单独做需要y天，根据题意可得： ， 解得：． 答：甲单独做需要用20天，乙单独做需要30天； （2）甲的工效：1200÷20=60，乙的工效：1200÷30=40， ∵2×20=40＞35， ∴设乙需要做a天，由题意可得： 2×+a≤35， 解得：a≥15． 答：乙工程队至少要施工15天．