5.3 平行线及其判定（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(26870432).doc

第五章 相交线与平行线 5.3 平行线及其判定（能力提升） 【要点梳理】 要点一、平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 要点诠释： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 要点二、平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 要点诠释： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 要点三、直线平行的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 【典型例题】 类型一、平行线的定义及表示 例1．下列说法正确的是 ( ) A．不相交的两条线段是平行线. B．不相交的两条直线是平行线. C．不相交的两条射线是平行线. D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 【答案】D 【解析】平行线定义中三个关键词语：“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”. 【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断． 类型二、平行公理及推论 例2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】正确的是：（1）(3). 【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别． 举一反三： 【变式】下列命题中正确的有（　　） ①相等的角是对顶角； ②若a∥b，b∥c，则a∥c； ③同位角相等； 　　　 ④邻补角的平分线互相垂直． A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 【答案】C 类型三、两直线平行的判定 例3.下列图形中，由∠1=∠2，能推出AB∥CD的是（　　） 　A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示： ∵∠1=∠2（已知）， ∠2=∠3（对顶角相等） ∴∠1=∠3 ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选B 【总结升华】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 举一反三： 【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 【答案】A 提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图． 图B显然不同向，因为路线不平行． 图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向． 图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向． 只有图A路线平行且同向，故应选A． 例4. 如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由． 【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来． 【答案与解析】 解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°． ∵ ∠B＝25°，∠E＝10°(已知)， ∴ ∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)． ∴ AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)． 又∵ ∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)， ∴ ∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)． ∴ ∠DCM＝∠CDN(等量代换)． ∴ CM∥DN(内错角相等，两直线平行)． ∵ AB∥CM，EF∥DN(已证)， ∴ AB∥EF(平行线的传递性)． 解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点． ∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠NCB＝135°． ∵ ∠B＝25°， ∴ ∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)． 又∵ ∠CDE＝30°，∴ ∠EDM＝150°． 又∵ ∠E＝10°， ∴ ∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)． ∴ ∠CNB＝∠EMD(等量代换)． 所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)． 【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取． 举一反三： 【变式1】已知，如图，BE平分ÐABD，DE平分ÐCDB，且Ð1与Ð2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由． 【答案】 解：AB∥CD，理由如下： ∵ BE平分∠ABD，DE平分∠CDB， ∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2． 又∵ ∠1+∠2＝90°， ∴ ∠ABD+∠CDB＝180°． ∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)． 【变式2】已知，如图，AB^BD于B，CD^BD于D，Ð1+Ð2=180°，求证：CD//EF． 【答案】 证明：∵AB^BD于B，CD^BD于D， ∴AB∥CD． 又∵Ð1+Ð2=180°， ∴AB∥EF． ∴CD//EF． 【提升练习】 一、选择题 1.下列说法中正确的有( ) ①一条直线的平行线只有一条． ②过一点与已知直线平行的直线只有一条． ③因为a∥b，c∥d，所以a∥d． ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( ) A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 3．如图，能够判定DE∥BC的条件是 ( ) A．∠DCE+∠DEC＝180° B．∠EDC＝∠DCB C．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB，GF⊥AB 4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是 ( ) ． A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°． B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°． C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°． D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°． 5．如图，下列说法错误的是（　　） 　A．若a∥b，b∥c，则a∥c B． 若∠1=∠2，则a∥c 　C．若∠3=∠2，则b∥c D． 若∠3+∠5=180°，则a∥c 6.学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)—(4)）: 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ） ①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行． ④内错角相等，两直线平行． A.①② B. ②③ C. ③④ D. ④① 二、填空题 7. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________． 8. 如图所示，在不添加辅助线及字母的前提下，请写出一个能判定AD∥BC的条件：　 （一个即可）． 9．规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________． 10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是 11．直线同侧有三点A、B、C，如果A、B两点确定的直线 与B、C两点确定的直线都与平行，则A、B、C三点 ，其依据是 12. 如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有 ． 三、解答题 13.如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度?说明理由． 14．小敏有一块小画板(如图所示)，她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗? 15．如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥BD? 16. 如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1=∠2，求证：DC∥AB． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】只有④正确，其它均错． 2. 【答案】D 3. 【答案】B 【解析】内错角相等，两直线平行． 4. 【答案】B 5. 【答案】C. 【解析】A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确； B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确； C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误； D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确； 故选C． 6. 【答案】C 【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直． 二、填空题 7. 【答案】0或1或2或3个； 8. 【答案】∠B=∠EAD或∠C=∠DAC或∠B+∠BAD=180°． 【解析】由“内错角相等，两直线平行”可以添加条件∠C=∠DAC． 由“同位角相等，两直线平行”可以添加条件∠B=∠EAD． 由“同旁内角互补，两直线平行”可以添加条件∠B+∠BAD=180°． 综上所述，满足条件的有：∠B=∠EAD或∠C=∠DAC或∠B+∠BAD=180° 9. 【答案】a1∥a100； 【解析】为了方便，我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100，因为a1⊥a2∥a3，所以a1⊥a3，而a3⊥a4，所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8 ∥a9，a9∥a12 ∥a13，…，接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100，所以a1∥a100． 10.【答案】 40°或140° 11.【答案】共线，平行公理； 【解析】此题考查是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用． 12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ； 【解析】 理由：∵ AB⊥EF，CD⊥EF．∴ ∠AGE＝∠CHG＝90°．∴ AB∥CD． ∵ AB⊥EF．∴ ∠EGB＝∠2＝90°．∴ GP平分∠EGB． ∴ ∠1＝EGB＝45°． ∴ ∠PGH＝∠1+∠2＝135°． 同理∠GHQ＝135°，∴ ∠PGH＝∠GHQ． ∴ GP∥HQ． 三、解答题 13. 【解析】 解：∠4＝100°．理由如下： ∵ ∠1＝60°，∠2＝60°， ∴ ∠1＝∠2，∴ AB∥CD 又∵∠3＝∠4＝100°， ∴ CD∥EF，∴ AB∥EF． 14．【解析】 解：如图所示，用量角器在两个边缘之间画一条线段MN，用量角器测得∠1＝50°， ∠2＝50°，因为∠1＝∠2，所以由内错角相等，两直线平行，可知画板的上下边缘是平行的． 15. 【解析】 解：要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°， ∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°． ∴∠BAF＝∠B′AB＝×110°＝55°． 16.【解析】 证明：∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线 ∴∠2=∠ABC，∠3=∠ADC， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠2=∠3， 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AB∥DC.