8.4实际问题与二元一次方程（组）Ⅲ-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(27700979).doc

第八章 二元一次方程（组） 8.4 实际问题与二元一次方程（组）Ⅲ 【要点梳理】 知识点一、常见的一些等量关系（一） 1. 行程问题 速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 2．存贷款问题 利息=本金×利率×期数. 本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率×. 3.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 4．方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 要点诠释： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案． 要点二、实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思路 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【典型例题】 类型一、行程问题 例1. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出． (1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度； (2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇? 【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解． (1)“同时开出相向而行”可用下图表示． “同时开出同向而行”可用下图表示． (2)慢车先开出1小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来． 【答案与解析】 解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时． 根据题意，得， 解得 答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时． (2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时， 根据题意，得60(x+1)+100x＝480． 解得． 答：快车开出小时两车相遇． 【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词． 举一反三： 【变式】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？ 【答案】 解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m． 由题意得， 答：这两列火车的速度分别为45 km/h和 36 km/h． 类型二、存贷款问题 例2. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？ 【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075元. 【答案与解析】 解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得： 解得： 答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元． 【总结升华】利息＝贷款金额×利息率. 类型三、数字问题 例3.一个两位数的数字之和为11，若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大63，则原来两位数为（　　） A．92 B．38 C．47 D．29 【思路点拨】设这个两位数十位为x，个位为y，根据个位数字与十位数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，列方程组求解． 【答案】D． 【解析】解：设这个两位数十位为x，个位为y， 由题意得，， 解得：， 则这个两位数为：29． 故选：D． 【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字；三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字． 举一反三： 【变式】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（　　） A．16 B．25 C．52 D．61 【答案】A 解：设个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数是（10b+a）， 由题意，得， 解得． 所以这个两位数是：10×1+6=16． 类型四、方案选择问题 例4.某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求： ①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？ ②若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？ 【思路点拨】①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根据3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶即可列出二元一次方程组求出即可； ②利用①中所求分别求出平均每瓶的价格进而得出答案． 【答案与解析】 解：①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶， 根据题意可知3大箱、2小箱共92瓶， 可列式为3x+2y=92， 又知5大箱、3小箱共150瓶， 故可列式为5x+3y=150， 即列方程组为， 解得：， 故2大箱有24×2=48（瓶）、5小箱有饮料：10×5=50（瓶）， 答：2大箱有48瓶、5小箱有饮料50瓶； ②∵一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元， ∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元）， 小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元）， 所以买大箱合算． 【总结升华】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是要读懂题意，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 举一反三： 【变式】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐. （1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由. 【答案】解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得： 解得： 答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐. ∴能供全校的5300名学生就餐. 【巩固练习】 一、选择题 1.甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是（　　） A．24km/h，8km/h B．22.5km/h，2.5km/h C．18km/h，24km/h D．12.5km/h，1.5km/h 2.一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（　　） A．86 B．68 C．97 D．73 3.甲、乙二人按2：5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项开支外，所得利润按投资比例分成．若第一年赢利14000元，那么甲、乙二人分别应分得（ ）． A．2000元，5000元 B．5000元，2000元 C．4000元，10000元 D．10000元，4000元 4．今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（ ）． A． B． C． D． 5. 爸爸将3000元工资的40%存到银行，整存整取二年，年利率2.79%，到期后，他可能取出本金和利息共（　　）元． A．3000×40%×2.79% B．3000×40%×2.79%×2 C．3000×40%×2.79%×2+3000 D．3000×40%×2.79%×2+3000×40% 6. 为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米．则方程组正确的是（ ） 　A.　　　B.　 C.　 　D. 二、填空题 7.甲、乙两人速度之比是2：3，则他们在相同时间内走过的路程之比是 2：3 ，他们在走相同路程所需时间之比是 3：2． 8.小张以两种形式储蓄了500元，第一种储蓄的年利率为3.7%，第二种储蓄的年利率为2.25%，一年后得到利息和为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是 元和 元． 9.一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是　　． 10.A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，那么这艘船在静水中的速度和水流速度分别为　 　千米/时，　 　千米/时． 11. 小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你珠子的给我，我就有10颗”，那么小刚的弹珠颗数是 颗． 12. 学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了”．那么老师现在的年龄是 岁． 三、解答题 13．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数． 14.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？ 15. 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元． (1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元? (2)某假期该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购满100元返购物券30元(销售不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说出他可以选择在哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱? 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B． 【解析】设这艘轮船在静水中的船速为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得，， 解得：． 2. 【答案】D； 【解析】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y． 则， 解得． 故选D． 3. 【答案】C； 【解析】 解：设甲、乙可获得利润分别是2x元、5x元， 2x+5x=14000， 解得x=2000． 即甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元． 4. 【答案】C； 5. 【答案】D； 【解析】先求出存款额（即本金），再根据求利息的计算公式，利息=本金×年利率×时间，求出利息加上本金即可． 6. 【答案】A； 【解析】根据题意可得等量关系：①自行车路段的长度为x米+长跑路段的长度y米=5000米；②骑自行车所用时间+跑步所用时间=15分钟，根据等量关系可得方程组. 二、填空题 7. 【答案】2：3，3：2； 【解析】根据路程=速度×时间，得当时间一定时，则路程之比等于速度之比；当路程一定时，时间之比和速度之比成反比． 8. 【答案】300，200； 【解析】可以设第一种储蓄的钱数为x元，第二种为y元，根据本金×利率=利息及两种储蓄共500元，可以列出两个方程，求方程组的解即可． 9.【答案】52． 【解析】设个位数上的数字为x，十位数上的数字为y 则x+y=7① 10y+x﹣27=10x+y② 联立①②解得x=2，y=5． 10．【答案】17，3； 【解析】解：设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时， 依题意得，∴， 答：这艘船在静水中的速度和水流速度分别为17千米/小时，3千米/小时． 11.【答案】88； 12.【答案】25； 【解析】本题中明显的等量关系有两个：学生现在的年龄-年龄差=1；老师现在的年龄+年龄差=37，据此可以设学生和老师现在的年龄分别为x岁、y岁，再列方程组求解． 三、解答题 13.【解析】 解：设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为10y+x，根据题意得： 解得 答：原来的两位数为26． 14.【解析】 解：设平路有xm，下坡路有ym， 根据题意得， 解得：， 答：小华家到学校的平路和下坡路各为300m，400m． 15.【解析】 解： (1)设书包的单价为x元，随身听的单价为y元，根据题意，得： ， 解得． (2)在超市A购买随身听与书包需花费现金：452×80％＝361.6(元)．因为361.6＜400，所以可以选择在超市A购买． 在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元的购物券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360+2＝362(元)．因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买． 因为361.6＜362，所以在超市A购买更省钱．