9.5 《不等式与不等式组》章末复习（基础巩固）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(28450644).doc

第九章 不等式与不等式（组） 9.5 《不等式与不等式组》章末复习（基础巩固） 【要点梳理】 知识点一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点二、一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点诠释： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 【典型例题】 类型一、不等式 例1. 用适当的符号语言表达下列关系。 （1）a与5的和是正数. （2）b与-5的差不是正数. （3）x的2倍大于x. （4）2x与1的和小于零. （5）a的2倍与4的差不少于5. 【答案与解析】 解：（1）a+5>0；（2）b-（-5）≤0； （3）2x>x； （4）2x+1<0；（5）2a-4≥5. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于…… 举一反三： 【变式】用适当的符号语言表达下列关系： （1）y的与3的差是负数. （2）x的与3的差大于2. （3）b的与c的和不大于9. 【答案】（1）； （2）；（3）。 例2.用适当的符号填空： （1）如果a<b，那么a-3__b-3； 7a__7b；-2a__-2b. （2）如果a<b，那么a-b__0；a+5b__6b；. 【思路点拨】不等式的基本性质1,2,3． 【答案】（1）＜； ＜；＞． （2）＜；＜；＜． 【解析】 （1）在不等式a<b两边同减去3，得a-3＜b-3； 在不等式a<b两边同乘以7，得7a＜7b； 在不等式a<b两边同乘以﹣2，得-2a＞-2b． （2）在不等式a<b两边同减去b，合并得a-b＜0； 在a<b两边同加上5b，合并得a+5b＜6b； 在a<b两边同减去，合并得． 【总结升华】刚开始在面对不等式的基本变形时，要不断强化在变形上所运用的具体性质，同时也要逐步积累一些运用性质变形后的化简结果，这样学习到的不等式的基本性质才能落在实处． 举一反三： 【变式1】用适当的符号填空： （1）7a+6__7a-6；（2）若ac＞bc，且c＜0，则a b． 【答案】（1）>；（2）＜． 【变式2】判断 （1）如果，那么； （2）如果，那么. 【答案】（1）×；（2）√． 类型二、一元一次不等式    例3. 解不等式 【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号． 【答案与解析】 解：去分母，得8x+3(x+1)＞8-4(x-5)， 去括号，得8x+3x+3＞8-4x+20， 移项，得8x+3x+4x＞8+20-3， 合并同类项，得15x＞25， 系数化为1．得． ∴不等式的解集为． 【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表： ax＝b ax＞b ax＜b 解：当a≠0时，； 当a＝0，b≠0时，无解； 当a＝0，b＝0时，x为任意有理数． 解：当a＞0时，； 当a＜0时，； 当a＝0，b≥0时，无解； 当a＝0，b＜0时，x为任意有理数． 解：当a＞0时，； 当a＜０时，； 当a＝0，b≤0时，无解； 当a＝0，b＞0时，x为任意有理数． 举一反三： 【变式】解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：去分母得5x-1-3x＞3， 移项、合并同类项，得2x＞4， 系数化为1，得x＞2， 解集在数轴上的表示如图所示． 例4.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0＜x≤200 a 200＜x≤400 b x＞400 0.92 （1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值． （2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？ 【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案； （2）根据题意列不等式，解不等式． 【答案与解析】 解：（1）根据题意得：， 解得：． （2）设李叔家六月份最多可用电x度， 根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300， 解得：x≤450． 答：李叔家六月份最多可用电450度． 类型三、一元一次不等式组 例5. 解不等式组： ，并求出正整数解。 【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分。 【答案与解析】 解：由不等式①得≤2， 由不等式②得， ∴由①②得，即 ∴原不等式组的解集是，正整数解为1,2． 【总结升华】求不等式(组)的特殊解的一般步骤是先求出不等式(组)的解集，再从中找出符合要求的特殊解． 举一反三： 【变式】解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解： ∵解不等式①得：x＞﹣3， 解不等式②得：x≤2， ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2， 在数轴上表示不等式组的解集为：． 类型四、综合应用 例6.若关于x,y的方程组的解满足，求k的整数值. 【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用k表示x、y），然后解不等式组. 【答案与解析】 解：解方程组 ∵， 解得：, ∴整数k的值为0，1，2. 【总结升华】方程组的未知数是x、y，k在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用k表示x、y.方程组的解满足不等式，那么可以将x、y用含k的式子替换，得到关于k的不等式组，可以求出k的取值范围，进而可以求出k的整数值. 举一反三： 【变式】m为何值时，关于x的方程： 的解大于1？ 【答案】 解：由，得， ∴，解得． ∴当时，关于x的方程： 的解大于1. 例7.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位． （1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数； （2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金． 【思路点拨】（1）设单独租用35座客车需x辆．根据单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满和单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，从而列方程求解；（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4-y）辆．根据不等关系：①两种车坐的总人数不小于175人；②租车资金不超过1500元．列不等式组分析求解． 【答案与解析】 解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得： , 解得：. ∴（人）. 答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人． （2）设租35座客车y辆，则租55座客车（）辆，由题意得： ， 解这个不等式组，得． ∵取正整数，∴= 2. ∴4－ = 4－2 = 2（辆）. ∴320×2＋400×2 = 1440（元）. 所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． 【巩固练习】 一、选择题 1. 已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（ ）． A. ab>b2 B. a+c>b+c C. < D. ac>bc 2. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m (g)的取值范围，在数轴上可表示为（ ）． A A 0 1 2 B 0 1 2 A 1 D 2 2 1 C 0 0 3.下列不等式变形正确的是（　　） A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2 4. 如果关于x的不等式 (a+1)x>a+1的解集为x<1，那么a的取值范围是( ) ． A. a>0 B. a<0 C. a>-1 D. a<-1 5. 5不等式组的正整数解的个数是（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6. 以下各式中，一元一次不等式个数为（ ）． ①；②；③；④；⑤ A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 7.不等式9－x＞x＋的正整数解的个数是（ ）． 　　A．1 　　　B．2 　　　C．3 　　　D．无数个 8.三个连续自然数的和小于11，这样的自然数组共有（ ）组． 　　A．1 　　　B．2 　　　C．3 　　　D．4 二、填空题 9. 当x_____时,代数式－3x+5的值不大于4． 10.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是_____. 11．不等式组的整数解是_______.　　　　　　 12．已知，是正数，则的取值范围 . 13．不等式组 的解集为　 　． 14．关于x的方程2x+3k=1的解是负数,则k的取值范围是_______. 15．若不等式（ｍ－２）x＞2的解集是x＜,则ｍ的取值范围是_______. 16．小明借到一本有72页的图书,要在10天之内读完,开始2天每天只读5页,那么以后 几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天至少要读x页,所列不等式为___________. 三、解答题 17．我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题. 抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分. 小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？ 18. 在数学学习中，及时对知识进行归纳、类比和整理是提高学习效率的有效策略，善于学习的小明在学习解一元一次不等式中，发现它与解一元一次方程有许多相似之处．小明列出了一张对照表： 从表中可以清楚地看出，解一元一次不等式与解一元一次方程有一定的联系，利用这种联系解决下列问题： （1）若不等式kx＞b的解集是x＜1，求方程kx=b的解； （2）若方程kx=b的解是x=-1，求不等式kx＞b的解集． 19.解下列不等式（组），并把不等式的解集表示在数轴上． （1） （2） 20．某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元． （1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 答案与解析 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】不等式的基本性质． 2. 【答案】A； 3. 【答案】C； 4. 【答案】D； 【解析】不等号的方向改变，说明a+1＜0，即a＜﹣1． 5. 【答案】B； 【解析】解得原不等式的解集为0≤x＜3,其中正整数有1、2，共2个． 6. 【答案】B； 【解析】是一元一次不等式的是①和⑤． ７.【答案】B； 【解析】解不等式得，则正整数解为1，2． ８.【答案】C； 【解析】，解得n=0、1、2，共３组 ． 二．填空题 9. 【答案】； 【解析】－3x+54，解得． 10. 【答案】1、2； 【解析】由图可得，所以正整数有1、2． 11. 【答案】－1，0； 【解析】不等式组的解集为，整数解为-1，0． 12. 【答案】； 【解析】由，解得3，化简得． 13. 【答案】﹣1≤x＜2． 14. 【答案】； 【解析】解方程得，则． 15. 【答案】ｍ＜２； 【解析】由不等式的基本性质3得，ｍ－２＜0. 16. 【答案】（或：等） 【解析】答案不唯一 三.解答题 17.【解析】 解：设小军答对道题，依题意得：3x－（20 －x）， 解得：. ∵x为正整数，∴x的最小正整数为18. 答：小军至少要答对18道题. 18.【解析】 解：（1）. （2）当时， 当 19. 【解析】 解：（1） ∴ 将解集表示在数轴上，如下图： （2） ∴ 将解集表示在数轴上，如下图： 20.【解析】 解：（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得： ， 解得：； 答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元； （2）设购进A型计算器a台，则购进B台计算器：（70﹣a）台， 则30a+40（70﹣a）≤2500， 解得：a≥30， 答：最少需要购进A型号的计算器30台．