6.1 平方根（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(26870499).doc

第六章 实数 6.1 平方根（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 例1、已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根． 【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案． 【答案与解析】 解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8； 故a=5，b=2； 又∵2＜＜3， ∴c=2， ∴a+b+c=5+2+2=9， ∴9的平方根为±3． 【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用． 举一反三： 【变式】已知2－1与－＋2是的两个不同的平方根，求的值. 【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2互为相反数. 解：当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1， 所以＝ 例2、为何值时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案与解析】 解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义． (2)由题意可知：，所以时，有意义． (3)由题意可知：解得：．所以时有意义． (4)由题意可知：，解得且． 所以当且时，有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三： 【变式】已知，求的算术平方根． 【答案】 解：根据题意，得则，所以＝2，∴， ∴的算术平方根为． 类型二、平方根的运算 例3、求下列各式的值． (1)；(2)． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序. 【答案与解析】 解：(1)； (2)． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解． 类型三、利用平方根解方程 例4、求下列各式中的. （1） （2）； （3） 【答案与解析】 解：（1）∵ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴＋1＝±17 ＝16或＝－18. （3）∵ ∴ ∴ ∴ 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度. 举一反三： 【变式】求下列等式中的： （1）若，则＝______； （2），则＝______； （3）若则＝______； （4）若，则＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用 例5、已知、是实数，且，解关于的方程． 【答案与解析】 解：∵、是实数，，，， ∴，． ∴－3，． 把－3，代入，得－＋2＝－4，∴＝6． 【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可． 举一反三： 【变式】若，求的值． 【答案】 解：由，得，，即，． ①当＝1，＝－1时，． ②当＝－1，＝－1时，． 例6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【答案与解析】 解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得 . . . ∵ ＞0， ∴ . ∴ 长方形纸片的长为. ∵ 50＞49, ∴. ∴ , 即长方形纸片的长大于20. 由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20, ∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长. 答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片. 举一反三： 【变式】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？ 【答案】 解：设篮球场的宽为xm，那么长为m， 由题意知， 所以x2=225， 因为x为正数， 所以x==15， 又因为=900＜1000， 所以按规定在这块空地上建一个篮球场． 【提升练习】 一.选择题 1．下列说法中正确的有（ ）． ①只有正数才有平方根． ②是4的平方根． ③的平方根是． ④的算术平方根是． ⑤的平方根是．⑥ ． A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 2．若＝－4，则估计的值所在的范围是（ ） A．1＜＜2 B. 2＜＜3 C. 3＜＜4 D. 4＜＜5 3. 试题下列说法中正确的是（　　） A.4是8的算术平方根 B.16的平方根是4 C.是6的平方根 D.－没有平方根 4. 能使－3的平方根有意义的值是（　 　） A. ＞0 B. ＞3 C. ≥0 D. ≥3 5.若=a，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0或1 D．±1 6. 若，为实数，且|＋1|＋＝0，则的值是（　　） A.0 B.1 C.－1 D.－2011 二.填空题 7. 若，则＝__________. 8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3和5的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 ________. 9. 下列各数：81，，1.44，，的平方根分别是_______________；算术平方根分别是_______________. 10．（1）的平方根是________； （2）的平方根是________，算术平方根是________； （3）的平方根是________，算术平方根是________； （4）的平方根是________，算术平方根是________． 11．已知，求a﹣b=　 　． 12. 若，则____________. 三.解答题 13．为何值时，下列各式有意义？ （2） （3） （4） 14.已知：|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，求x+y+z值的平方根． 15.如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简 【答案与解析】 一．选择题 1. 【答案】A； 【解析】只有②是正确的. 2. 【答案】B； 【解析】，所以2＜－4＜3 . 3. 【答案】C； 【解析】A.∵4是16的算术平方根，故选项A错误；B.∵16的平方根是±4，故选项B错误；C.∵是6的一个平方根，故选项C正确；D.当≤0时，－也有平方根，故选项D错误． 4. 【答案】D； 【解析】要使－3的平方根有意义，∴－3≥0，即≥3． 5. 【答案】C； 【解析】解：∵=a， ∴a≥0． 当a=0时，=a； 当0＜a＜1时，＞a； 当a=1时，=a； 当a＞时，＜a； 综上可知，若=a，则a的值为0或1． 故选C． 6. 【答案】C； 【解析】＋1＝0，－1＝0，解得＝－1；＝1．＝－1. 二.填空题 7. 【答案】1.02； 【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位. 8. 【答案】 ； 【解析】这个正方形的边长为. 9. 【答案】±9；±；±1.2；±；±3；9；；1.2；；3. 10.【答案】（1）±5；（2）±5；5；(3）±，||；（4）±（＋2）,| ＋2|； 【解析】. 11.【答案】－8； 【解析】解：根据题意得，a+3=0，b﹣5=0， 解得a=﹣3，b=5， 所以，a﹣b=﹣3﹣5=﹣8． 故答案为：﹣8． 12.【答案】； 【解析】，＝. 三.解答题 13.【解析】 解：（1）2≥0，解得≥0； （2）－≥0，解得≤0； （3）解得为一切实数； （4）－1≥0，解得≥1. 14.【解析】 解：∵|x﹣1|+（y﹣2）2+=0， ∴， 解得x=1，y=2，z=3， ∴x+y+z=1+2+3=6， ∴x+y+z的平方根为． 15.【解析】根据 ∵ ∴原式＝－＋－(－)－(＋) ＝－＋－＋－－＝－－.