专题03 运算方法之因式分解综合压轴题专练（原卷版）（人教版）.docx

专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC的周长为__． 2．多项式的最小值为________． 3．若实数a，b满足，则代数式的值为_______________． 4．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：____________． （2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且，则“跟斗数”b=____________． （3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则____________． 5．如图是 A 型卡片（边长a的正方形）、B 型卡片（长为 a、宽为 b的长方形）、C 型卡片（边长为 b的正方形）．现有 4张 A卡片，11张 B卡片，7张 C卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是__________．（只填序号） ①可拼成边长为的正方形； ②可拼成边长为的正方形； ③可拼成长、宽分别为、的长方形； ④用所有卡片可拼成一个大长方形． 二、解答题 6．代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如：现有正方形卡片A类、B类和长方形C类卡片若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，可以先计算，所以需要A、B、C类卡片2张、2张、5张，如图2所示 （1）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要A、B、C类卡片各多少张？并画出示意图． （2）由图3可得等式：____________； （3）利用（2）中所得结论，解决下面问题，已知，，的值； （4）小明利用2张A类卡片、3张B类卡片和5张长方形C类卡片去拼成一个更大的长方形，那么该长方形的较长的一边长为________（用含a、b的代数式表示） 7．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b．定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”． （1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3； （2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”． 8．若一个四位自然数满足个位数字与百位数字相同，十位数字与千位数字相同，我们称这个四位自然数为“双子数”．将“双子数”的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数，记为“双子数”的“双11数”． 例，，，则 （1）计算3636的“双11数”__________． （2）已知两个“双子数”、，其中，（其中，，，且、、、都为整数），若的“双11数”能被17整除，且、的“双11数”满足，令，求的值． 9．对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数，将交换后的数与原数求和后再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F（n）＝，如n＝5678，对调数字后得＝7856，所以F（n）＝＝134． （1）直接写出F（2021）＝　 　； （2）求证：对于任意一个四位数n，F（n）均为整数； （3）若s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），当3F（t）－F（s）的值能被8整除时，求满足条件的s的所有值． 10．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式； （2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果； （3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？ 11．材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除； 材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数，百位和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”．将这个“双倍数”的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数”，记． 例如，，所以2461不是“双倍数”：，，所以2685是“双倍数”， ， （1）判断2997，6483是否为“双倍数”，并说明理由； （2）若，均为“双倍数”，的千位数字是5，个位数字大于2，的百位数字是7，且能被9整除，是完全平方数，求的最大值． 12．对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数”的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”，记，． 例如：，． ，． （1）计算__________；__________． （2）对“夹心数”，令，当时，求的值． （3）若“夹心数”满足与均为完全平方数，求的值． 13．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“特异数”，将的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数的和与的商记为．例如，是“特异数”，不断将的百位数字调到个位可得，，． （1）求，； （2）已知，（，，为整数），若、均为“特异数”，且可被整除，求的最大值． 14．阅读理解： 在教材中，我们有学习到，又因为任何实数的平方都是非负数，所以，即．例如，比较整式和的大小关系，因为，所以请类比以上的解题过程，解决下列问题： （初步尝试）比较大小：______；_____ （知识应用）比较整式和的大小关系，并请说明理由． （拓展提升）比较整式和的大小关系，并请说明理由． 15．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题． 例如：分解因式 求代数式的最小值，． 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：__________． （2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． （3）若，求出a，b的值． 16．下面是某同学对多项式因式分解的过程． 解：设， 则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 解答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ） A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 17．定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”； 再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　 　； （2）判断53 　 　（请填写“是”或“否”）为“完美数”； （3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； （4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”． 18．一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足m＝a2+b2，我们就称该整数为“空谷”数．例如：对于整数282．∵22+22＝8，∴282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，∵122+12＝145∴121451也是一个“空谷”数．满足m＝2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，∵2×4×1＝8，∴481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一个“幽兰”数． （1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为　 　；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为 　 　； （2）若是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数，求a2﹣b2的值． （3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数．请写出所有的四位“空谷幽兰”数． 19．材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时．例如：，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，． 材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南麓数”． 根据材料回答： （1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解； （2）试说明10不是雪松数； （3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t． 20．若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，∵，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，，∴2353不是“交替数”． （1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________． （2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由； （3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”． 21．很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题．初中数学里也有这种“转化”的思考方法．例如：先阅读下列多项式的因式分解： 按照这种方法分别把多项式分解因式： （1）； （2）．