6.3 实数（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(26870506).doc

第六章 实数 6.3 实数（能力提升） 【要点梳理】 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】 类型一、实数概念 例1、把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1） … 有理数集合 … 无理数集合 【答案与解析】 有理数有：， ，，，0， 无理数有：，，， ，，， 0.3737737773…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，. 举一反三： 【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由. 　　(1)无理数都是开方开不尽的数.(　　) 　　(2)无理数都是无限小数.(　　) 　　(3)无限小数都是无理数.(　　) 　　(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.(　　) 　　(5)不带根号的数都是有理数.(　　) 　　(6)带根号的数都是无理数.(　　) 　　(7)有理数都是有限小数.(　　) 　　(8)实数包括有限小数和无限小数.(　　) 【答案】 (1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数. (2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数. (3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数. (4)(×)0是有理数. (5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数. (6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数. (7)(×)有理数还包括无限循环小数. (8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示. 类型二、实数大小的比较 例2、比较与的大小． 【思路点拨】根据，，则来比较两个实数的大小． 【答案与解析】 解：因为，． 所以＜ 【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等. 举一反三： 【变式】若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是　 　． 【答案】7． 解：∵， ∴， ∵x＜+1＜y， ∴x=3，y=4， ∴x+y=3+4=7． 类型三、实数的运算 例3、求的值． 【答案与解析】 解：（1）当≥0时，，， 所以． （2）当＜0时，，， 所以． 即值为0或2． 【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号． 举一反三： 【变式】若的两个平方根是方程的一组解． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】 解：（1）∵ 的平方根是的一组解，则设的平方根为，， 则根据题意得：解得 ∴ 为． （2）∵ ． ∴ 的算术平方根为4． 类型四、实数的综合运用 例4、已知，且，求的值． 【答案与解析】 解：∵ ，且，． ∴ ，即，． 解得 ＝3，＝5，得＝64． ∴ ． 【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求． 举一反三： 【变式】已知，求的值． 【答案】 解：知条件得， 由②得，，∵ ，∴ ，则． 把代入①得，＝1． ∴ ． 例5、如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr） （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是　 　； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下： +2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2 ①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？ 【思路点拨】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离； （2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化； ②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可． 【答案与解析】 解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是﹣2π； 故答案为：﹣2π； （2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远； ②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17， Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π； （+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1， 1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π． 【总结升华】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键． 【提升练习】 一.选择题 1．下列说法正确的是（　　） A．|﹣2|=﹣2 B．0的倒数是0 C．4的平方根是2 D．﹣3的相反数是3 2. 三个数，－3，的大小顺序是（ ）． A． B． C． D． 3. 要使，的取值范围是（ ）． A．≤3 B．≥3 C．0≤≤3 D．一切实数 4. 估算的值在（ ）． A．7和8之间 B．6和7之间 C．3和4之间 D．2和3之间 5. 若，、互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（ ） A. B.与 C.与 D.与 6. 实数、、在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ） A．＞0 B．＜0 C． D． 二.填空题 7．，3.33……，， ，，，， ，中，无理数的个数是 个. 8. ＜0时，化简＝________. 9. 计算：＝__________． 10. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为　 　． 11. 若，求的值. 12. 当 时,有最大值,最大值是 ________. 三.解答题 13．（1）求出下列各数：①2的平方根； ②﹣27的立方根； ③的算术平方根． （2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上． （3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 14.已知实数、、满足，求的值； 15. 已知是的算术平方根，是的立方根，求B－A的平方根． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】D 【解析】A、|﹣2|=2，错误；B、0没有倒数，错误；C、4的平方根为±2，错误； D、﹣3的相反数为3，正确. 2. 【答案】B； 【解析】． 3. 【答案】D； 【解析】本题主要考查立方根的性质，即．因为，所以可取一切实数． 4. 【答案】D； 【解析】，，所以选D. 5. 【答案】C； 【解析】＋＝0，＝－，所以 ，所以 ＋＝0. 6. 【答案】B； 【解析】从数轴上可以看出－3＜＜－2，－2＜＜－1，0＜＜1，所以很明显 ＜0. 二.填空题 7. 【答案】4； 【解析】， ，，为无理数. 8. 【答案】0； 【解析】∵ ，∴ ． 9. 【答案】； 【解析】． 10.【答案】﹣﹣2． 【解析】如图，∵数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和， ∴AB=﹣（﹣1）=+1，∵点B关于点A的对称点为C，∴AC=+1， ∴点C所表示的数为﹣（+1）﹣1=﹣﹣2． 11.【答案】1； 【解析】 ∴，∴. 12.【答案】±2；3； 【解析】当时，有最大值3. 三.解答题 13.【解析】 解：（1）2的平方根是，﹣27的立方根是﹣3，的算术平方根2； （2）如图： （3）﹣3＜﹣＜＜2． 14.【解析】 解：∵ ，，． 由题意，得方程组 ， 解得． ∴＝. 15.【解析】 解：∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， 解得 ∴A＝1，B＝2，B－A＝1 ∴B－A的平方根＝±1．