9.1 不等式及其性质（基础巩固）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(28450608).doc

第九章 不等式与不等式（组） 9.1 不等式及其性质（基础巩固） 【要点梳理】 知识点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 要点二、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 要点三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点诠释： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】 类型一、不等式的概念 例1．用不等式表示： (1)x与-3的和是负数； (2)x与5的和的28％不大于-6； (3)m除以4的商加上3至多为5． 【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式． 【答案与解析】 解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x是非负数，则x≥0；若x是非正数，则x≤0；若x大于y，则有x-y＞0；若x小于y，则有x-y＜0等． 举一反三： 【变式】下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x=3；④x+y中，是不等式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 类型二、不等式的解及解集 例2.对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 【思路点拨】根据不等式解的定义作答． 【答案】D 【解析】 解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8， 当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8， 当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8， 当x＝2时，4x+7(x-2)＝8． 故知x＝2不是原不等式的解． 【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的． 例3.不等式x＞1在数轴上表示正确的是 ( ) 【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可． 【答案】C 【解析】 解：∵不等式x＞1 ∴在数轴上表示为: 故选C． 【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集． 举一反三： 【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )． A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4 【答案】B 类型三、不等式的性质 例4. 若x＞y，则下列式子中错误的是（　　） A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞ 【思路点拨】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案． 【答案】C． 【解析】 解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确； C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误； D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确； 故选：C． 【总结升华】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 举一反三： 【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？ 【答案】 解：如图，设为任意一个三角形的三条边，则： 移项可得： 即：三角形两边的差小于第三边． 【巩固练习】 一、选择题 1．下列式子：①5＜7；②2x＞3；③y≠0；④x≥5；⑤2a+l；⑥；⑦x＝1．其中是不等式的有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列不等式表示正确的是 ( ) A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5 C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m-4＜0 3．下列说法中，正确的是 ( ) A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解 C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集 4.下列说法不一定成立的是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 5．把不等式x+2＞4的解集表示在数轴上，正确的是( ) 6．下列变形中，错误的是（ ） A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若，则 C．若，则x＞-5 D．若，则 二、填空题 7．用“＞”或“＜”填空： (1)-10.8________10.4； (2)________； (3)________ (4)0________； (5)(-2)3________ (6)________； (7) ________0.66； (8)-1.11________ 8．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系： (1)a的绝对值与它本身的差是非负数________； (2)x与-5的差不大于2________； (3)a与3的差大于a与a的积________； (4)x与2的平方差是—个负数________． 9．如果a＜b．那么3﹣2a　　3﹣2b．（用不等号连接） 10．假设a＞b，请用“＞”或“＜”填空 (1)a-1________b-1； (2)2a______2b； (3)_______； (4)a+l________b+1． 11．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2)_______ (3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c| 12.若a＞0，则关于x的不等式ax＞b的解集是________； 若a＜0，则关于x的不等式以ax＞b的解集是_______． 三、解答题 13．已知x与1的和不大于5，完成下列各题． (1)列出不等式；(2)写出它的解集；(3)将它的解集在数轴上表示出来. 14. 用等号或不等号填空： （1）比较2x与x2+1的大小： 当x=2时，2x　　 x2+1 当x=1时，2x　　 x2+1 当x=﹣1时，2x　　 x2+1 （2）任选取几个x的值，计算并比较2x与x2+1的大小； 15．已知x＜y，比较下列各对数的大小． (1)8x-3和8y-3； (2)和； (3) x-2和y-1． 答案与解析 一、选择题 1. 【答案】C； 【解析】①②③④⑥均为不等式。 2. 【答案】D； 【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误； x不大于5应表示为x≤5，故B错误； x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。 3. 【答案】A ； 4.【答案】C． 【解析】A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故本选项错误； B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误； C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故本选项正确； D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误． 5. 【答案】B； 【解析】根据不等式的性质，在不等式的两边都加上-2，得x+2-2＞4-2，所以x＞2．在数轴上表示不等式的解集，应从表示2的点向右画，并且不包含2的点，即表示2的点画空心圆圈，故选B． 6. 【答案】B； 【解析】B错误，应改为：，两边同除以，可得：。 二、填空题 7. 【答案】 (1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞ (5)＜ (6)＜ (7)＜ (8)＞； 【解析】根据大小进行判断． 8.【答案】 (1)|a|-a≥0 (2)x-(-5)≤2 (3) (4)； 9.【答案】＞． 【解析】∵a＜b，两边同乘﹣2得：﹣2a＞﹣2b，不等式两边同加3得：3﹣2a＞3﹣2b. 10．【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞； 11.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜； 【解析】利用不等式的性质进行判断。 12.【答案】，； 【解析】不等式两边同除以一个正数，不等号不变；不等式两边同除以一个负数，不等号改变方向. 三、解答题 13.【解析】 解： (1)x+1≤5． (2)不等式x+1≤5的解集是x≤4． (3)把x≤4表示在数轴上如图所示 14.【解析】 解：（1）比较2x与x2+1的大小： 当x=2时，2x＜x2+1 当x=1时，2x=x2+1 当x=﹣1时，2x＜x2+1， 故答案为：＜，=，＜； （2）当x=3时，2x＜x2+1， 当x=﹣2时，2x＜x2+1. 15.【解析】 解： (1)∵ x＜y ∴ 8x＜8y， ∴ 8x-3＜8y-3． (2)∵ x＜y，∴ ， ∴ ． (3)∵ x＜y，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1， ∴ x-2＜y-1．