专题04 轴对称问题的三种考法（原卷版）（人教版）.docx

专题04 轴对称问题的三种考法 类型一、函数中的最值问题（和最小，差最大问题） 例1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称. (1)求△ABC的面积； (2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE； (3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明. 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，． （1）如图①，若点为的中点，求的长； （2）如图②，若点在轴上，且，求的度数； （3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）． （1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD． ①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD； ②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标； （2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，． （1）如图①，若点为的中点，求的长； （2）如图②，若点在轴上，且，求的度数； （3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由． 类型二、几何图形中的最短路径问题 例．已知点在内． （1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、. ①若，则______； ②若，连接，请说明当为多少度时，； （2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数． 【变式训练1】如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点. （1）探求与的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若分别为上的动点. ①当的长度取得最小值时，求的长度； ②如图③，若点在线段上，，则的最小值= . 【变式训练2】如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点． （1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由； （2）连接，求为何值时，； （3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 【变式训练3】如图1，已知直线的同侧有两个点、，在直线上找一点，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题. （1）如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，动点在轴上，求的最小值； （2）如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为______. （3）如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为__________. 【变式训练4】已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P． (1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形； (2)求证：BD＝PC； (3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数． 类型三、最短路径问题的实际应用 例1.如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种： 小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是． 小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是． （1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由． （2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离． 【变式训练1】（1）如图1，，是直线同旁的两个定点，请在直线上确定一点P，使得最小； （2）如图2，已知，P是内一点，．请在上找一点，上找一点，使得的周长最小，画出图形并求出这个最小值． 【变式训练2】阅读下列材料，解决提出的问题： 最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求． 如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求． 为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小． 任务： 数学思考：（1）材料中划线部分的依据是　 　． （2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是　 　．（填字母代号即可） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．整体思想 迁移应用 （3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为AC边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为　 　cm．