7.3 《平面直角坐标系》章末复习（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(27154917).doc

第七章 平面直角坐标系 7.3 《平面直角坐标系》章末复习（能力提升） 【要点梳理】 要点一、有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 要点二、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 要点诠释： （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补 要点三、坐标方法的简单应用 1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 要点诠释： (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度． 2．用坐标表示平移 (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点诠释： 上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点诠释： 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【典型例题】 类型一、有序数对 例1．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的数：．例如把(3，-2)放入其中，就会有32 +(-2)+1＝8，现将数对(-2，3)放入其中得到数m，再将数对(m，1)放入其中，得到的数是________． 【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运算，把数对代入求值即可． 【答案】66 . 【解析】解：将(-2，3)代入，，得(-2)2+3+1＝8， 再将(8，1)代入，得82 +1+1＝66， 故填：66． 【总结升华】解答此题的关键是把实数对（-2，3）放入其中得到实数m，解出m的值，即可求出把（m，1）放入其中得到的数． 举一反三： 【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对(-2，-6)表示________． 【答案】 (-5，3)；向西走2米，向南走6米. 类型二、平面直角坐标系 例2. 第三象限内的点P(x，y)，满足|x|＝5，y2＝9，则点P的坐标为________． 【思路点拨】点在第三象限，横坐标＜0，纵坐标＜0．再根据所给条件即可得到x，y的具体值． 【答案】(-5，-3). 【解析】因为|x|＝5，y2＝9．所以x＝±5，y＝±3，又点P(x，y)在第三象限，所以x＜0，y＜0，故点P的坐标为(-5，-3)． 【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 举一反三： 【变式1】 在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为( ) ． A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】C. 【变式2】 如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( ) ． A．(5，2) B．(-6，3) C．(-4，-6) D．(3，-4) 【答案】D. 类型三、坐标方法的简单应用 例3.如图，是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3）．完成以下问题： （1）请根据题意在图上建立直角坐标系； （2）写出图上其他地点的坐标 （3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置． 【思路点拨】（1）根据图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3），可以建立合适的平面直角坐标系，从而可以解答本题； （2）根据（1）中的平面直角坐标系可以写出其它地点的坐标； （3）根据点P（﹣1，﹣3）可以在直角坐标系中表示出来． 【答案与解析】 解：（1）由题意可得， （2）由（1）中的平面直角坐标系可得， 校门口的坐标是（1，0），信息楼的坐标是（1，﹣2），综合楼的坐标是（﹣5，﹣3），实验楼的坐标是（﹣4，0）； （3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置，如下图所示， 【总结升华】本题考查利用坐标确定位置，解题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标系． 例4.如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求这个四边形的面积． 【思路点拨】分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，然后利用S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF进行计算． 【答案与解析】 解：分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图， 则E（5，3）， 所以S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF =5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2 =． 【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积． 例5.△ABC三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)． (1)将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么? (2)将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系? (3)将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系? 【答案与解析】 解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)． (2)△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到． (3)△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向下移5个单位得到． 【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵坐标增大等价于向上平移． 举一反三： 【变式】在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（　　） 　A．（2，5） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，﹣1） 【答案】D． 解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）． 故选：D． 类型四、综合应用 例6. 三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）． （1）在直角坐标系中画出三角形ABC； （2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC， 试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点； （3）求出三角形A1B1C1的面积． 【思路点拨】（1）建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C三点，顺次连接即可． （2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC， 即三角形ABC向上平移3个单位，向左平移4个单位，得到三角形A1B1C1，按照平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，从坐标系中画出图形． （3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积． 【答案与解析】 解：（1）如图1， （2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）； （3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去， 即可求得△A1B1C1的面积=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25． ∴△A1B1C1的面积=3.25． 【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC的面积。 举一反三： 【变式】如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点C的坐标分别为(-3，2)和(3，2)，则矩形的面积为( )． A．32 B．24 C．6 D．8 【答案】B. 【提升练习】 一、选择题 1．点P（0，3）在（ ）. A．x轴的正半轴上 B．x的负半轴上 C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上 2．已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（　　） A．（7，1） B．B（1，7） C．（1，1） D．（2，1） 3．将某图形的横坐标减去2，纵坐标保持不变,可将图形（ ）. A．横向向右平移2个单位 B．横向向左平移2个单位 C．纵向向右平移2个单位 D．纵向向左平移2个单位 4．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（　　） 　A．第一象限 B．第二象限 C .第三象限 D. 第四象限 5．点P的坐标为（3a-2，8-2a），若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是（ ）. A．或4 B．-2或6 C．或-4 D．2或-6 6. 如图是被墨迹污染的旅游区各景点地图，隐约可见，第一景点的坐标为（0,3），第二景点的坐标为（5,3），景区车站坐标为（0,0），则车站大约在（ ）. A．点A B．点B C．点C D．点D 7．若点A(m，n)在第二象限，则点B(|m|，-n)在( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．点P(m+3，m+1)在直角坐标系的x轴上，则P点的坐标为( )． A．(0，-2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，-4) 二、填空题 9.如图，若点E坐标为(－2，1)，点F坐标为(1，－1)，则点G的坐标为 ． G E F 10. 点P（－5，4）到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ． 11. 若点M在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则M的坐标是 ． 12.若点（a，b）在第二象限，则点（b，a）在第 象限. 13.将点P（－1，－2）向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到P1，则点P1的坐标是 ． 14.点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，则直线BC与x轴的关系为 ． 15.在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有　 　个． -4或6 16.在平面直角坐标系内，已知点A（1-2k，k-2）在第三象限，且k为整数，则 k的值为 ． 三、解答题 17．已知三角形ABC的两个顶点坐标为A（﹣4，0），B（2，0），如图，且过这两个点的边上的高为4，第三个顶点的横坐标为﹣1，求顶点C的坐标及三角形的面积． 18．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A（2，1），图书馆位置坐标为B（﹣1，﹣2），解答以下问题： （1）在图中试找出坐标系的原点，并建立直角坐标系； （2）若体育馆位置坐标为C（1，﹣3），请在坐标系中标出体育馆的位置； （3）顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形ABC，求三角形ABC的面积． 19.已知A(0，0)，B(9，O)，C(7，5)，D(2，7)，求四边形ABCD的面积． 20.小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序． (1)如果用(8，5)表示入口处的位置，(6，1)表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置如何表示？(4，6)表示哪个地点？ (2)你能找出哪个游乐设施离入口最近，哪个游乐设施离入口最远吗? (3)请你帮小杰设计一条游玩路线，与同学交流，看谁设计的路线最短? 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】C； 【解析】横坐标为0，说明点在y轴上，又纵坐标大于0，说明点在y轴的正半轴上. 2. 【答案】C； 【解析】∵点A（0，6）平移后的对应点A1为（4，10），4﹣0=4，10﹣6=4， ∴△ABC向右平移了4个单位长度，向上平移了4个单位长度， ∴点B的对应点B1的坐标为（﹣3+4，﹣3+4），即（1，1）． 3. 【答案】B. 4. 【答案】A； 【解析】解：由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得 a+1＜0，b﹣2＞0． 解得a＜﹣1，b＞2． 由不等式的性质，得 ﹣a＞1，b+1＞3， 点B（﹣a，b+1）在第一象限， 故选：A． 5. 【答案】D； 【解析】由题意得：，解得：或. 6. 【答案】B； 【解析】根据已知的坐标，可建立平面直角坐标系，如图，由此可得答案. 7. 【答案】D； 【解析】第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，所以m＜0且n＞0，所以|m|＞0，-n＜0，点B(|m|，-n)在第四象限，故选D． 8. 【答案】B； 【解析】在x轴上点的纵坐标为0，所以m+1＝0，可得m＝-1，m+3＝2，所以P点的坐标为(2，0)，故选B． 二.填空题 9. 【答案】(1 ，2)； 【解析】由图可知，点G的横坐标与点F的横坐标相同，均为1，而纵坐标比点E的纵坐标大1，所以点点G的坐标为（1,2）． 10.【答案】4,5. 11.【答案】(－3 ，2). 12．【答案】四； 【解析】由点（a，b）在第二象限，可得a＜0，b＞0，即得点（b，a）的横坐标大于0，而纵坐标小于0，所以点（b，a）在第四象限． 13.【答案】（2，－4）； 【解析】－1+3＝2，－2－2＝-4. 14.【答案】垂直. 15.【答案】3； 【解析】解：点A的坐标是（3，4），因而OA=5，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点就是以点A为圆心，以5为半径的圆与坐标轴的交点，圆与坐标轴的交点是原点，另外与两正半轴有两个交点，共有3的点．所以坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有3个．故答案填：3． 16. 【答案】1． 【解析】∵点A（1-2k，k-2）在第三象限，∴1-2k＜0，k-2＜0，解得：0.5＜k＜2， 又∵k为整数，∴k=1． 三.解答题 17.【解析】 解：（1）∵AB边上的高为4， ∴点C的纵坐标为4或﹣4， ∵第三个顶点C的横坐标为﹣1， ∴点C的坐标为（﹣1，4）或（﹣1，﹣4）； （2）∵A（﹣4，0），B（2，0）， ∴AB=2﹣（﹣4）=2+4=6， ∴△ABC的面积=×6×4=12． 18.【解析】 解：（1）如下图； （2）如下图； （3）S△ABC=3×4﹣×2×1﹣×1×4﹣×3×3=4.5． 19.【解析】 解：过点C作CF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E 则AE=2，DE=7，BF=2，CF=5，EF=5 ∴ ． 20. 【解析】 解：（1）（0，7），海底世界； （2）天文馆离入口最近，攀岩离入口最远； （3）略．