专题05模型方法课之三垂直模型压轴题专练（解析版）（人教版）.docx

专题05模型方法课之三垂直模型压轴题专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在等腰直角中，，的直角顶点D与的中点重合，两边分别交，于点E，F，有以下结论：①；②；③；④．上述结论错误的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】 ①证明△CDE≌△BDF，即可得出CE= BF，故①正确；②根据△CDE≌△BDF，得出S△DCE=S△BDF，即可得出答案，故②正确；③由①可知DE=DF，推出△DEF是等腰直角三角形，得出S△DEF=·DE·DF，根据当DE最短时，S△DEF最小，当DE最长时，S△DEF最大，然后分类讨论即可2≤S△DEF≤4，故③错误；④由①得BF=CE，根据在Rt△ECF中，EC2+CF2=EF2和在Rt△DEF中，DE2+DF2=EF2，根据DE=DF，即可得出BF2+CF2=2DF2，故④正确，即可得出答案． 【详解】 ①∵ AC= BC，D是AB的中点， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB = 90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF， ∴∠CDE=∠BDF， ∵D是Rt△ABC斜边AB上的中点，AC= BC， ∴CD=BD=AD=АВ，∠ACD=∠B=45°， 在△CDE和△BDF中 ∴△CDE≌△BDF（AAS）， ∴DE= DF，CE= BF，故①正确； ②∵△CDE≌△BCF， ∴S△DCE=S△BDF， S四边形CDFE= S△CDF+S△BDF=S△BDC=S△ABC，故②正确； ③由①可知DE=DF， ∵∠EDF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴S△DEF=·DE·DF， 则当DE最短时，S△DEF最小， 当DE最长时，S△DEF最大， 当DE⊥AC时，DE最小，此时DE∥BC， ∵DE是AB中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC=2， ∴S△DEF的最小值为×2×2=2， 当E与A重合，F与C重合时，DE最大， 此时DE=AD=AB， AB==， 则DE=， ∴S△DEF的最小值为××=4， ∴2≤S△DEF≤4，故③错误； ④由①得BF=CE， ∴在Rt△ECF中，EC2+CF2=EF2， 又∵在Rt△DEF中，DE2+DF2=EF2， ∵DE=DF， ∴EC2+CF2=2DF2， ∴BF2+CF2=2DF2，故④正确； 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，题目综合性很强，掌握这些知识点是解题关键． 2．在正方形中，直线经过对角线，的交点，过，两点分别作直线的垂线，交直线于点，．若，，则长为（ ） A．2 B．3 C．2或6 D．3或7 【答案】D 【分析】 依据已知条件求出，，根据证，推出，，即可得到的长． 【详解】 解：如图，当直线与线段不相交时， ，，， ，， ， 又正方形中，， ， ，， ； 如图，当直线与线段相交时， ，，， ，， ， 又正方形中，， ， ，， ； 故选D． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质的运用，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．本题要注意思考全面，直线与线段有两种情况（相交、不相交），不能遗漏． 3．如图，正方形中，，分别为，上的点，，，交于点，交于点，为的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 ①可证得，所以，由此得证．②由题意正方形中，在上面所证，得，结合正方形性质易证（AAS）得到即得证．③过点作垂直于，交于点，可证得． 得是等腰直角三角形，由，④由得，所以． 【详解】 解：，，， ， ， 又∵， ∴， 即，故结论①正确； 四边形是正方形， ，， 由题意正方形中，在上面所证， ， （AAS）， ，即结论②正确； 过点作垂直于，交与点， ∵， ∴， 在与中， ， 故（ASA）， ∴, ， ， ∴，故结论③正确； ∵， ， ∴， ，， ∴，故结论④正确； 综上所述，①②③④正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及等腰直角三角形性质，充分利用线段和角证明三角形全等，转化线段和角的关系是解题关键，比较综合，有一定难度． 二、填空题 4．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD与BE为△ABC的高，交点为F，CD=4，则线DF=___________． 【答案】4 【分析】 求出AD=BD，求出∠ADC=∠ADB=90°，∠CAD=∠FBD，根据ASA证△BDF≌△ADC，根据全等三角形的性质推出DF=DC即可． 【详解】 解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC=∠ADB=∠BEA=90°， ∴∠CAD+∠AFE=90°，∠BFD+∠DBF=90°， ∵∠AFE=∠DFB， ∴∠CAD=∠FBD， ∵∠ADB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD， 在△BDF和△ADC中 ， ∴△BDF≌△ADC（ASA）， ∴DF=DC=4， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了垂直定义，余角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键． 5．如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】 如图所示，根据题意构造出△AED和△GFE全等，分析出点F的轨迹，然后根据D、F、C三点共线时求出最小值即可． 【详解】 解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G， ∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF， ∴EF⊥DE，且EF＝DE， ∵，， ∴∠EDA＝∠FEG， ∴在△AED和△GFE中， ∴△AED≌△GFE（AAS）， ∴FG＝AE，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴BF是∠CBC′的角平分线， 即F点在∠CBC′的角平分线上运动， 过点C作BF的对称点，则 ∴C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形， ∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝最小， ∴在中，AD＝4，， ∴， ∴DF+CF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键． 6．如图，正方形中，为边上一点，且，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则线段的长度是_________． 【答案】． 【分析】 作于点H，如图，利用正方形的性质得， ，再根据旋转的性质得， ，接着证明 ，得到 ，，所以 ，则 ，然后利用勾股定理计算FC的长． 【详解】 如图，作于点H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴，， ∵AE绕点E顺时针旋转得到EF， ∴， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了正方形的性质． 7．如图，在四边形中，，是上一点，，，______． 【答案】 【分析】 通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可． 【详解】 解：如图所示，分别过A、D作于E，于F ∴ ∴, ∵ ∴ ∴ , 在与中 ∴ ∴ ， 在中， ∴ 同理可得： ∴ 故答案为： ． 【点睛】 本题考察特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键． 三、解答题 8．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N． （1）求证：MN＝AM＋BN； （2）如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N（AM＞BN），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)不成立，理由见解析 【分析】 (1)根据垂直的定义得到∠AMC=∠CNB=90°，则∠MAC+∠ACM=90°，又∠ACB=90°，则∠ACM+∠NCB=90°，于是根据等量代换得到∠MAC=∠NCB，根据“AAS”可证明△ACM≌△CBN，根据全等的性质得到AM=CN，CM=BN，则MN=MC+CN=AM+BN． (2)根据已知条件能证得△ACM≌△CBN，利用全等的性质得到AM=CN，CM=BN，而MN=CN-CM=AM-BN． 【详解】 解：(1)∵AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N， ∴∠AMC=∠CNB=90°， ∴∠MAC+∠ACM=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACM+∠NCB=90°， ∴∠MAC=∠NCB， 在△ACM和△CBN中， \ ∴ACM≌△CBN， ∴AM=CN，CM=BN， ∴MN=MC+CN=AM+BN． (2)题(1)中的结论不成立， 同题(1)证明可知：ACM≌△CBN， ∴AM=CN，CM=BN， ∴MN=CN-CM=AM-BN， 【点睛】 本题主要考查的是全等三角形的性质与判断，正确的掌握全等三角形的性质与判断是解题的关键． 9．如图，，，于点E，于点F，其中． （1）求证：； （2）若，，求BE的长； （3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）13；（3）是等腰直角三角形，理由见解析． 【分析】 （1）先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，由此即可得； （3）如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据三角形全等的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据等腰直角三角形的判定即可得． 【详解】 （1）， ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）由（1）已证：， ， ， ， ， ， ； （3）是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接CQ， ， 是等腰直角三角形，， 点Q是斜边AB的中点， ， ， 由（1）已证：， ， ，即， 在和中，， ， ， 是等腰三角形， 又， ，即， 是等腰直角三角形． ． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 10．如图，三角形中，于，若，． （1）求证：； （2）延长交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】 （1）求出∠ADC=∠BDF=90°，根据SAS证△ADC≌△BDF，根据全等三角形的性质推出∠FBD=∠CAD即可； （2）根据三角形的内角和定理求出∠FBD+∠BFD=90°，推出∠AFE+∠EAF=90°，在△AFE中，根据三角形的内角和定理求出∠AEF即可． 【详解】 证明：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠BDF=90°， ∵在△ADC和△BDF中 ， ∴△ADC≌△BDF（SAS）， ∴∠FBD=∠CAD； （2）∵∠BDF=90°， ∴∠FBD+∠BFD=90°， ∵∠AFE=∠BFD， 由（1）知：∠FBD=∠CAD， ∴∠CAD+∠AFE=90°， ∴∠AEF=180°-（∠CAD+∠AFE）=90°， ∴BE⊥AC． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，关键是推出△ADC≌△BDF． 11．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分别为E、D．图中哪条线段与AD相等？并说明理由． 问题2：试问在这种情况下线段DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由． 问题3：当直线CE绕点C旋转到图2中直线MN的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由． 【答案】问题1，AD＝EC，证明见解析；问题2：DE+BE＝AD；问题3：DE＝AD+BE，证明见解析． 【分析】 （1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，即可得出AD=EC； （2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案； （3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系． 【详解】 解：（1）AD＝EC； 证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝EC； （2）DE+BE＝AD； 由（1）已证△ADC≌△CEB， ∴AD＝EC，CD=EB，CE=AD ∴CE=CD+DE=BE+DE=AD 即DE+BE＝AD； （3）DE＝AD+BE． 证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE， ∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECB+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， ∵∠ADC＝∠BEC，AC＝BC， ∴△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵CD+CE＝DC， ∴DE＝AD+BE． 【点睛】 此题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 12．如图，已知：中，，，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F． （1）当EF与斜边BC不相交时，请证明如图； （2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：； 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】 （1）根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论； （2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，则BE=AF，AE=CF，就可以求出EF=BE-CF． 【详解】 解：（1），， ， ，， ， 在和中， ≌， ，， ． （2），， ， ，， ， 在和中， ≌， ，， ∵， ∴ 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题． 13．（1）问题：如图①，在四边形中，，是上一点，，．求证：； （2）问题：如图②，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 【答案】（1）见解析；（2）1 【分析】 （1）先证明，从而得，进而即可得到结论； （2）过点做于点，易证，是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】 （1）∵，， ∴， 在与中 ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过点做于点， 在中，， ∴， ∵ ，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三等角”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 14．在△ABC中，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，且AD=CE； （1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：AC⊥BC． （2）判断AD、BE、DE这三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明． 【答案】（1）见解析；（2）DE=AD+BE；见解析；（3）AD=DE+BE 【分析】 （1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，再利用HL证明Rt△ADC≌Rt△CEB，得到∠DAC=∠BCE，再根据余角的定义得到∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°，可得结论； （2）根据Rt△ADC≌Rt△CEB得到DC=BE，从而利用等量代换得到DE=AD+BE； （3）同理可证：Rt△ADC≌Rt△CEB，利用等量代换可得AD=DE+BE． 【详解】 解：（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=90°， 在Rt△ADC和Rt△CEB中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△CEB（HL）， ∴∠DAC=∠BCE， ∵∠ADC=90°，即∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，即∠ACB=90°， ∴AC⊥BC； （2）DE=AD+BE， 理由如下： ∵Rt△ADC≌Rt△CEB， ∴DC=BE， ∵AD=CE， ∴DE=DC+CE=AD+BE； （3）AD=DE+BE， 同理可证：Rt△ADC≌Rt△CEB（HL）， ∴CD=BE， ∴AD=CE=DE+CD=DE+BE， ∴即AD=DE+BE． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”；全等三角形的对应边、对应角相等． 15．（1）（问题原型）如图，在等腰直角三角形中，，．过作，且，连结，过点作的边上的高，易证，从而得到的面积为_________． （2）（初步探究）如图，在中，，，过作，且，连结．用含的代数式表示的面积并说明理由． （3）（简单应用）如图，在等腰中，，，过作，且，连结，求的面积（用含的代数式表示）． 【答案】（1）32；（2）；答案见解析；（3）． 【分析】 （1）【问题原型】根据AAS证明出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得出结论 （2）【初步探究】过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论． （3）【简单应用】过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】 解：（1）【问题原型】如图， ∵过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E． ∴∠BED=∠ACB=90°， ∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD， ∴AB=BD，∠ABD=90°． ∴∠ABC+∠DBE=90°． ∵∠A+∠ABC=90°． ∴∠A=∠DBE． 在△ABC和△BDE中， ∴△ABC≌△BDE（AAS） ∴BC=DE=8． ∴S△BCD=32， （2）【初步探究】． 理由：过做上以垂足为， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在△ABC和△BDE中， ∵． ∴=a． ∴ （3）【简单应用】过做于，过做于． ∴∠AFB=∠E=90°， ∴∠FAB+∠ABF=90°． ∵∠ABD=90°， ∴∠ABF+∠DBE=90°， ∴∠FAB=∠EBD． ∵线段BD是由线段AB旋转得到的， ∴AB=BD． 在△AFB和△BED中， ∴△AFB≌△BED（AAS）， ∴． ∵，，， ∴ ∴． ∴ ． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键． 16．如图，已知和均是直角三角形，，，于点． （1）求证：≌； （2）若点是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）cm 【分析】 （1）根据即可证明结论； （2）结合（1）可得cm，根据点是的中点，可得cm，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】 解：（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）， cm， 点是的中点， cm， cm， 在中，根据勾股定理，得 cm． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 17．（提出问题）如图1，在直角中，∠BAC=90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为  （探究问题）如图2，在直角中，∠BAC=90°，AB=AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由． （解决问题）如图3，在中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l上，分别以A、B为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F作直线l的垂线，垂足为M、N． ①试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由； ②若AC=3，BC=4，五边形EMNFC面积的最大值为 【答案】提出问题：；探究问题：，理由见解析；解决问题：①，理由见解析；②． 【分析】 提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得； 探究问题：先根据垂直的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据线段的和差即可得； 解决问题：①如图（见解析），同探究问题的方法可得，再根据线段的和差即可得； ②如图（见解析），同探究问题的方法可得，再根据三角形全等的性质可得，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC面积表示出来，由此即可得出答案． 【详解】 提出问题：， ， 故答案为：； 探究问题：，理由如下： ， ， ， 由提出问题可知，， ， 在和中，， ， ， ， 即； 解决问题：①，理由如下： 同探究问题的方法可证：， ， 即； ②如图，过点C作于点D， 同探究问题的方法可证：， ， 和都是等腰直角三角形，且， ， ， 五边形EMNFC面积为， ， ， ， 则当面积取得最大值时，五边形EMNFC面积最大， 设的BC边上的高为，则， 在中，、均为锐角， 当时，取得最大值，最大值为， 面积的最大值为， 则五边形EMNFC面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 18．综合与实践． 积累经验 我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点，且于点，于点.求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决， （1）请写出证明过