4.1 几何图形讲练（解析版）（人教版）.docx

专题4.1 几何图形（本专题共64页） 典例体系 一、知识点 1.立体图形与平面图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2） 点动成线，线动成面，面动成体。 3、生活中的立体图形 4、棱柱及其有关概念： 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。 棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。 5、正方体的平面展开图：11种 6、截一个正方体： 用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 7、三视图 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。 二、考点点拨与训练 1、生活中的立体图形 考点1：几何体的识别 典例：（2019·江西省初三月考）下列几何体中，是圆柱的为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为四棱柱，D选项为四棱锥． 故选A. 方法或规律点拨 考查立体图形的认识，掌握立体图形的特征是解题的关键. 巩固练习 1．（2019·河北省初一期末）下面几种图形：①三角形，②长方形，③立方体，④圆，⑤圆锥，⑥圆柱．其中属于立体图形的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：根据以上分析：属于立体图形的是③立方体⑤圆锥⑥圆柱，共计3个． 故选：C． 2．（2020·贵州省初三学业考试）下列列举的物体中，与铅球的形状类似的是（ ） A．音箱 B．铅笔 C．西瓜 D．水杯 【答案】C 【解析】解：铅球的形状是球体． A.音箱是柱体，故不符合题意； B.铅笔是柱体，故不符合题意； C.西瓜是球体，符合题意； D.水杯是柱体，故不符合题意； 故选C． 3．（2020·浙江省初三学业考试）如图，一个正方体有盖盒子（可密封）里装入六分之一高度的水，改变正方体盒子的放置方式，下列选项中不是盒子里的水能形成的几何体是（ ） A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】A 【解析】解：根据题意可知，盒子里的水能形成的几何体是长方体、三棱柱，三棱锥，不可能是正方体． 故答案为A． 4．（2018·山东省初一期中）下列几何体属于柱体的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有（1）（3）（4）（5）（6）（8），共6个． 故选D． 5．（2019·西安交大阳光中学初一月考）直角三角形绕它的一条直角边旋转一周围成的几何体是（　　） A．三棱锥 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体 【答案】B 【解析】解：因为平面图形是一个直角三角形， 所以，以直角三角形的一条直角边所在的直线旋转一周得到的是一个圆锥． 故选：B． 6．（2019·山东省聊城二中初一月考）下列几何体中，属于锥体的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A是圆柱；B是四棱锥；C是球；D是长方体 属于锥体的是B． 故选：B． 7．（2019·山东省初一期中）下面的长方体是由A，B，C，D四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由长方体和第一、二、三部分所对应的几何体可知，第四部分所对应的几何体一排有一个正方体，一排有三个正方体，前面一个正方体在后面三个正方体的中间． 故选A． 考点2：几何体的点、棱和面 典例：（2020·山东省中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 棱数E 6 12 面数F 4 5 8 （2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________． 【答案】（1）表格详见解析；（2） 【解析】解：（1）填表如下： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数E 6 9 12 12 面数F 4 5 6 8 （2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：． 方法或规律点拨 本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型． 巩固练习 1．（2020·河北省初一期中）如图，含有曲面的几何体编号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解析】由题意得，含有曲面的几何体编号是②③ 故答案为：C． 2．（2020·重庆中考真题）围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、球面不是平面，故本选项错误；B、四个面都是平面，故本选项正确；C、侧面不是平面，故本选项错误；D、侧面不是平面，故本选项错误；故选B． 3．（2019·河北省金华中学初一期中）下图几何体面的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵球的表面是一个曲面，即球体只有一个面， 故选：A. 4．（2019·河北省初一期末）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是(　　) A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【答案】D 【解析】根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱. 故选D 5．（2020·成都市金花中学初一期中）一个棱柱有12个面，它有__________个顶点，___________条棱． 【答案】20 30 【解析】解：一个棱柱有12个面，除上下两个底面后还有10个侧面，所以这个棱柱为10棱柱，它有20个顶点，30条棱 故答案为：20；30． 6．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）这是一个_______体，它的长是_______ cm，宽是_______ cm，高是_______ cm．棱长总和是_______cm． 【答案】长方 25 12 18 220 【解析】这是一个长方体，它的长是25cm，宽是12cm，高是18cm．棱长总和是4×（25+12+18）=220cm． 故答案为：长方；25；12；18 ；220． 7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）正方体有个6面，每个面都是_______形，面积都_______． 【答案】正方 相等 【解析】正方体有个面，每个面都是正方形，面积都相等． 故答案为：正方；相等． 8．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等（_______） 【答案】对 【解析】正方体有6个面，每个面都是面积相等的正方形， 所以，正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等． 故答案为：对． 9．（2018·四川省双流县棠湖中学实验学校初一月考）如图所示的几何体的名称是____，它由____个面组成，它有____个顶点，经过每个顶点有____条边． 【答案】五棱柱 7 10 3 【解析】 这个几何体的名称是五棱柱；它由7个面组成；它有10个顶点；经过每个顶点有3条边． 故答案为五棱柱、7、10、3． 考点3：点、线、面、体的关系 典例：（2020·山东省初一期中）如图1，把一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸板分成两个相同的直角三角形． （1）甲三角形（如图2）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方米？ （2）乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方米？ 【答案】（1）圆锥体，体积是376.8立方厘米；（2）空心的圆柱，体积为753.6立方厘米． 【解析】解：（1）根据题干分析可得：以其中一个直角三角形较长的直角边所在直线为轴，将纸板快速转动，可以形成一个圆锥体， 它的体积是×3.14×62×10=3.14×12×10=376.8（立方厘米）． （2）根据题干分析可得：乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个挖去了等底等高圆锥的空心圆柱， 体积为：3.14×62×10-×3.14×62×10=3.14×360﹣3.14×120=3.14×240=753.6（立方厘米）． 方法或规律点拨 本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式的计算应用，关键是明确旋转后的圆柱和圆锥体的底面半径和高． 巩固练习 1．（2019·河北省初一期中）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所给图形是直角梯形，绕直线l旋转一周，可以得到圆台， 故选D． 2．（2020·河北省初一期末）如图所给的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到立体图形的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由图可知，只有D选项图形绕直线l旋转一周得到如图所示立体图形， 故选：D． 3．（2020·内蒙古自治区初三二模）如图，是直角三角形的高，将直角三角形按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（ ）． A．绕着旋转 B．绕着旋转 C．绕着旋转 D．绕着旋转 【答案】B 【解析】将直角三角形ABC绕斜边AB所在直线旋转一周得到的几何体是： 故选：B． 4．（2019·山东省初一期中）夜里将点燃的蚊香迅速绕一圈，可划出一个曲线，这是因为（ ） A．面对成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 【答案】C 【解析】解：夜里将点燃的蚊香迅速绕一圈，可划出一个曲线，是因为点动成线， 故选：C． 5．（2019·沈阳市第七中学初一期中）自行车的车轮辐条是一条线，当车轮飞速旋转时，辐条就飞速转动形成（　　） A．点 B．线 C．面 D．体 【答案】C 【解析】解：∵点动成线，线动成面，面动成体， ∴辐条（线段）飞速转动形成面（圆）， 故选：C． 6．（2020·银川市第三中学初一期中）六棱柱中，棱的条数有（　　） A．6条 B．10条 C．12条 D．18条 【答案】D 【解析】六棱柱有六条侧棱，12条底棱， 故选D． 7．（2019·江苏省初一月考）观察下图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后，可能形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由图形可以看出，左边的长方形的竖直的两个边与已知的直线平行，因而这两条边旋转形成两个柱形表面，因而旋转一周后可能形成的立体图形是一个管状的物体． 故选：C． 考点4：几何体的有关计算 典例：（2020·石家庄外国语教育集团初三一模）图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先用图1中两个几何体可以组成一个新的圆柱体， 则圆柱的高为4+6=10cm，底面圆半径为4÷2=2cm， ∴这个圆柱的体积=， 则一个几何体的体积为：， 则图二的体积为：， 故选B. 方法或规律点拨 本题的关键是理解两个几何体可以组成一个规则的圆柱体，然后利用圆柱体体积的计算公式计算即可． 巩固练习 1．（2019·黑龙江省初三学业考试）一个圆柱和一个圆锥的底面圆的半径与高都分别相等，它们的体积差是24立方厘米，圆柱的体积是______立方厘米． 【答案】36 【解析】解：∵等底等高圆柱的体积就是圆锥体积的3倍， 则体积之差是圆锥体积的2倍， ∴圆柱的体积是24÷2×3=36立方厘米， 故答案为：36. 2．（2019·山东省初一期中）已知长方形的长为10cm，宽为4cm，将长方形绕边所在直线旋转后形成的立体图形的体积为______． 【答案】400πcm3或160πcm3 【解析】 解：若长方形绕长方形的长所在直线旋转后形成圆柱， 则体积是：π×42×10＝160π（cm3）， 若长方形绕长方形的宽所在直线旋转后形成圆柱， 则体积是：π×102×4＝400π（cm3）， 故答案为：400πcm3或160πcm3． 3．（2019·西安市铁一中学初一月考）已知长方形长为5，宽为2，将其绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，该几何体的体积为__________．（结果保留） 【答案】或 【解析】解：①当长方形绕它的长所在的直线旋转一周时：； ②当长方形绕它的宽所在的直线旋转一周时：． 故答案为：或． 4．（2019·西安交大阳光中学初一月考）长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱的最大体积为___ (结果保留π). 【答案】32π 【解析】由题意，旋转构成一个圆柱的体积为π××4=16π或π××2=32π， 故答案为：32π 5．（2020·青岛市崂山区育才学校初一期中）笔尖在纸上快速滑动写出英文字母C，这说明了_____． 【答案】点动成线 【解析】笔尖在纸上快速滑动写出英文字母C，这说明了点动成线. 故答案为点动成线. 6．（2020·辽宁省太和区第二初中初一月考）我们曾学过圆柱的体积计算公式：（R是圆柱底面半径，h为圆柱的高），现有一个长方形，长为2cm，宽为1cm，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？ 【答案】或 【解析】 分两种情况：①绕长所在的直线为轴旋转一周，体积为； ②绕宽所在的直线为轴旋转一周，体积为； 故体积为或. 7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）一个正方体的棱长是12厘米，这个正方体的体积是多少？ 【答案】这个正方体的体积是1728cm²． 【解析】V=12³ =1728（cm²） 答：这个正方体的体积是1728cm²． 2、展开与折叠 考点1：正方体与长方体的展开图 典例：（2020·河南省初一期末）在图1、图2中的无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图. 【答案】详见解析 【解析】 （1）图1中对照基本型，可选下面六种中的一种： （2）图2对照基本型，可选下面四种中的一种： 方法或规律点拨 熟悉正方体展开图的11种基本型，可以帮助我们解答类似的问题. 巩固练习 1．（2020·四川省中考真题）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种， 因此选项D符合题意， 故选：D． 2．（2020·吉林省初一期末）下列各图中,可以是一个正方体的平面展开图的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 A不是正方体的展开图,故不符合题意; B不是正方体的展开图, 故不符合题意; C是正方体的展开图,故符合题意; D不是正方体的展开图,故不符合题意; 故选C． 3．（2020·吉林省初三二模）下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； B、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； C、折叠后能折成正方体，故本项符合题意； D、折叠后不能折成正方体，故本项不符合题意； 故选：C． 4．（2020·河北省初三三模）如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解析】解：将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的是丁．故选D． 5．（2020·江苏省初三一模）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【解析】将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体， 故选A． 6．（2020·广东省初三其他）下列四个图形中，不是正方体展开图的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由正方体展开图的特征即可判定D不是正方体的展开图， 故选：D． 7．（2020·四川省初一期中）下列图形中，经过折叠不能围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：A、有两个面重叠，不能折成正方体； 选项B、C、D经过折叠均能围成正方体． 故选A. 8．（2020·浙江省初三学业考试）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形． （1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是　 　（填A或B）． （2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示） （3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示） 【答案】（1）A；（2）见解析；（3）见解析 【解析】解：（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A， 故答案为：A． （2）立方体表面展开图如图所示： （3）将其表面展开图画在方格图中如图所示： 9．（2020·吉林省初一期末）小名准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，你能在图中的拼接图形上再接一个正方形画出阴影，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子吗？请在下面的图①和图②中画出两种不同的补充方法． 【答案】见解析 【解析】 解：如图所示： 新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子． 考点2：侧面有文字或数字的正方体展开图 典例：（2019·江苏省初一月考）如图是一个正方体的平面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等． （1）求x的值． （2）求正方体的上面和底面的数字和． 【答案】（1）1；（2）4 【解析】 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “A”与“-2”是相对面， “3”与“1”是相对面， “x”与“3x-2”是相对面， （1）∵正方体的左面与右面标注的式子相等， ∴x=3x-2， 解得x=1； （2）∵标注了A字母的是正方体的正面，左面与右面标注的式子相等， ∴上面和底面上的两个数字3和1， ∴3+1=4． 方法或规律点拨 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 巩固练习 1．（2020·内蒙古自治区初一期末）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：观察图形可知，一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是． 故选B． 2．（2020·黑龙江省中考真题）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以：是相对面，是相对面， 所以：是相对面． 故选B． 3．（2020·四川省初三其他）小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解： A、“预”的对面是“考”，“祝”的对面是“成”，“中”的对面是“功”，故本选项错误； B、“预”的对面是“功”，“祝”的对面是“考”，“中”的对面是“成”，故本选项错误； C、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，故本选项正确； D、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“成”，“考”的对面是“功”，故本选项错误． 故选C 4．（2020·霍林郭勒市第五中学初三其他）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“国”字所在面的对面的汉字是（ ） A．祖 B．我 C．心 D．中 【答案】B 【解析】“国”字所在面的对面的汉字是“我”． 故选：B 5．（2019·内蒙古自治区初一期末）如图所示是小聪制作的一个正方体模型的展开图，把“读书使人进步”六个字分别粘贴在六个面上，那么在正方体模型中与“书”相对的面上的字（ ）． A．读 B．步 C．使 D．人 【答案】B 【解析】根据正方体展开图的特点，“使”与“进”相对，“读”与“人”相对，“书”与“步”相对， 故选：B． 6．（2020·湖北省初三其他）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是( ) A．国 B．的 C．中 D．梦 【答案】B 【解析】相对的面的中间要相隔一个面，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”， 故选B. 7．（2020·河北省初一期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+y的值为( ) A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1 【答案】B 【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．“5”与“2x﹣3”是相对面，“y”与“x”是相对面，“﹣2”与“2”是相对面，∵相对的面上的数字或代数式互为相反数，∴2x﹣3+5=0，x+y=0，解得x=﹣1，y=1，∴2x+y=2×（﹣1）+1=﹣2+1=﹣1．故选B． 8．（2020·河南省初三二模）