2.2 整式的加减讲练（解析版）（人教版）.docx

专题2.2 整式的加减 典例体系 一、知识点 1.合并同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 合并同类项的步骤：（1）准确的找出同类项；（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并后的结果。 2.去括号的法则 （1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变； （2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。 3.整式的加减：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。 4.整式加减的步骤：（1）列出代数式；（2）去括号；（3）合并同类项。 二、考点点拨与训练 考点1：同类项 典例：（2020·湖南省中考真题）已知与是同类项，则的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 解：∵与是同类项， ∴n+1=4， 解得，n=3， 故选：B. 方法或规律点拨 本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同． 巩固练习 1．（2020·吉林省初一期末）若3xmy3与-x2yn是同类项，则（-m）n等于 （ ） A．6 B．-6 C．8 D．-8 【答案】D 【解析】 解：∵3xmy3与-x2yn是同类项， ∴m=2，n=3， ∴（-m）n=（-2）3=-8． 故选：D． 2．（2020·河北省初三其他）如图，小红做了 4 道判断题每小题答对给10 分，答错不给分，则小红得分为（ ） A．0 B．10 C．20 D．30 【答案】C 【解析】解：1.单独的数字是单项式,所以3是单项式, 2.5a+23是一次两项式,多项式的次数由字母部分决定, 3.-a的系数是-1,次数是1, 4.3a3b和ab3不是同类项,相同字母上的指数不相同, 综上,小红只有后两项判断正确,得20分, 故选C. 4．（2019·内蒙古自治区初一期末）若单项式2x2-ay1+b与﹣xay4是同类项，则a，b的值分别为（ ） A．a=3，b=1 B．a=﹣3，b=1 C．a=1，b=﹣3 D．a=1，b=3 【答案】D 【解析】 根据同类项的定义：所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项， 故可得；， 解得a=1，b=3． 故选择D． 5．（2020·浙江省初三月考）下列各式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：A.与不是同类项，故本选项错误； B.3x3y2与不是同类项，故本选项错误； C.与是同类项，故本选项正确； D.与不是同类项，故本选项错误； 故选：C． 6．（2020·河北省初三三模）单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m＋n的值是( ) A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】由题意，得 m=2，n=3. m+n=2+3=5， 故选：B. 7．（2019·内蒙古自治区初一期中）下列各组中，不是同类项的是（ ） A．12与－2 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】解：A. 12与－2是同类项，故本选项不符合题意； B. 与是同类项，故本选项不符合题意； C. 与不是同类项，故本选项符合题意； D. 与是同类项，故本选项不符合题意． 故选C． 8．（2020·河北省初一期末）关于x，y的单项式﹣xmy1与x3yn+4的和仍是单项式，则nm=_____________． 【答案】-27 【解析】单项式与的和仍是单项式 单项式与是同类项 解得 则 故答案为：． 9．（2019·河北省初一期末）已知单项式7amb2与-a4b1-n的和是单项式，那么m-n=______． 【答案】5 【解析】解：∵单项式7amb2与-a4b1-n的和是单项式， ∴m=4，1-n=2， 解得：n=-1， ∴m-n=4-（-1）=5， 故答案为5． 10．（2020·云南省初一期中）若单项式与是同类项，则__________. 【答案】4 【解析】解；根据题意得， ， ∴， 所以， 故答案是：4． 11．（2020·河北省初一期末）如果与是同类项，则______． 【答案】-1 【解析】解：因为与是同类项， 所以有， 代入a+b=1-2=-1； 故本题答案为：-1． 12．（2020·安徽省初一期末）单项式与的和仍是单项式，则____，______． 【答案】-1 3 【解析】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， 故答案为：，3． 13．（2020·四川省中考真题）若与是同类项，则a的值是___________． 【答案】5 【解析】解：∵与是同类项， ∴a-1=4， ∴a=5， 故答案为：5. 14．（2020·内蒙古自治区初一期末）若和是同类项，则=_________. 【答案】-7 【解析】因为和是同类项， 所以m+1=5，n-1=4， m=4，n=5， 所以. 考点2：合并同类项 典例：（2018·内蒙古自治区初一期末）下列合并同类项正确的是（ ） ① ；② ；③ ；④；⑤； ⑥ ；⑦ A．①②③④ B．④⑤⑥ C．⑥⑦ D．⑤⑥⑦ 【答案】D 【解析】解：①不是同类项，不能合并，故错误； ②不是同类项，不能合并，故错误； ③，故错误； ④不是同类项，不能合并，故错误； ⑤，故正确； ⑥，故正确； ⑦，故正确． ⑤⑥⑦正确， 故选：D． 方法或规律点拨 本题考查了合并同类项，合并同类项需注意：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同字母的代数项，同一字母指数相同；②“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 巩固练习 1．（2020·福建省初一月考）下列等式：(1)－a－b＝－(a－b)，(2)－a＋b＝－（－b＋a），(3)4－3x＝－(3x－4)，(4)5(6－x)＝30－x，其中一定成立的等式的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】(1)－a－b＝－(a+b)， (2)－a＋b＝－（－b＋a）， (3)4－3x＝－(3x－4)， (4)5(6－x)＝30－5x. 正确的有2个：(2) (3)， 故选：B 2．（2020·河北省初一期末）下列运算正确的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A中两个加数不是同类项不能合并，所以A错； 对于B，两个式子完全相同，所以B正确； 对于C中两个加数不是同类项不能合并，所以C错； 对于D中，合并后结果应等于，所以D错， 所以选B． 3．（2020·内蒙古自治区初一期末）下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、4m与-n不是同类项，不能合并，故错误； B. ，故错误； C. ，正确； D. 2ab与3c不是同类项，不能合并，故错误． 故选C． 4．（2020·福建省初三其他）将单项式与合并同类项，结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：＋= 故选B． 5．（2020·广东省初一期末）下列计算正确的是（ ） A． B． C．3x﹣2x=1 D． 【答案】D 【解析】A．，错误； B．原式不能合并，错误； C．3x﹣2x=x，错误； D．，正确． 故选D． 6．（2020·安徽省初三三模）下列各题中，运算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、无法计算，故A错误； B、无法计算，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误； 故选：C. 7．（2020·四川省初一期中）下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A. ，故本选项错误， B. 与不是同类项，不能合并，故本选项错误， C. ，正确， D. 与不是同类项，不能合并，故本选项错误． 故选C． 8．（2019·广西壮族自治区初一期中）下列运算正确的是(　　) A．5a﹣3a＝2 B．2a+3b＝5ab C．﹣(a﹣b)＝b+a D．2ab﹣ba＝ab 【答案】D 【解析】A．原式＝2a，错误； B．原式不能合并，错误； C．原式＝﹣a+b，错误； D．原式＝ab，正确． 故选D． 9．（2019·广西壮族自治区初一期末）下列化简正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A. ，故错误； B. ，故错误； C. 不能合并，故错误； D. ，正确 故选D. 10．（2020·江苏省初三其他）下列各式，运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A. ，该选项错误； B. ，不是同类项，不能合并，该选项错误； C. ，该选项错误； D. ，该选项正确； 11．（2020·贵州省初三学业考试）已知多项式合并后结果为，则的关系是____________________． 【答案】互为相反数 【解析】解：依题意得：， ∴， ∴的关系是互为相反数， 故答案为：互为相反数． 12．（2020·天津中考真题）计算的结果等于_______． 【答案】 【解析】解：原式==3x 故答案为：3x 13．（2020·广东省初三其他）计算：___________． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 考点3：整式的化简求值 典例：（2020·河北省初三三模）李华同学准备化简：（3x2－5x－3）－（x2＋2x□6），算式中“□”是“＋，－，×，÷”中的某一种运算符号． （1）如果“□”是“×”，请你化简：（3x2－5x－3）－（x2＋2x×6）； （2）当x＝1时，（3x2－5x－3）－（x2＋2x□6）的结果是－2，请你通过计算说明“□”所代表的运算符号． 【答案】（1）2x2－17x－3；（2）“□”代表“-”． 【解析】 解：（1）原式＝（3x2－5x－3）－（x2＋12x） ＝3x2－5x－3－x2－12x ＝2x2－17x－3； （2）当x＝1时，原式＝（3－5－3）－（1＋2□6）＝－2， 整理得：1＋2□6＝－3，即“□”代表“-”． 方法或规律点拨 本题考查了整式的加减以及有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 巩固练习 1．（2020·河北省初一期末）若a2+2ab=−10，b2+2ab=16，则多项式a2+4ab+b2与a2−b2的值分别为( ) A．6，26 B．－6，26 C．-6，－26 D．6，－26 【答案】D 【解析】∵a2+2ab=−10，b2+2ab=16， ∴a2+4ab+b2=（a2+2ab）+(b2+2ab)=-10+16=6， a2-b2=（a2+2ab）-(b2+2ab)=-10-16=-26， 故选D. 2．（2020·山东省初三二模）化简代数式的结果是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】 ． 故选：A． 3．（2018·内蒙古自治区初一期末）先化简，再求值：，其中； 【答案】，． 【解析】原式 将代入得：原式． 4．（2020·河北省初一期末）先化简，再求值：，其中x=1，y= 【答案】－2xy；3 【解析】 = =－2xy 将x=1，y=代入， 得，原式=－2×1×（）＝３ 5．（2020·安徽省合肥38中初一期中）先化简，再求值：（a+2b）2﹣2a（a﹣2b），其中a=1，b=﹣1． 【答案】6ab+4b2，-2 【解析】（a+2b）2﹣a（a﹣2b） =a2+4ab+4b2﹣a2+2ab =6ab+4b2， 当a=1，b=﹣1时，原式=6×1×（﹣1）+4×（﹣1）2=﹣6+4=﹣2． 6．（2020·安徽省初一期末）先化简，再求值：其中． 【答案】原式，3 【解析】解：原式 ， 当时，原式． 7．（2020·贵州省初三学业考试）先化简，再求值：，其中 【答案】，2 【解析】 ， 当时， 原式 ． 8．（2020·古田县第十中学初一期中）先化简再求值:(a-2)2-(a-1)·(a+1)+5a,其中a=-2. 【答案】3 【解析】解：原式=a2-4a+4-a2+1+5a=a+5, 把a=-2代入,得原式=a+5=-2+5=3. 9．（2020·四川省初一期末）先化简，再求值： ，其中x＝﹣2． 【答案】 代数式的值为： 【解析】解：原式 ＝5x2﹣4x2+2x﹣3﹣3x ＝x2﹣x﹣3， 当x＝﹣2时， 原式＝4+2﹣3＝3 10．（2020·河北省初三一模）嘉淇准备完成题目：化简：．发现系数印刷不清楚． 他把猜成请你化简：； 他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．＂通过计算说明原题中是几? 【答案】（1）-x2+6；（2）5 【解析】解：（1）(4x2+6x+8)-(6x+5x2+2) =4x2+6x+8-6x-5x2-2 =-x2+6 （2）设为m， (mx2+6x+8)-(6x+5x2+2)=mx2+6x+8-6x-5x2-2 =(m-5)x2+6 ∵结果是常数， ∴m=5． 考点4：图形中的整式加法 典例：（2020·山东省初一期末）小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为、、，为了美观，小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打包方式，所需丝带的长度分别为，，（不计打结处丝带长度） （1）用含、、的代数式分别表示，，； （2）方法简介： 要比较两数与大小，我们可以将与作差，结果可能出现三种情况： ①，则； ②，则； ③，则； 我们将这种比较大小的方法叫做“作差法”． 请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由． 【答案】（1）：2b+6c+4a，：2a+6c+4b，：4a+4b+4c；（2）最节省丝带的打包方式为②. 【解析】解：（1）丝带的长度为：2b+6c+4a； 丝带的长度为：2a+6c+4b； 丝带的长度为：4a+4b+4c； （2）∵a＞b＞c， ∴2a＞2b＞2c， ∴2a+2a+2b+2c＞2b+2a+2b+2c＞2c+2a+2b+2c， ∴4a+2b+2c＞2a+4b+2c＞2a+2b+4c， ∴4a+2b+6c＞2a+4b+6c， ∵4a+4b+4c-（4a+2b+6c）=2b-2c＞0 ∴4a+4b+4c＞2b+6c+4a， 所以最节省丝带的打包方式为②． 方法或规律点拨 本题考查了列代数式，主要是利用两个算式相减来比较大小进行解决问题． 巩固练习 1．（2020·河北省初三一模）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠的放在一个底面为长方形(长为m，宽为n)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设小长方形的长为a，宽为b， 上面的长方形周长：2（m-a+n-a），下面的长方形周长：2（m-2b+n-2b）， 两式联立，总周长为：2（m-a+n-a）+2（m-2b+n-2b）=4m+4n-4（a+2b）， ∵a+2b=m（由图可得）， ∴阴影部分总周长为4m+4n-4（a+2b）=4m+4n-4m=4n． 故选：A． 2．（2020·镇江市丹徒区江心实验学校初一月考）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图②）盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是( ) A．4m cm B．4n cm C．2(m＋n) cm D．4(m－n) cm 【答案】B 【解析】设小长方形的长为a，宽为b， 上面的长方形周长：2（m﹣a+n﹣a），下面的长方形周长：2（m﹣2b+n﹣2b）， 两式联立，总周长为：2（m﹣a+n﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b）， ∵a+2b＝m（由图可得）， ∴阴影部分总周长为4m+4n﹣4（a+2b）＝4m+4n﹣4m＝4n（厘米）． 故选：． 3．（2020·余姚市兰江中学初三学业考试）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（　　） A．a B．b C．AD D．AB 【答案】D 【解析】解：图1中阴影部分的周长＝2AD+2AB﹣2b， 图2中阴影部分的周长＝2AD﹣2b+4AB， l＝2AD+4AB﹣2b﹣(2AD+2AB﹣2b)＝2AD+4AB﹣2b﹣2AD﹣2AB+2b＝2AB． 故若要知道l的值，只要测量图中线段AB的长． 故选：D． 4．（2019·广西壮族自治区初一期中）如图，两个正方形的边长分别为5，3，两阴影部分的面积分别为，，设，则等于_________． 【答案】16 【解析】解：设空白处图形的面积为x， 根据题意得：a+x==25，b+x==9， 则（a+x）-（b+x）=a﹣b=16． 故答案为：16． 5．（2020·河北省育华中学初三二模）如图是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数． （1）填空：_________，_________，_________； （2）先化简，再求值： 【答案】（1）1，-2，-3；（2），-12 【解析】解：（1）3与c是对面；2与b是对面；a与−1是对面． ∵纸盒中相对两个面上的数互为相反数， ∴a＝1，b＝−2，c＝−3． 故答案为：1；-2；-3； （2） 当时， 原式 ． 6．（2018·云南省初一期末）如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，求新矩形的周长． 【答案】新矩形的周长是（4a-8b） 【解析】解：由已知得 新矩形的长是：a-b． 新矩形的宽是：a-3b 新矩形的周长是： = =4a-8b． 答：新矩形的周长是（4a-8b）