1.3 有理数的加减法讲练（解析版）（人教版）.docx

专题1.3 有理数的加减法 典例体系 一、知识点 1.有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即： ⑴当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b<a ⑶当b=0时，a+b=a 4.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和” （3）0表示一个确切的量。如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。 二、考点点拨与训练 考点1：有理数的加法运算 典例：（2020·山东省初三学业考试）计算结果正确的是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】 解：﹣|﹣3|+5 ＝﹣3+5 ＝2． 故选：B． 方法或规律点拨 此题主要考查了绝对值的代数意义及有理数的加法运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 巩固练习 1．（2020·辽宁省初三二模）比－2大1的数是（ ） A．－3 B．－1 C．3 D．1 【答案】B 【解析】 解：根据题意得：﹣2+1＝﹣1． 故选：B． 2．（2020·河南省初一期末）比-9大的数是（ ） A．1 B．19 C．-19 D．-1 【答案】A 【解析】 解：由题意得-9+10=1． 故选：A 3．（2019·广西壮族自治区初一期末）计算（﹣2）+（﹣4），结果等于（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 【答案】D 【解析】 解：（﹣2）+（﹣4）＝﹣6， 故选：D． 4．（2020·河北省初三学业考试）大米包装袋上的标识表示此袋大米重( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 +0.1表示比标准10千克超出0.1千克；—0.1表示比标准10千克不足0.1千克，所以此袋大米重 ， 故选A． 5．（2020·河南省淮滨县第一中学初三二模）计算-10+5的结果是（ ） A．5 B．-5 C．15 D．-15 【答案】B 【解析】 解：-10+5=-5 故答案为B． 6．（2020·四川省初一期末）如图所示，小华同学写作业时不慎将墨水滴在了数轴上，请你根据图中的有关数字，计算数轴上被墨迹盖住部分的整数和为_____． 【答案】-10 【解析】 解：∵污损的部分中的整数分别为-5，-4，-3，-1，0，1，2 ∴污损的部分中各个整数的和＝-5-4-3-1+0+1+2=-10， 故答案为：-10． 7．（2020·河北省初三一模）小盛和丽丽在学完了有理数后做起了数学游戏 （1）规定用四个不重复（绝对值小于）的正整数通过加法运算后结果等于 小盛：；丽丽：，问是否还有其他的算式，如果有请写出来一个，如果没有，请简单说明理由； （2）规定用四个不重复（绝对值小）的整数通过加法运算后结果等 小盛：；丽丽：；请根据要求再写出一个与他们不同的算式． （3）用（2）中小盛和丽丽的算式继续排列下去组成一个数列，使相邻的四个数的和都等于，小盛：，，，， 丽丽：，，，， 则______；_______．求丽丽写出的数列的前项的和． 【答案】（1）没有，理由见解析；（2）（答案不唯一）；（3），；数列的前项和为． 【解析】 解：（1）没有其他算式了， 四个小于不同的正整数最小的和为，要想得到和为，需要加， 则任何两个数加或者任意一个数加， 又因为数字不能重复， 所以只能在或4+1，3+2，或4+2； 故符合条件的算式有，；只有两个 （2）由题意可得：； （3）由题意得，x=12-（-3+8+9）=-2； y=12-（0+8+7）=-3； 由题意知，丽丽写出的数每4个数（-3，0，8，7）为一组依次重复出现， ∵19÷4=4…3， ∴丽丽写出的数列的前19项的和=12×4+（-3+0+8）=53． 考点2：有理数的减法运算 典例：（2019·浙江省初三二模）计算的结果是（　　） A．-3 B．3 C．-7 D．7 【答案】D 【解析】 解：． 故选：D． 方法或规律点拨 本题主要考查的是有理数的加法和减法法则，掌握法则是解题的关键． 巩固练习 1．（2020·内蒙古自治区初三一模）|1﹣2|+3的相反数是（　　） A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2 【答案】C 【解析】 解：|1﹣2|+3 ＝2﹣1+3 ＝4． ∵4的相反数为﹣4， ∴|1﹣2|+3的相反数是﹣4． 故选：C． 2．（2020·广西壮族自治区初三学业考试）计算1－2的结果是（ ） A．－3 B．3 C．－1 D．1 【答案】C 【解析】 本题考查实数的运算，. 3．（2020·河北省初三学业考试）在下列气温的变化中，能够反映温度上升的是( ) A．气温由到 B．气温由到 C．气温由到 D．气温由到 【答案】A 【解析】 解：A．气温由到，上升了2-（-3）=5（℃），符合题意； B．气温由-1℃到-6℃，上升了-6-（-1）=-5（℃），不符合题意； C．气温由到，上升了5-（-1）=6（℃），不符合题意； D．气温由到，上升了-1-4=-5（℃），不符合题意； 故选：A． 4．（2020·天津初三二模）计算的结果等于 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：5-（-3） =5+3 =8， 故选：B． 5．（2020·山东省初三三模）若（ ）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（ ） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【答案】B 【解析】根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3，故选B． 6．（2020·天津初三二模）计算的结果等于（ 　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故答案选A 7．（2019·广西壮族自治区初一期中）下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A. ，错误； B. ，错误； C. ，错误； D. ，正确． 所以答案为：D． 8．（2020·重庆初三）把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a=23，经过第2020次操作后得到的是(　　) A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11 【答案】A 【解析】解：第1次操作，a1=|23+4|﹣10=17； 第2次操作，a2=|17+4|﹣10=11； 第3次操作，a3=|11+4|﹣10=5； 第4次操作，a4=|5+4|﹣10=﹣1； 第5次操作，a5=|﹣1+4|﹣10=﹣7； 第6次操作，a6=|﹣7+4|﹣10=﹣7； 第7次操作，a7=|﹣7+4|﹣10=﹣7； … 第2020次操作，a2020=|﹣7+4|﹣10=﹣7． 故选：A． 考点3：有理数的加减混合运算 典例：（2019·山东省初一期中）明明同学计算（-4）-1-（-18）+（-13）时，他是这样做的： （1）明明的解法从第几步开始出现错误，改正后并计算出正确的结果： （2）仿照明明的解法，请你计算：（-102）-（-96）+54+（-48）． 【答案】（1）明明的解法从第三步开始出现错误，正确结果为﹣；（2）． 【解析】 解：（1）明明的解法从第三步开始出现错误， 改正：原式＝ ＝ ＝[（﹣4）+（﹣1）+18+（﹣13）]+[] ＝0+（﹣） ＝﹣； （2） ＝ ＝ ＝[（﹣102）+96+54+（﹣48）]+[] ＝0+ ＝． 方法或规律点拨 本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数加减混合运算的运算法则以及加法运算律． 巩固练习 1．（2020·四川省初一期中）在数轴上有理数a，分别用点A，A1表示，我们称点A1是点A的“差倒数点”．已知数轴上点A的差倒数点为点A1；点A1的差倒数点为点A2；点A2的差倒数点为点A3…这样在数轴上依次得到点A，A1，A2，A3，…，An．若点A，A1，A2，A3，…，An在数轴上分别表示的有理数为a，a1、a2、a3、…，an．则当a时，代数式a1+a2+a3+…+a2020的值为______． 【答案】 【解析】 解：∵a， ∴， ∴， ∴， ∴， …， ∵2020÷3＝673……1， ∴ ∴a1+a2+a3+…+a2020 故答案为：． 2．（2019·广西壮族自治区初一期中）计算： （1）（2） 【答案】（1）-4；（2） 【解析】 解：（1）原式 （2）原式 3．（2019·广西壮族自治区初一期中）计算：（1） （2） 【答案】（1）-2；（2）-10 【解析】解：（1） = = （2） 4．（2020·四川省初一期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|=6+7；|7﹣6|=7﹣6；|6﹣7|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7+21|=______；②|﹣+0.8|=______；③=______； （2）用合理的方法进行简便计算： （3）用简单的方法计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|． 【答案】（1）①7+21；② ；③；（2）9；（3）． 【解析】 解：（1）①|7+21|=21+7； 故答案为：21+7； ②； 故答案为：； ③= 故答案为：； （2）原式==9 （3）原式 = = = 5．（2020·辽宁省太和区第二初中初一月考）综合计算 （1）12-(-18)+(-7)-15 (2) （3）(-8)-(-15)+(-9)-(-12) （4） 【答案】（1）8；（2）21；（3）10；（4）-1 【解析】解：（1） ； （2） ； （3）(-8)-(-15)+(-9)-(-12) =-8+15-9+12 =(15+12)-(8+9) =27-17 =10； （4） ． 6．（2020·辽宁省太和区第二初中初一月考）计算题 （1）43 +（-77）+27 +（-43） （2）（-3）+40 +（-32）+（-8） （3）（-72）-（-37）-（-22）-17 （4）23- (-76) - 36 - (-105) 【答案】(1)-50； (2)-3； (3)-30； (4)168； 【解析】 解：（1）43 +（-77）+27 +（-43）=43-77+27-43=-7-43-50； （2）（-3）+40 +（-32）+（-8）=-3+40-32-8=5-8=-3； （3）（-72）-（-37）-（-22）-17=-72+37+22-17=-13-17=-30； （4）23- (-76) - 36 - (-105)=23+76-36+105=63+105=168； 7．（2020·南丹县八圩瑶族乡初级中学初一月考）计算： （1）16+(-25)+24+(+25)；（2） 【答案】（1）40；（2）0 【解析】 （1）原式=16+24+[(-25)+(+25)]=40+0=40； （2）原式=(+)+()=2+(－2)=0 考点4：有理数加减法在生活中的应用 典例：（2020·珠海市斗门区实验中学初一期中）老李上周五以收盘价每股8元买入某公司股票10000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）： 星期 一 二 三 四 五 股票涨跌 -0.1 0.35 -0.15 -0.4 0.5 （1）星期三的收盘价比老李的买入价涨或跌了多少元？ （2）本周内该股票的最高收盘价出现在星期几？是多少元？ （3）已知老李买进股票时要付成交额1‰的手续费，卖出时还需要付成交额的1‰的印花税和1‰的手续费．如果老李在星期五收盘前将该股票全部卖出，则他的收益情况如何？ 【答案】（1）涨了0.1元（2） 星期二，8.25元（3）他的收益为1756元． 【解析】 （1） 答：星期三的收盘价比老李的买入价涨了0.1元. （2） 星期一的收盘价为：8-0.1=7.9（元） 星期二的收盘价为：7.9+0.35=8.25（元） 星期三的收盘价为：8.25-0.15=8.1（元） 星期四的收盘价为：8.1-0.4=7.7（元） 星期物理的收盘价为：7.7+0.5=8.2（元） ∴本周内该股票的最高收盘价出现在星期二，是8.25元. （3）星期五收盘价：8-0.1+0.35-0.15-0.4+0.5=8.2(元) 每股盈利：（元） 交易费用：1‰+2‰=80+164=244（元） 实际盈利：2000-244=1756（元）． 方法或规律点拨 本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． 巩固练习 1．（2019·山东省初一期中）小嘉全班在操场上固坐成一圈。若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第27人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第31人．求小嘉班上共有多少人（ ） A．56 B．57 C．58 D．59 【答案】A 【解析】 解：根据题意小嘉和班长都数了两次， ∴小嘉班上共有：27+31﹣2=56(人)， 故选：A． 2．（2019·河南省初一期中）某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下（向东为正，单位：米）：1000，﹣1200，1100，﹣800，1400，该运动员跑的路程共为（ ） A．1500米 B．5500米 C．4500米 D．3700米 【答案】B 【解析】 该运动员跑的路程共为：|1000|+|﹣1200|+|1100|+|﹣800|+|1400|=5500米． 故选B． 3．（2020·北京初三一模）某景区乘坐缆车观光游览的价目表如下： 缆车类型 两人车（限乘2人） 四人车（限乘4人） 六人车（限乘6人） 往返费用 80元 120元 150元 某班20名同学一起来该景区游玩，都想坐缆车观光游览，且每辆缆车必须坐满，那么他们的费用最低为（　　） A．530元 B．540元 C．580元 D．590元 【答案】A 【解析】 解：由表格可知， 六人车每个人的价格最低， 故费用最低时，六人车三辆，两人车一辆， 150×3+80 ＝450+80 ＝530（元）， 即最低费用为530元． 故选：A． 4．（2020·江苏省初二期中）如图是某市连续5天的天气情况，最大的日温差是________℃． 【答案】10 【解析】 由图可得气温差距最大的一天为5月28日， 温差为：25-15=10， 故答案为：10． 5．（2020·北京初三二模）某商场在端午节前以1元/个的价格购进1000个粽子，现有以下三种销售方式：不加工直接卖，对产品进行粗加工后再卖，对产品进行精加工后再卖．受加工能力和气温影响，粗加工一天只能加工200个，细加工一天只能加工100个，两种加工不能同时进行，且最多加工三天． 加工方式 加工成本 销售单位 售价 直接卖 0 个 2元/个 粗加工 1元/个 包装袋（一袋5个） 30元/袋 精加工 2.5元/个 礼盒（一盒10个） 85元/盒 假设所有粽子均能全部售出，则以下销售方式中利润最大的是____________． 方案一：不加工直接销售； 方案二：三天全部进行精加工，剩下的直接卖； 方案三：两天精加工，一天粗加工，剩下的直接卖； 方案四：两天粗加工，一天精加工，剩下的直接卖． 【答案】方案四 【解析】 方案一利润： （元）； 方案二利润： （元）； 方案三利润：（元）； 方案四利润：（元）； 故应该选择方案四利润最大， 故答案为：方案三． 6．（2019·山东省初一期中）下表给出了某班6名同学身高情况（单位：cm）． （1）完成表中空的部分； （2）他们的最高与最矮相差多少？ （3）他们的平均身高是多少？ 【答案】（1）169，164，171，0，+5；（2）8cm；（3）168cm． 【解析】 解：（1）下表给出了某班6名同学身高情况（单位：cm） 姓名 A B C D E F 身高 165 169 167 164 171 172 身高与班级平均身高的差值 ﹣2 +2 0 ﹣3 +4 +5 故答案为：169，164，171，0，+5； （2）根据题意得：172﹣164＝8（cm）， 则他们的最高与最矮相差8cm； （3）他们的平均身高为×（﹣2+2+0﹣3+4+5）+167＝1+167＝168（cm）． 7．（2019·广西壮族自治区初一期末）某工厂一周计划每天生产某产品50吨，由于工人实行轮休，每天上班人数不一定相等，某周实际每天生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的吨数记为正数，减少的吨数记为负数） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/吨 -2 +3 +7 +4 -1 -5 -8 （1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少吨？ （2）本周总生产量是多少吨？若本周总生产的产品全部由30辆货车一次性装载运输离开工厂，则平均每辆货车大约需装载多少吨？（结果取整数） 【答案】（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产15吨；（2）总产量348吨，约平均每车运12吨． 【解析】 解：（1）由题意得，生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产：7－(－8)=7+8=15（吨）； （2）－2+3+7+4－1－5－8 =－16+14 =－2， 总产量：50×7+(－2)=348（吨）， 平均每辆货车装载：348÷30≈12（吨）． 答：生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产15吨，总产量348吨，约平均每车运12吨． 8．（2019·河南省初一期中）某班10名学生在一次数学测验中的成绩以90分为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录如下： －7，－10， ＋9，＋2，－1，＋5，－8，＋10，＋4，＋9． （1）最高分和最低分各是多少? （2）求他们的平均成绩． 【答案】（1）90,80；（2）91．3． 【解析】 解：（1）∵在记录结果中，+10最大，-10最小， ∴90+10=100（分），90-10=80（分）， ∴最高分为100分，最低分为80分； （-7-10+9+2-1+5-8+10+4+9）÷10+90=13÷10+90=91．3（分） ∴他们的平均成绩为91．3分． 考点：正负数的意义；有理数的混合运算． 9．（2019·曲靖市沾益区播乐乡罗木中学初一月考）2017年国庆，全国从1日到７日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中，闻名于世的福州三坊七巷，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） +3.1 +1.78 －0.58 －0.8 －1 －1.6 －1.15 （1）10月1日的人数为 万人． （2）七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人． （3）请问黄山风景区在这八天内一共接待了多少游客？ 【答案】（1）4；（2）2，5.78，7，0.65；（3）23.13万 【解析】 解：（1）10月1日的人数为：0.9+3.1=4万人， 答：10月1日的人数是4万人； （2）1日的人数为：0.9+3.1=4万人， 2日的人数为：4+1.78=5.78万人， 3日的人数为：5.78-0.58=5.2万人， 4日的人数为：5.2-0.8=4.4万人， 5日的人数为：4.4-1=3.4万人， 6日的人数为：3.4-1.6=1.8万人， 7日的人数为：1.8-1.15=0.65万人， 所以七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到5.78万人．游客人数最少的是10月7日，达到0.65万人． （3）0.9+4+5.78+5.2+4.4+3.4+1.8+1.65=23.13万人 所以黄山风景区在这八天内大约一共接待了23.13万游客． 10．（2019·山西省初一期中）智能折叠电动车是在传统电动车的基础上，根据消费者需求生产的一种新型电动车．某智能折叠电动车公司计划每周生产1400辆，平均每天生产200辆．由于各种原因实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周智能折叠电动车生产情况（超计划生产量为正、不足计划生产量为负，单位：辆） 星期 一 二 三 四 五 六 七 生产情况 （1）根据记录可知前三天共生产智能折叠电动车_______辆； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆； （3）若该公司实行按生产的智能折叠电动车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产一辆智能折叠电动车可得人民币60元，那么该公司工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)599辆；(2)26辆；(3)84540元. 【解析】解：(1) “＋”表示实际每天比计划每天多生产，“﹣”表示实际每天比计划每天少生产， 故第一天实际生产205辆， 第二天实际生产198辆， 第三天实际生产196辆， ∴前三天共生产智能折叠电动车为：205+198+196=599辆 故答案为：599辆. (2)一周每天的产量分别是：205，198，196，213，190，216，191 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产216-190=26辆. 故答案为：26辆. (3)一周生产电动车的总量数为：205+198+196+213+190+216+191=1409辆 故一周工人工资的总费用为：1409×60=84540元. 故答案为：84540元.