5.4 平行线的性质及平移（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(26870443).doc

第五章 相交线与平行线 5.4 平行线的性质及平移（能力提升） 【要点梳理】 要点一、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释： （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 要点二、两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离． 要点诠释： （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． (2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 要点三、命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 要点诠释： （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 要点诠释： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 要点四、平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释： （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2. 性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 要点诠释： （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． (2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3. 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 【典型例题】 类型一、平行线的性质 例1、如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（　　） 　A．65° B．115° C．125° D． 130° 【答案】B． 【解析】 解：∵AB∥CD， ∴∠C+∠CAB=180°， ∵∠C=50°， ∴∠CAB=180°－50°=130°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAB=65°， ∵AB∥CD， ∴∠AED=180°﹣∠EAB=180°－65°=115°． 【总结升华】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键． 举一反三： 【变式】如图所示，已知a∥b∥c，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是( ) A．75° B．65° C．55° D．50° 【答案】B 类型二、两平行线间的距离 例2、下面两条平行线之间的三个图形，图 ③的面积最大，图 ②的面积最小． 【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小. 【答案】图3，图2 【解析】 解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4； 所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小. 【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案. 举一反三： 【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米. 【答案】35 类型三、命题 例3.判断下列语句是否是命题，如果是，请写出它的题设和结论． (1)同位角相等； (2)对顶角相等； （3）画一条5厘米的线段. 【答案与解析】 解：（1）是命题，这个命题的题设是：如果两个角是同位角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个错误的命题，即假命题． （2）是命题，这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个正确的命题，即真命题． （3）不是命题，它不是判断一件事情的语句． 【总结升华】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断，如疑问句、反问句等不是命题，值得注意的是错误的命题也是命题．判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 举一反三： 【变式】下列命题是假命题的是（　　） A．锐角小于90° B．平角等于两直角 C．若a＞b，则a2＞b2 D．若a2≠b2，则a≠b 【答案】C 类型四、平移 例4.如图所示，①、②两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到? 【答案与解析】 解：图①DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，无论怎样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形．图②符合平移的特征，三角形PQR沿射线PM方向移动PM长即可得到三角形MNO．所以，图②中一个三角形可以经过另一个三角形平移得到． 【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否则就不是平移变换． 举一反三： 【变式】如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为　 　． 【答案】20cm． 解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF， ∴CF=AD=2cm，AC=DF， ∵△ABC的周长为16cm， ∴AB+BC+AC=16cm， ∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD =AB+BC+AC+CF+AD =16cm+2cm+2cm =20cm． 例5、如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积． 【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解． 【答案与解析】 解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形， 显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)． 【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解． 举一反三： 【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( ) A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2 【答案】B 类型五、平行的性质与判定综合应用 例6、如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填入 “试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来． 已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________． 【答案与解析】 解：三个论断分别可以组成①②③；①③②；②③①三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可． 以①②③为例，说明如下 已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试说明BC∥EF． 理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD． 又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF． 【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确． 举一反三： 【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ . 【答案】115° 例7、如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点. （1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝ ； （2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的结论； （3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的结论. 【答案与解析】 解：（1）75°； （2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND 证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB. 又∵ AB∥CD，∴ ∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND. ∴ ∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND. （3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N. 【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决. 举一反三： 【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是( ) ． A．120° B．130° C．140° D．150° 【答案】D；提示：如图，过点B作BE∥AM． 【提升练习】 一、选择题 1. 若∠1和∠2是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2的度数是 ( ) A．45° B．135° C．45°或135° D．不能确定 2. 如图，在平行线之间放置一块直角三角板，三角板的顶点分别在直线上，则∠1+∠2的值为（　　） 　A．90° B． 85° C． 80° D． 60° 3．如图所示，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝ 150°，则∠C的度数为( ) A．150° B．130° C．120° D．100° 4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是( ) A．∠1+∠2-∠3＝90° B．∠2+∠3-∠1＝180° C．∠1-∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180° 5. 如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，且交EF于点O，则与∠AOE相等的角有( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（　　 ） A．23° B．16° C．20° D．26° 7. 如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，把线段EF向右平移3个单位，向下平移1个单位得到线段GH，则阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( ) A．3:4 B．5:8 C．9:16 D．1:2 8. 有下列语句中，真命题的个数是( ) ①画直线AB垂直于CD；②若|x|＝|y|，则x2＝y2． ③两直线平行，同旁内角相等；④直线a、b相交于点O；⑤等角的余角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．如图所示，直线∥．直线与直线，分别相交于点、点，，垂足为点，若，则＝ _____，直线之间的距离_____． 10.如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相较于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相较于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF＝________度． 11. 如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3=　　． 12. 如图，AB∥CD，CB平分∠ABD．若∠C=40°，则∠D的度数为_______. 13.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，将长方形ABCD沿着AB方向平移________cm，才能使平移后的长方形HEFG与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24cm2． 14.如图，已知ED∥AC，DF∥AB，有以下命题： ①∠A＝∠EDF；②∠1+∠2＝180°； ③∠A+∠B+∠C＝180°；④∠1＝∠3． 其中，正确的是________．(填序号) 三、解答题 15．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD与M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠MGC的度数． 16．已知 如图(1)，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴ ∠ACD＝∠1+∠2＝∠A+∠B．这是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数． 17．对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成真命题，试写出所有的真命题． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】D； 【解析】本题没有给出两条直线平行的条件，因此同旁内角的数量关系是不确定的. 2. 【答案】A． 【解析】过点C作CD∥，则∠1=∠ACD．因∥ ，得CD∥，∴∠2=∠DCB. 又∠ACD＋∠DCB=90°，则∠1+∠2=90°. 3. 【答案】C； 【解析】解：如图， ∠3＝30°，∠1＝∠2＝30°，∠C＝180°－30°－30°＝120°. 4. 【答案】B； 【解析】反向延长射线ST交PR于点M,则在△MSR中， 180°－∠2+180°－∠3+∠1＝180°，即有∠2+∠3-∠1＝180°. 5. 【答案】A 【解析】与∠AOE相等的角有：∠DCA，∠ACB，∠COF，∠CAB，∠DAC． 6. 【答案】C； 【解析】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°， ∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°—∠FEC＝26°， ∴∠BCE＝∠BCD—∠ECD＝46°—26°＝20°． 7. 【答案】B； 【解析】，， 所以． 8. 【答案】A； 【解析】②⑤为真命题． 二.填空题 9. 【答案】32°，线段AM的长； 【解析】因为，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因为AM⊥，所以∠2＋∠ABM＝90°，所以∠2＝90°－58°＝32°． 10.【答案】70； 【解析】∵AB∥CD，得∠EFD=180－∠FEB；由EP⊥EF， FP是∠EFD的角平分线， ∴∠EFD=180°－50°－90°=40°，∴∠EFP=20°，∴∠EPF=70°. 11.【答案】60°； 【解析】解：如图所示：∵l1∥l2，∠2=65°，∴∠6=65°，∵∠1=55°，∴∠1=∠4=55°，在△ABC中，∠6=65°，∠4=55°，∴∠3=180°﹣65°﹣55°=60°． 12.【答案】100° 【解析】∵AB∥CD，∠C=40°，∴∠ABC=40°，∵CB平分∠ABD，∴∠ABD=80°，∴∠D=100°． 13.【答案】6； 【解析】重叠部分长方形的一边长为6cm，另一边长为：24÷6＝4 cm，所以平移的距离为：AE＝10－4＝6 cm. 14.【答案】①②③④； 【解析】由已知可证出：∠A＝∠1＝∠3＝∠EDF，又∠EDF与∠1和∠3互补. 三.解答题 15.【解析】 解：∵∠EMB=50°， ∴∠BMF=180°﹣50°=130°． ∵MG平分∠BMF， ∴∠BMG=∠BMF=65°． ∵AB∥CD， ∴∠MGC=∠BMG=65°． 16.【解析】 解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E． ∴ ∠A+∠2＝180°，∠B+∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． 又∵ ∠3＝∠1+∠C， ∴ ∠A+∠B+∠C+∠1+∠2＝360°， 即∠A+∠B+∠C+∠ADC＝360°． 17.【解析】 解：(1)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；(2)如果a∥b，a∥c，那么b∥c； (3)如果b∥c，a∥c，那么a∥b；(4)如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c； (5)如果b∥c，a⊥c，那么a⊥b；(6)如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c．