8.2二元一次方程（组）的解法Ⅰ-代入法（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）(27700939).doc

第八章 二元一次方程（组） 8.2 二元一次方程（组）的解法Ⅰ——代入法（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 要点二、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 要点诠释： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便． 【典型例题】 类型一、用代入法解二元一次方程组 例1．用代入法解方程组： 【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中x用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便． 【答案与解析】 解：由①得 ③ 将③代入② ，解得． 将代入③，得x＝3 所以原方程组的解为． 【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”． 举一反三： 【变式】m 取什么数值时，方程组的解 （1）是正数； （2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解. 【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数； （2）m=-3，-2，0，. 例2.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组： 解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1． 把x=1代入②得，y=0． 所以方程组的解为 请用同样的方法解方程组：． 【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可． 【答案与解析】 解：由①得，2x﹣y=2③， 把③代入②得，1+2y=9， 解得：y=4， 把y=4代入③得，x=3， 则方程组的解为 【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算． 举一反三： 【变式1】解方程组 【答案】 解： 将①代入②：， 得 y=4， 将y=4代入①：2x－12=2 得 x=7， ∴原方程组的解是. （2） 解：由②，设x=4，y=3 代入①：4－4·3=5 4－12=5 －8=5 ∴，， ∴原方程组的解为. 类型二、方程组解的应用 例3.如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值． 【答案】B． 【解析】 解：， 由①得y=3-x ③ 将③代入②得：6x=12， 解得：x=2， 将x=2代入②得：10﹣y=9， 解得：y=1， 将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8， 解得：m=2． 【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 例4.已知和方程组的解相同，求的值． 【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y＝-6和3x-5y＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值．再将x、y的值代入ax-by＝-4，bx+ay＝-8中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值． 【答案与解析】 解：依题意联立方程组 ①+③得5x＝10，解得x＝2． 把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以， 又联立方程组，则有， 解得． 所以(2a+b)2011＝-1． 【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键. 举一反三： 【变式】小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值． 【答案】 解：把代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2， 解得：c=﹣5， 把与分别代入ax+by=2，得， 解得：， 则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2． 【巩固练习】 一、选择题 1．解方程组的最好方法是（ ）. A．由①得再代入② B．由②得再代入① C．由①得再代入② D．由②得再代入① 2. 若二元一次方程式组的解为x=a，y=b，则a+b等于（　　） A． B． C． D． 3．关于x，y的方程，k比b大1，且当时，，则k，b的值分别是（ ）. A．， B．2，1 C．-2，1 D．-1，0 4．已知和都是方程y＝ax+b的解，则（ ）. A． B． C． D． 5．如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x-5y-30＝0的一个解，那么a的值是（ ）. A．3 B．2 C．7 D．6 6．一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为x海里/时，水流速度为y海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）. A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，用含的式子表示，其结果是_______． 8．若方程组的解为，则点P（a，b）在第　　象限． 9．方程组的解是　 　． 10．若与是同类项，则x＝ ________，y＝ ________． 11．已知方程组的解也是方程 的解，则a＝ _____，b＝ ____ ． 12.关于的二元一次方程组中，与方程组的解中的相等，则的值为 . 三、解答题 13．用代入法解方程组： （1） （2） 14．研究下列方程组的解的个数： （1）； （2）； （3）. 你发现了什么规律？ 15．若方程组的解是，求（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）． 16.甲、乙两位同学一起解方程组，甲正确地解得，乙仅因抄错了题中的c，解得，求原方程组中a、b、c的值． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C； 2.【答案】A． 【解析】把x=a，y=b代入方程组得：， 将b=a代入5a-b=5,解得：，∴a+b=. 3. 【答案】A； 【解析】将时，代入得 ①，再由k比b大1得 ②，①②联立解得，. 4. 【答案】B； 【解析】将和分别代入方程y＝ax+b得二元一次方程组：，解得. 5. 【答案】B； 【解析】由方程组可得，代入方程，即可求得. 6. 【答案】D. 二、填空题 7. 【答案】； 8.【答案】四. 【解析】将x=2，y=1代入方程组得：，解得：a=2，b=﹣3， 则P（2，﹣3）在第四象限． 9.【答案】； 【解析】解：解方程组， 由①得：x=2﹣2y ③， 将③代入②，得：2（2﹣2y）+y=4， 解得：y=0， 将y=0代入①，得：x=2， 故方程组的解为， 故答案为：． 10．【答案】2， -1； 【解析】由同类项的定义得方程组，解之便得答案. 11.【答案】3， 1； 【解析】由题意得：，解得，代入 ，得关于a、b的方程组，解得 12. 【答案】； 【解析】解：解关于的方程组得，当时，；当时，. 三、解答题 13.【解析】 解：（1） 将②代入①得，，得， 将代入①得，， 所以原方程组的解是 . （2） 把3x+2y看作整体，直接将①代入②得，，解得， 将代入①得， 所以原方程组的解是． 14.【解析】 解：（1）无解； （2）唯一一组解； （3）无数组解. 规律：当两个一次方程对应项系数不成比例时，方程组有唯一一组解，如（2）； 当两个一次方程对应项系数成比例时，方程组有无数组解，如（3）； 当两个一次方程对应项系数成比例，但比值不等于两个常数项对应的比时，方程组无解，如（1）. 15.【答案】 解：将代入得， 解得：． ∵（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）=2b（a+b）， ∴当a=，b=时，原式=2b（a+b）=2×=6． 16.【解析】解：把代入到原方程组中，得可求得c=﹣5， 乙仅因抄错了c而求得，但它仍是方程ax+by=2的解， 所以把代入到ax+by=2中得2a﹣6b=2，即a﹣3b=1． 把a﹣3b=1与a﹣b=2组成一个二元一次方程组， 解得． 故a=，b=，c=﹣5．