4.2 直线、射线、线段讲练（原卷版）（人教版）.docx

专题4.2 直线、射线、线段 典例体系 一、知识点 1.立体图形与平面图形 1、直线、射线、线段的比较 名称 不同点 联系 共同点 延伸性 端点数 线段 不能延伸 2 线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线 都是直的线 射线 只能向一方延伸 1 直线 可向两方无限延伸 无 2、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示，如点A 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l,射线AB 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段AB 3、点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 4、线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。 （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 （5）线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法 5、线段的中点： 点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。 M A B M是线段AB的中点 AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM） 6、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 考点1：根据几何语言画图 典例：（2020·全国初一课时练习）如图，已知平面上有四个村庄，用四个点，，，表示． （1）连接，作射线，作直线与射线交于点； （2）若要建一供电所，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所应建在何处？请画出点的位置并说明理由． 方法或规律点拨 本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短． 巩固练习 1．（2020·湖南涟源·初一期末）平面上有条直线，则交点可能是（ ） A．个 B．个或个 C．个或个或个 D．个或个或个或个 2．（2020·全国初一课时练习）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m＋n等于( ) A．12 B．16 C．20 D．以上都不对 3．（2019·浙江省临海市大成中学初一月考）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（ ）． A．1 B．2 C．1或2或3 D．0或1或2或3 4．（2020·巨野县育才实验学校初一月考）图中直线PQ、射线AB、线段MN能相交的是（ 　 ） A． B． C． D． 5．（2020·新疆生产建设兵团第六师教育局教学研究室期末）根据下列语句画图并计算． （1）作线段AB ，作射线AC，作直线BD （2）作线段AB ，在线段AB的延长线上取点C，使BC=2AB ，M是AC的中点，若AB=5厘米，求BM的长． 6．（2020·全国课时练习）根据下列语句画出图形． （1）点在直线上，点在直线外； （2）过点画射线； （3）画一条与线段相交的直线． 7．（2020·全国课时练习）按下列语句画图，画线段厘米，延长到点C，使厘米，再延长到点D，使厘米，取点E为中点，取点F为中点．画图后求的长度． 8．（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）如图，平面上有四个点，A,B,C,D根据下列语句画图 （1）作射线BC （2）画线段CD （3）连接AC,并延长至E，使CE=AC 9．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图，已知同一平面内的四个点A、B、C、D，根据要求用直尺画图． （1）画线段AB，∠ADC； （2）找一点P，使P点既在直线AD上，又在直线BC上； （3）找一点Q，使Q到A、B、C、D四个点的距离和最短． 10．（2020·全国初一课时练习）如图，平面上有三点，，，按下列要求画出图形（在原图上画） （1）画直线； （2）画射线； （3）画线段． 考点2：直线、射线、线段的数量 典例：（2020·江西大余·初一期末）如图: (1)试验观察: 如果经过两点画直线,那么: 第①组最多可以画____条直线;  第②组最多可以画____条直线;  第③组最多可以画____条直线.  (2)探索归纳: 如果平面上有n(n≥3)个点,且任意3个点均不在1条直线上,那么经过两点最多可以画____条直线.(用含n的式子表示)  (3)解决问题: 某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,那么共握____次手. 方法或规律点拨 本题考查了图形的变化类问题，运用了从特殊到一般的数学思想，解题的关键是仔细的观察并找到其中的规律． 巩固练习 1．（2020·全国课时练习）在直线上有A、B、C、D四点，以这四点为端点的线段有几条？把它们写出来． 2．（2020·全国初一课时练习）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，直线上有两点A与B，图中有线段___条； （2）拓展延伸： 图2直线上有A，B，C三个点，以A为端点，有线段AB，线段AC；同样以C为端点，有线段CA，线段CB；以B为端点，有线段BA，线段BC，去除重复线段，图2共有___条线段； 同样方法探究出图3中有_____条线段； (3)探索归纳： 如果直线上有n(n为正整数)个点，则共有________条线段．(用含n的式子表示) (4)解决问题： ①中职篮（CBA）2018——2019赛季，比赛队伍数仍然为20支，截止2018年12月14日，赛程已经过半（每两队之间都赛了一场），请你帮助计算一下目前一共进行了多少场比赛？ ②2018年11月30日，赤峰至京沈高铁喀左站客运专线路基工程全部完成，将正式进入轨道铺设阶段，预计2020年7月1日通车，北京至赤峰有北京星火站，顺义西站，怀柔南站，密云站，兴隆西站，安匠站，承德南站，承德县北站，平泉北站，牛河梁站，喀左站，宁城站、平庄西站、赤峰西站等共计14个车站，请你帮助计算一下，应该设计多少种高铁车票？ 3．（2019·山东聊城二中初一月考）如图，，点在上，且是的中点. （1）图中共有几条线段，分别表示出这些线段； （2）求的长. 4．（2019·辽宁大东·初一期中）读图，回答问题 （1）在线段上取一点，共有 条线段； （2）在线段上取两点，共有 条线段； （3）在线段上取三点，共有 条线段； （4）在线段上取个点，共有 条线段． 5．（2019·四川甘孜·初一月考）① 如图（1），直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线：A1A2、A2A1，有1条线段：A1A2； ② 如图（2），直线l上有3个点，则图中有几条可用图中字母表示的射线，有几条线段，并分别用图中字母表示出来； ③ 如图（3），直线l上有n个点，则图中有多少条可用图中字母表示的射线，有多少条线段，分别用含n的代数式表示出来； ④ 应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有8个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需多少场比赛？ 6．（2020·山东汶上·初一期末）（1）（观察思考）： 如图，线段上有两个点,图中共有_________条线段； （2）（模型构建）： 如果线段上有个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有___________条线段； （3）（拓展应用）： 某班8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行__________场比赛． 7．（2020·山西吕梁·初一期末）已知平面上点，，，（每三点都不在一条直线上）. （1）经过这四点最多能确定 条直线. （2）如图这四点表示公园四个地方，如果点，在公园里湖对岸两处，，在湖面上，要从到筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？ 考点3：线段的和与差 典例：（2020·湖北枣阳·初一期末）（1）如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于． （2）点A，B，C在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm．求AC的长． 方法或规律点拨 本题主要考查线段的和与差，找准线段之间的关系是解题的关键． 巩固练习 1．（2020·全国单元测试）根据下列语句画图并计算． （1）作线段，在线段的延长线上取点，使，是线段的中点，若，求线段的长． （2）作线段，在线段的延长线上取点，使，是线段的中点，若，求线段的长． 2．（2019·青州市邵庄初级中学月考）已知线段a，b，求作线段EF＝2a﹣b． 3．（2019·青州市邵庄初级中学月考）点B在直线AC上，AB＝10，BC＝6，求线段AC的长． 4．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）按照要求尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图所示，已知线段和线段，求作线段，使线段． 5．（2019·河北泊头·初一期末）如图，已知线段AB． (1)用没有刻度的直尺和圆规按所给的要求作图：点C在线段BA的延长线上，且CA＝2AB； (2)在(1)中，如果AB＝28 cm，点M为线段BC的中点，求线段AM的长． 6．（2020·上海市静安区实验中学单元测试）根据所示图形填空，理解截取、顺次截取的意义，熟练掌握基本画图语句． 已知线段a、b，画出一条线段，使它等于a+b． 在射线OP上顺次截取（ ）=a，（ ）=b，线段（ ）就是所要画的线段． 7．（2020·广东顺德·初一期末）已知线段m、n． （1）尺规作图：作线段AB，满足AB＝m+n（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，点O是AB的中点，点C在线段AB上，且满足AC＝m，当m＝5，n＝3时，求线段OC的长． 考点4：与线段的有关计算 典例：（2020·河北复兴·初三月考）如图，在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为4. （1）求的长； （2）若把图中数轴的单位长度扩大30倍，点A，点B表示的数也相应发生变化，已知点P是线段的三等分点，求点P表示的数. 方法或规律点拨 此题考查数轴上两点之间的距离的求法，利用距离确定点的坐标.注意点P是线段AB的三等分点，线段的三等分点有两个，当没有明确是哪一个点时要分两种情况解答，避免遗漏. 巩固练习 1．（2020·全国课时练习）如图，是线段的中点，点，把线段三等分．已知线段的长为1.5，求线段的长． 2．（2020·全国课时练习）如图所示，线段被点M分成2:3两段，且被点N分成4:1两段，已知厘米，求的长． 3．（2018·湖南南县·初一期末）如图，C是线段AB的中点，D是线段AB的三等分点，如果CD=2cm，求线段AB的长. 4．（2019·河南洛阳·初一期末）已知如图，点是线段上的两点，点和点分别在线段和线段上．已知，，，时，求的长度． 5．（2020·浙江滨江·初一期末）已知，P是线段AB的中点，点C是线段AB的三等分点，线段CP的长为4 cm. （1）求线段AB的长； （2）若点D是线段AC的中点，求线段DP的长. 8．（2020·重庆南川·初一期末）如图，数轴上点、表示的有理数分别为－10、5，点是射线上的一个动点（不与点、重合），点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点. （1）若点表示的有理数是0，那么的长为______；若点表示的有理数是1，那么的长为______. （2）点在射线上运动（不与点、重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请求出的长；若改变，请说明理由. 9．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点 （1）求线段MN的长 （2）若点C为线段AB上任意一点，满足AC+BC＝，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？请说明理由 （3）若点C为线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出结论，不说明理由 10．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）已知：点D是AB的中点，点E是BC的中点，BE=AC=2cm， （1）如图，点C在线段AB的延长线上，求线段DE的长； （2）若点C在线段AB上，画出图形，并通过计算得线段DE= cm．（画出图形后，直接填空，不用写计算过程．） 11．（2020·湖南鹤城·期末）如图，线段 AD=8 cm，线段 AC=BD=6 cm，点 E、F 分别是线段 AB、CD 的中点，求线段 EF 的长． 12．（2020·全国初一课时练习）如图，，两点将线段分成三部分，为线段的中点，．求： （1）线段的长； （2）线段的长． 13．（2020·全国初一课时练习）已知：如图，，点是线段的中点，点把线段分成的两部分，求线段的长． 请补充下列解答过程： 解：因为是线段的中点，且， 所以________________． 因为， 所以________________． 所以________________________________． 14．（2020·江苏姜堰·初一期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上． （1）若AB＝CD． ①比较线段的大小：AC　 　BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若，且AC＝12cm，则AD的长为　 　cm； （2）若线段AD被点B、C分成了3:4:5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长． 15．（2019·陕西延安·初一期末）如图，已知C、D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=10，CD=4，求线段MN的长． 16．（2020·湖北红安·初一月考）如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=20，CD=8，求线段MN的长． 17．（2020·河南潢川·初一期末）如图，点B在线段AC的延长线上，AC<CB,点M、N分别是AC、BC的中点，点D是AB的中点． （1）若AC=8cm,CB=10cm，求线段MN的长； （2）若AC=a,CB=b，求线段CD的长． 考点5：与线段的有关动点问题 典例：（2020·广西陆川·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t0）秒， （1）写出数轴上点B所表示的数　 　； （2）求线段AP的中点所表示的数（用含t的代数式表示）； （3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长． 方法或规律点拨 本题主要考查数轴上的两点距离及线段的和差关系，关键是根据动点的运动得到线段的长，然后根据数轴上的两点距离列式求解即可． 巩固练习 1．（2020·全国初一课时练习）线段点在线段上，点，分别是和的中点． （1）若点恰好是中点，求的长； （2）若，求的长； （3）若点为线段上的一个动点（点不与，重合），求的长． 2．（2020·河南宛城·初一期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） （问题解决） （2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。 （应用拓展） （3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值． 3．（2019·云南西山·初一期末）如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点上，AC=10．动点 P，Q 网时分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度，点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点．设运动时间为t秒(t>0) (1) 点C表示的数是______ ；点P表示的数是______，点Q表示的数是________（点P．点 Q 表示的数用含 t 的式子表示) (2) 求 MN 的长； (3) 求 t 为何值时，点P与点Q相距7个单位长度？ 4．（2019·沈阳市第七中学初一期中）已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，点C是线段AB的中点． （1）点C表示的数是　 　； （2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒， ①运动t秒时，点C表示的数是　 　（用含有t的代数式表示）； ②当t＝2秒时，CB•AC的值为　 　． ③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC总有怎样的数量关系？并说明理由． 5．（2019·湖南长沙·初一期中）已知数轴上的A、B两点所对应的数分别为a、b．P为数轴上的一个动点．其中a，b满足（a﹣1）2+|b+5|＝0， （1）若点P为AB的中点，求P点对应的数． （2）若点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向左运动，t秒后，求P点所对应的数以及PB的距离． （3）若数轴上点M、N所对应的数为m、n，其中A为PM的中点，B为PN的中点，无论点P在何处，是否为一个定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由． 6．（2020·山西实验中学初一期中）已知数轴上三点对应的数分别为-1，0，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为． （1）的长为_______； （2）如果点到点、点的距离相等，那么的值是_______； （3）若点到点、点的距离之和是8，那么的值是_______； （4）如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动.设分钟时点P到点、点的距离相等，那么的值是_______． 7．（2020·宁夏银川·景博中学初一期末）如图，数轴上有两个点，为原点，，点所表示的数为． ⑴ ； ⑵求点所表示的数； ⑶动点分别自两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出线段的长度；若不是，请说明理由． 8．（2019·泰州市海陵学校初一期末）如图，在射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发． （1）当PA＝2PB（P在线段AB上）时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，求点Q的运动速度； （2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P，Q两点相距70cm？ （3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E，F，求． 9．（2020·江苏扬中·初一期末）是线段上任一点，，两点分别从同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为. （1）若， ①运动后，求的长； ②当在线段上运动时，试说明； （2）如果时，，试探索的值. 10．（2020·重庆綦江·初一期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度； （3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？