4.3 角讲练（解析版）（人教版）.docx

专题4.3 角 典例体系（39页） 一、知识点 1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。 2.角的表示： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165° 4.角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。 1°=60’，1’=60” 5.角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 6.角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 7.余角和补角 ①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° ②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° ③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 二、考点点拨与训练 考点1：钟面上的角度计算 典例：（2020·福建宁化·初一期末）上午时，钟表的时针与分针的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵钟表中一圈有12个大格 ∴1个大格的对应的角度为360°÷12=30° ∵时，时针与分针间有2个大格 ∴此时钟表的时针与分针的夹角为30°×2=60° 故选B． 方法或规律点拨 此题考察的是求钟表的分针与时针的夹角问题，掌握钟表的特征和周角的定义是解决此题的关键． 巩固练习 1．（2020·全国单元测试）设时钟的时针与分针所成角是，则正确的说法是（ ） A．八点一刻时，是平角 B．十点五分时，是锐角 C．十一点十分时，是钝角 D．十二点一刻时，是直角 【答案】B 【解析】解：A． 分针一分钟走6度,时针是0.5度，8:15时,时针离"12点"的角度是:30×8+15×0.5=247.5度.分针行了15×6=90度.故二针的夹角是:247.5-90=157.5度，所以八点一刻时，是钝角； B．同理， 十点五分时，是锐角； C． 十一点十分时，是锐角； D． 十二点一刻时，是锐角； 故选B． 2．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）在上午八点半钟的时候，时针和分针所夹的角度是（ ） A．85° B．75° C．65° D．55° 【答案】B 【解析】解：如图，上午八点半钟时，时针和分针中间相差2.5个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， ∴上午八点半钟的时候，时钟的时针和分针所夹的角度是2.5×30°=75°． 故选：B． 3．（2021·湖南长沙·明达中学月考）若钟表分针走30分钟，则钟表的时针转 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为整个钟面12小时，时针每小时转，且30分钟等于小时， 所以若钟表分针走30分钟，钟表的时针转的角度是， 故选：B． 4．（2020·浙江青田·初一期末）上午，时钟上分针与时针之间的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：9：30时针与分针相距3.5份，每份的度数是30°， 在时刻9：30，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为3.5×30°=105°． 故选：B． 5．（2020·福建宁化·期中）某校七年级在下午5：00开展“阳光体育”活动，下午5：00时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于_______度． 【答案】150 【解析】因为分钟一分钟走6°，所以下午5：00时刻，时钟上分针与时针所夹的角为； 故答案为150． 6．（2020·浙江松阳·期末）上午8：25时，时钟的时针和分针的夹角(小于平角的角)度数是_______． 【答案】102.5° 【解析】∵分钟每分钟转动360°÷60=6°，时针每分钟转动360°÷12÷60=0.5°， ∴8：25时针和分针的夹角（小于平角的角）度数为： (8×30°+25×0.5°)-25×6°=102.5°． 故答案为：102.5°． 7．（2020·全国单元测试）由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________度，此刻时针与分针的夹角是_________度 【答案】12.5 150 117.5 【解析】解：∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，又从2点30分到2点55分经过了25分钟，∴时钟的时针旋转了，时钟的分针旋转了． ∵2点55分时时针距离3还有，分针指向11，中间相差3个数字，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，此时分针与时针的夹角是． 故答案为12.5；150；117.5． 8．（2020·全国单元测试）时钟的分针从4点整的位置起，顺时针方向转_______度时，分针才能第一次与时针重合． 【答案】 【解析】解：由题意得： 分针每分钟走，时针每分钟走，则，解得， 即经过分钟后，分针与时针重合， ∴分针转了度． 故答案为． 10．（2020·湖北黄石·初一期末）如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是_____． 【答案】15° 【解析】∵时针12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°， ∴时针1小时转动30°， ∴6：30时，分针指向刻度6，时针和分针所夹锐角的度数是30°× =15°． 故答案是：15°． 11．（2020·全国单元测试）钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成的角？分别是几点几分？ 【答案】钟面上从2点到4点有4次时针与分针夹成角，分别是2点整，2点分，3点分，3点分． 【解析】解：共有4次时针与分针所夹的角为．根据时针与分针的速度可知分针比时针每分钟转动快． 第1次正好为2点整； 第2次设为2点分时，时针与分针的夹角为，则，解得； 第3次设为3点 分时，时针与分针的夹角为，则，解得； 第4次设为3点分时，时针与分针的夹角为，则，解得． 综上，钟面上从2点到4点有4次时针与分针夹成角，分别是2点整，2点分，3点分，3点分． 考点2：方位角及其应用 典例：（2020·全国单元测试）如图所示，点表示城，点表示城． （1）如果城在城的南偏西方向，请画出从城到城方向的射线； （2）如果城在城的北偏东方向，在城的南偏东方向，请确定城的位置．（用点表示） 要求：不写画法，保留画图痕迹，写出结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）以城为观测中心，画出南偏西方向，就是从城到城方向的射线，如图所示，射线AB即为所求； （2）以城为中心，画出北偏东方向，以城为中心，画出南偏东方向，两个方向的交点处，就是城，如图所示，城即为所求． 方法或规律点拨 此题考查的是根据方位角画图，掌握方位角的定义是解决此题的关键． 巩固练习 1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，射线OP表示的方向是（ ） A．东偏北65° B．北偏东25° C．北偏西65° D．北偏东65° 【答案】D 【解析】解：90°-25°=65°， 则射线OP表示的方向是北偏东65°． 故选：D． 2．（2019·河北涿鹿·期末）如图，点A位于点O的 A．南偏东35°方向上 B．北偏西65°方向上 C．南偏东65°方向上 D．南偏西65°方向上 【答案】B 【解析】解：由图可得，点A位于点O的北偏西65°的方向上． 故选B． 3．（2020·全国单元测试）射线位于北偏东方向，射线位于南偏东方向，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 故选A． 4．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校初一开学考试）某人在点处看点在北偏东的方向上，看点在北偏西的方向上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意可作如图所示： ． 故选B． 5．（2020·全国课时练习）如图所示，由点A测点B的方向是（ ） A．南偏东38° B．南偏东52° C．北偏西38° D．北偏西52° 【答案】A 【解析】根据图上的信息以及方位角的定义，B点在A点南偏东． 故选：A． 6．（2020·全国课时练习）若点B在点A北偏东30°处，点C在点A南偏东40°处，那么的度数是（ ） A．70° B．80° C．100° D．110° 【答案】D 【解析】． 故答案选D． 7．（2020·山东单县·初一期末）如图，是表示北偏东方向的一条射线，则的反向延长线表示的是（ ） A．北偏西方向上的一条射线 B．北偏西方向上的一条射线 C．南偏西方向上的一条射线 D．南偏西方向上的一条射线 【答案】D 【解析】 如图，根据对顶角相等可知∠2=55°，再根据余角的性质可得∠1=35°， ∴的反向延长线表示的是：南偏西55°方向上的一条射线或西偏南35°方向上的一条射线． 故选：D． 8．（2020·全国单元测试）若从点看点的方向是南偏东，那么从点看点的方向是_______． 【答案】北偏西 【解析】因为从点看点的方向是南偏东，所以从点看点的方向是北偏西； 故答案为北偏西． 9．（2020·全国单元测试）、两个城市的位置如图所示，那么城在城的_______方向． 【答案】北偏东 【解析】解：由图可知：城在城的北偏东90°－60°= 故答案为：北偏东． 10．（2020·全国单元测试）根据图填空：点A在点O的______________方向，点C在点O的______________方向． 【答案】东偏北50° 西南 【解析】在图中找到A点和C点位置，然后根据方向和偏角可得： 点A在点O的东偏北50°方向，点C在点O的西南方向． 故答案为：东偏北50°；西南． 11．（2020·辽宁北镇·期末）如图，直线与相交于点，，且平分，若，则的度数为_____． 【答案】20º． 【解析】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， 又∵∠AOE＝40°， ∴∠AOF＝180°−40°＝140°， 又∵OC平分∠AOF， ∴∠AOC＝12×140°＝70°， ∴∠BOD＝180°−90°−70°＝20°． 故答案为：20°． 考点3：角的运算 典例：（2020·巨野县育才实验学校初一月考）计算： （1） （2） 180º-（34º55′+21º33′） 【答案】（1）；（2）123°32′ 【解析】解：（1）； （2）原式=180°-55°88′ =179°60′-56°28′ =123°32′； 方法或规律点拨 本题考查了度分秒的换算：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． 巩固练习 1．（2020·全国初一课时练习）计算：的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ． 故选：B． 2．（2020·全国单元测试）（1）已知，，则_______； （2）已知，，则_______． 【答案】 【解析】解：（1） （2） 故答案为：，． 3．（2020·全国单元测试）计算：________________；________________． 【答案】 【解析】解： 故答案为：；． 4．（2020·湖南雨花·初一期末）计算：48°37'+53°35'＝_____． 【答案】 【解析】48°37'+53°35'=101°72'=. 5．（2020·全国初一课时练习）计算：90°﹣18°35'＝__． 【答案】 【解析】解：90°-18°35'=71°25′． 故答案是：71°25′． 6．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）计算30°52′+43°50′=______ 【答案】74°42′ 【解析】解：30°52′+43°50′=73°102′=74°42′ 故答案为：74°42′． 7．（2020·全国单元测试）（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 考点4：与三角板有关的角度计算 典例：（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方． （1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC． ①此时t的值为　 ；（直接填空） ②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由； （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由． 【答案】（1）①3，②是，理由见解析；（2）t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE；理由见解析；（3）经秒时，OC平分∠DOB．画图说明理由见解析． 【解析】（1）①∵∠AOC＝30°，∠AOB＝180°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD＝BOC＝75°， ∴t＝； 故答案为3； ②是，理由如下： ∵转动3秒，∴∠AOE＝15°， ∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝15°， ∴∠COE＝∠AOE， 即OE平分∠AOC． （2）三角板旋转一周所需的时间为＝＝72（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为＝45（秒）， 设经过x秒时，OC平分∠DOE， 由题意：①8x﹣5x＝45﹣30， 解得：x＝5， ②8x﹣5x＝360﹣30+45， 解得：x＝125＞45，不合题意， ③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为＝45（秒），45秒后停止运动， ∴OE旋转345°时，OC平分∠DOE， ∴t＝＝69（秒）， 综上所述，t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE． （3）如图3中，由题意可知， OD旋转到与OB重合时，需要90÷5＝18（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（180﹣30）÷8＝（秒）， 所以OD比OC早与OB重合， 设经过x秒时，OC平分∠DOB， 由题意：8x﹣（180﹣30）＝（5x﹣90）， 解得：x＝， 所以经秒时，OC平分∠DOB． 方法或规律点拨 本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列出式子计算即可． 巩固练习 1．（2020·全国单元测试）用两个三角板（一个是，一个是）不可能画出的角度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为三角板的度数：30°，60°，90°，45°，45°，90°． 可以画出的角度是：15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°． ∴不可能画出的角度是115°； 故选：B． 2．（2020·山东莘县·期末）如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若∠DOC＝28°，则∠AOB的度数为（　　） A．62° B．152° C．118° D．无法确定 【答案】B 【解析】解：∵∠COB＝∠DOB﹣∠DOC＝90°﹣28°＝62°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝90°+62°＝152°． 故选：B． 3．（2020·湖北荆州·月考）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 【答案】B 【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°， 4．（2020·山西浑源·初一期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40′，∠2的大小是( ) A．27°40′ B．57°40′ C．58°20′ D．62°20′ 【答案】B 【解析】∵∠1=27°40′， ∴∠CAE=60°-27°40′=32°20′， ∴∠2=90°-32°20′= 57°40′. 故选B. 5．（2020·全国初一课时练习）如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若∠AOD=4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE的度数为（　　） A．36° B．45° C．60° D．72° 【答案】D 【解析】∵∠AOB=90°,∠COD=90°， ∴∠AOB+∠COD=180°， ∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD ， ∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180° ， ∴∠AOD+∠BOC=180°， ∵∠AOD=4∠BOC， ∴4∠BOC+∠BOC=180°， ∴∠BOC=36°， ∵OE 为 ∠BOC 的平分线， ∴∠COE=∠BOC=18°， ∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−18°=72°， 故选D. 6．（2020·广西平桂·期末）如图，将一副三角板叠放一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD +∠COB的度数为___________度． 【答案】180 【解析】∠AOD+∠COB=∠COD+∠AOC+∠COB =∠COD+∠AOB=90°+90°=180°． 故答案是：180． 7．（2020·广东省汕头市潮阳区铜盂中学初三月考）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，且∠AOB＝155°，则∠COD＝_____． 【答案】25 【解析】∵△AOD与△BOC是一副直角三角板，∴∠AOD+∠COB＝180°，∴∠AOC+2∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°． ∵∠AOB＝155°，∴∠COD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣155°＝25°． 故答案为25． 8．（2020·全国单元测试） 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=127°，则∠BOC=_______． 【答案】53° 【解析】∵∠AOB=∠COD=90° ∴∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=180° 即∠AOD+∠BOC=180° ∵∠AOD=127° ∴∠BOC=53°， 故答案为：53°． 9．（2020·全国单元测试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝_____． 【答案】180° 【解析】 ∵∠AOC=∠AOB+∠BOC， ∴∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠BOD， 又∵∠BOC+∠BOD=∠COD，且∠AOB=∠COD=90°， ∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°． 10．（2019·广东郁南·初一期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． （1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由； （2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数； （3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠ACE=∠BCD；（2）150°；（3）∠ACB+∠DCE=180°，见解析 【解析】解：（1）∠ACE=∠BCD，理由如下： ∵∠ACE+∠DCE=90°，∠BCD+∠DCE=90°， ∴∠ACE=∠BCD； （2）由余角的定义，得∠ACE=90°﹣∠DCE=90°﹣30°=60°， 由角的和差，得∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+90°=150°； （3）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下： 由角的和差，得∠ACB=∠BCE+∠ACE， ∠ACB+∠DCE=∠BCE+（∠ACE+DCE）=∠BCE+∠ACE=180°． 11．（2020·全国初二课时练习）将一副三角尺叠放在一起： （1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数； （2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数． 【答案】（1）∠CAE＝18°；（2）∠ACD＝120°． 【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝4∠2， ∴4∠2+∠2＝90°， ∴∠2＝18°， 又∵∠DAE＝90°， ∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°， ∴∠CAE＝∠2＝18°； （2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠BCD+∠BCE＝60°， ∴∠ACE﹣∠BCD＝30°， 又∠ACE＝2∠BCD， ∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，∠BCD＝30°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°． 12．（2019·河北涿鹿·期末）把一副三角板的直角顶点O重叠在一起． （1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是 ； （2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？ （3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数． 【答案】（1）180°；（2）180°；（3）60°． 【解析】解：（1）∵OB平分∠COD， ∴∠BOC=∠BOD=45°． ∵∠AOC+∠BOC=45°， ∴∠AOC=45°， ∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°． 故答案为180°； （2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°， ∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°； （3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°， ∴∠AOD=180°﹣∠BOC． ∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC）， ∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC）， ∴∠BOC=60°． 13．（2020·广东东莞·初一期末）直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD． （1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝　 　； （2）在图1中，若∠BC