1.5 有理数的乘方讲练（解析版）（人教版）.docx

专题1.5 有理数的乘方 典例体系 一、知识点 1.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 2.乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 3.有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 4.科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。 5.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.  有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 二、考点点拨与训练 考点1：乘方的定义及计算 典例：（2020·江苏省初三二模） 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ． 故选：C． 方法或规律点拨 本题考查了有理数的乘方，即正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 巩固练习 1．（2020·河南省郑州一中初三其他）如果a的倒数是﹣1，则a2020的值是（　　） A．2020 B．﹣2020 C．1 D．﹣1 【答案】C 【解析】 解：因为a的倒数是﹣1， 所以a＝﹣1． 所以a2020＝（﹣1）2020＝1． 故选：C． 2．（2020·四川省初三二模）下列各数，最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：因为，，，，所以最小的数是． 故选：C． 3．（2020·山东省初三二模）计算的结果等于（ ） A．－4 B．4 C．12 D．－12 【答案】D 【解析】 解：． 故选：D． 4．（2020·江苏省初三二模）计算（-2）3所得结果是（　　） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【解析】解：（﹣2）3表示3个（﹣2）的乘积，（﹣2）3=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）=﹣8． 故选C． 5．（2020·陕西省初三一模）计算：（﹣）2﹣1=（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．0 【答案】C 【解析】原式=， 故选C. 6．（2020·天津初三二模）计算（﹣2）3﹣（﹣2）2的结果是（ ） A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12 【答案】D 【解析】 解：原式＝﹣8﹣4 ＝﹣12． 故选：D． 7．（2019·内蒙古自治区初一期中）下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 A. ，故本选项正确； B. ，故本选项正确； C. ，故本选项错误； D. ，故本选项正确． 故选C． 8．（2020·山东省初三三模）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】 解：A.，不相等； B. ，相等； C. ，，不相等； D. ，，不相等； 故答案选：B. 9．（2018·偃师市实验中学初一月考）下列各组数中，结果一定相等的是（ ） A．-a2与（-a）2 B．a2与-（-a）2 C．-a2与-（-a）2 D．（-a）2与-（-a）2 【答案】C 【解析】 因为-a2=-a2，(-a)2=a2，-（-a）2=-a2，所以A错误；B错误；C正确；D错误． 故选C． 10．（2020·常州市第二十四中学初三月考）定义一种新的运算：a•b=，如2•1==2，则（2•3）•1=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴（2•3）•1 •1 =4•1 ， 故选B． 考点2：非负数的和为零 典例：21．（2019·浙江省初一期中）方程|x－y|＋(2－y) 2＝0且x＋2y－m＝0，则m的值为(　 　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】 解：∵|x－y|＋(2－y) 2＝0， ∴2−y＝0，x−y＝0， ∴x＝y＝2， 将x＝y＝2代入x＋2y−m＝0中得：2＋4−m＝0， 解得：m＝6． 故选：B． 方法或规律点拨 此题考查了绝对值与偶次幂的非负性，利用非负数的性质求出x，y的值是解题关键． 巩固练习 1．（2020·广东省初三一模）若｜x+1｜+(y－2019)2=0，则=( )。 A．0 B．1 C． D．2019 【答案】C 【解析】 解：根据题意，得：，解得：，所以. 故选：C. 2．（2020·四川省初三其他）已知|a﹣2|+（b+3）2=0，则下列式子值最小是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ba D．ab 【答案】D 【解析】 解：根据题意得，a﹣2=0，b+3=0， 解得a=2，b=﹣3， 所以，a+b=2+（﹣3）=﹣1， a﹣b=2﹣（﹣3）=2+3=5， ba=（﹣3）2=9， ab=2×（﹣3）=﹣6， 所以值最小的是﹣6． 故选：D． 3．（2017·贵州省初一课时练习）如果，那么的值为( ) ． A．0 B．4 C．－4 D．2 【答案】C 【解析】根据非负数的非负性可得:,解得 所以,故选C. 4．（2019·内蒙古自治区初一期中）已知，那么__________． 【答案】 【解析】 解：∵， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 5．（2020·云南省初一期末）若|x-|+（y+2）2=0，则（xy）2019的值为______． 【答案】-1 【解析】 ∵|x-|+(y+2)2=0， ∴x-=0，y+2=0， ∴x=，y=-2， ∴(xy)2019=(-1)2019=-1， 故答案为-1. 6．（2020·绵竹市孝德中学初一期中）若＋（b－3）2008＝0，则ab＝_____； 【答案】8 【解析】解：∵＋（b－3）2008＝0， ∴a-2=0，b-3=0， ∴a=2，b=3， ∴ab=8. 故答案为：8. 7．（2019·长沙市稻田特立中学初一期中）如果|m﹣3|+(n+2)2＝0，那么mn的值是_____． 【答案】-6 【解析】 ∵|m﹣3|+(n+2)2=0， ∴m﹣3=0，n+2=0， 解得：m=3，n=﹣2， 故mn=﹣6， 故答案为﹣6． 考点3：含有乘方的四则混合运算 典例：（2019·内蒙古自治区初一期末）计算：﹣23﹣[（﹣3）2﹣22×﹣8.5]÷（﹣）2 【答案】﹣6 【解析】 ﹣23﹣[（﹣3）2﹣22×﹣8.5]÷（﹣）2 ＝﹣8﹣[9﹣4×﹣8.5]×4 ＝﹣8﹣[9﹣1﹣8.5]×4 ＝﹣8﹣（﹣0.5）×4 ＝﹣8+2 ＝﹣6． 方法或规律点拨 本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 巩固练习 1．（2020·衡水市第九中学初一期中）现定义一种新运算“*”，规定a*b=ab+a-b，如1*3=1×3+3-1，则（-2*5）*6等于（） A．120 B．125 C．-120 D．-125 【答案】D 【解析】 解：∵a*b＝ab＋a−b， ∴（−2*5）*6＝（−2×5−2−5）*6＝−17*6＝−17×6＋（−17）−6＝−125． 故选：D． 2．（2020·偃师市实验中学初一月考）某程序如图所示，当输入的x为5时，输出的值为____________． 输入x→平方→减去x→除以2→取相反数→输出 【答案】 【解析】 由题意列式得：， 故答案为：-10． 3．（2020·四川省初一期中）已知与互为相反数，与互为倒数，的绝对值是，的相反数是它本身，求的值 【答案】或 【解析】 解：∵与互为相反数，与互为倒数，的绝对值是，的相反数是它本身， ∴+=0，，，=0 = = = 当=1时，原式=； 当时，原式=． 4．（2020·四川省初一期中）计算： （1） （2） （3） 7.5+（﹣2）﹣（+22.5）+（﹣6） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【解析】（1）原式==2÷4=； （2）原式==； （3）原式=7.5﹣22.5+（﹣2）+（﹣6）=-15-9=； （4）原式===； （5）原式==； （6）原式==1-2=． 5．（2020·江门市第二中学初一月考） 【答案】 【解析】 原式= = = 6．（2017·贵州省初一课时练习）计算： 【答案】 【解析】解：原式= = = = 7．（2019·云南省初一期末）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1） ． （2） ． （3） ． 8．（2020·河北省初三一模）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a.如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16. (1)求(－2)☆3的值； (2)若＝8，求a的值． 【答案】(1)－32；(2) a＝0. 【解析】解：（1）（-2）☆3=-2×32+2×（-2）×3+（-2）=-32； （2）==8a+8=8， 解得：a=0． 9．（2020·偃师市实验中学初一月考）规定一种新的运算：a※b＝a×b－a－b2＋1.例如：3※(－4)＝3×(－4)－3－(－4)2＋1＝－30.请用上述规定计算下列各式： (1)2※5； (2)(－2)※(－5)． 【答案】(1)－16；(2)－12. 【解析】 解：（1）2※5=25-2-52+1=-16, （2）(－2)※(－5)= (－2)(－5)- (－2)-(－5)2+1=10+2-25+1=-12 10．（2020·常州市第二十四中学初一期中）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2(　　) 　23﹣22=　　　　=2(　　)， 　24﹣23=　　　　=2(　　)， …… （1）请仔细观察，写出第4个等式； （2）请你找规律，写出第n个等式； （3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020． 【答案】探究：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3；（1）25﹣24=2×24﹣1×24=24；（2）2n+1﹣2n=2×2n﹣1×2n=2n；（3）﹣2． 【解析】探究： （1）第4个等式为； （2）归纳类推得：第n个等式为； （3）原式 ． 考点4：科学计数法 典例：（2020·合肥市第四十六中学初三三模）响应党中央号召，连日来，全国广大共产党员继续踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持．据统计，截至3月10日，全国已有7436万多名党员自愿捐款，共捐款76.8亿元，则76.8亿元用科学记数法可表示为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【解析】 解：76.8亿元＝7680000000元＝7.68×109元． 故选：A． 方法或规律点拨 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 巩固练习 1．（2020·广东省初三二模）我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为( ) A．53006×10人 B．5.3006×105人 C．53×104人 D．0.53×106人 【答案】B 【解析】 解：∵530060是6位数， ∴10的指数应是5， 故选B． 2．（2020·河南省初三）年月日，在天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，亿中华儿女喜迎中华人民共和国建国七十周年华诞，亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：亿=1400000000=， 故选：A． 3．（2019·广东省初三一模）据《2018年A市国民经济和社会发展统计公报》显示，2018年，A市实现地区生产总值达到10500亿元．其中“10500亿”用科学计数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：10500亿=10500 0000 0000= 故选择：B 4．（2020·广东省惠州一中初三二模）2020年2月3日，国家卫生健康委副主任在国务院应对新型冠状病毒感染的肺炎疫情联防联控机制举行的新闻发布会上表示，国家在政策和经费方面支持做好新型冠状病毒肺炎疫情防控相关工作截至该日，国家已拨款665.3亿元，用于疫情防控．将665.3亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】665.3亿． 故选C． 5．（2020·河南省初三二模）从新华网获悉：商务部 5 月 27 日发布的数据显示，一季度，中国与“一带一路”沿线国家在经贸合作领域保持良好发展势头，双边货物贸易总额超过 16553 亿元人民币，16553 亿用科学记数法表示为（ ） A．1.6553×108 B．1.6553×1011 C．1.6553×1012 D．1 .6553×1013 【答案】C 【解析】解：将16553亿用科学记数法表示为：1.6553×1012． 故选C． 6．（2020·广东省初三学业考试）2020年新春之际出现了罕见的新型冠状病毒疫情，面对突如其来的灾害，全国各族人民万众一心科学防治，全力抗击疫情．我市某县区的一个企业在复工复产后的第一个月，生产产品产值约为万元人民币，万元用科学记数法表示正确的是（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【解析】解：万元=1521000元=元 故答案为D． 7．（2020·济南市济阳区第二实验中学初三其他）预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】460 000 000=4.6×108． 故选C． 考点5：近似数与有效数字 典例：（2020·山东省中考真题）3.14159精确到千分位为（ ） A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141 【答案】C 【解析】 解：3.14159精确到千分位为3.142． 故选C． 方法或规律点拨 本题考查近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 巩固练习 1．（2020·山东省初三一模）4604608取近似数，精确到万位，结果是（ ） A． B．4600000 C． D． 【答案】A 【解析】 4604608≈4600000≈， 故选：A． 2．（2020·山东省初三三模）截至北京时间2020年3月22日14时30分，全球新冠肺炎确诊病例达305740例，超过30万，死亡病例累计12762人，将“305740”这个数字用科学记数法表示保留两位有效数字为(　　) A．3.05740×105 B．3.05×105 C．3.0×105 D．3.1×105 【答案】D 【解析】解：305740这个数字用科学记数法并保留两位有效数字表示为3.1×105． 故选：D． 3．（2020·湖南省初三其他）据《人民日报》“9组数据看懂新中国成立70周年的沧桑巨变”一文报道，我国国民生产总值从1952年679亿元到2018年900309亿元，从一穷二白到世界第二大经济体．用科学记数法表示数字900309（精确到万位）是（　　） A．9×105 B．9.0×105 C．9.00×105 D．9.003×104 【答案】B 【解析】900309＝9.00309×105≈9.0×105． 故选：B． 4．（2019·山东省初一期中）近似数35.04万精确到（　　） A．百位 B．百分位 C．万位 D．个位 【答案】A 【解析】解：∵35.04万末尾数字4表示4百， ∴近似数35.04万精确到百位． 故选：A． 5．（2020·山东省初三二模）据国家卫健委报道，截止到2020年2月16日24时，全国31省和新疆建设兵团共报告新冠肺炎确诊病例28179人， 将28179科学记数法表示为（精确到千位） （ ） A．2.8×10² B．2.8×10³ C．2.8×104 D．2.0×10³ 【答案】C 【解析】解：28179≈2.8×104， 故选：C． 6．（2020·镇江实验学校初三三模）某市去年第四季度财政收入为亿元，用科学记数法(结果保留两个有效数字)表示为（ ）元 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：41.76亿元=4 176 000 000元=4.176×109元≈4.2×109元， 故选：C． 7．（2019·北京市顺义区杨镇第二中学初一期中）用四舍五入法把3.1415精确到千分位是_______；近似数2.5万精确到_______位． 【答案】3.142， 千 【解析】 解：用四舍五入法把3.1415精确到千分位是3.142； ∵2.5万=25000， ∴近似数2.5万精确到千位； 故答案为：3.142，千． 8．（2020·黑龙江省初一期末）据《2011年国民经济与社会发展统计公报》报道，2011年我国国民生产总值为471564亿元，471564亿元用科学记数法表示为（保留三个有效数字）_______元． 【答案】4.72×1013 【解析】 解：471564亿=47 1564 0000 0000=4.71564×≈4.72×， 故答案为：