4.3 角讲练（原卷版）（人教版）.docx

专题4.3 角 典例体系（39页） 一、知识点 1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。 2.角的表示： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。 ④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165° 4.角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。 1°=60’，1’=60” 5.角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较 （3）角可以参与运算。 6.角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 7.余角和补角 ①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° ②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° ③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 二、考点点拨与训练 考点1：钟面上的角度计算 典例：（2020·福建宁化·初一期末）上午时，钟表的时针与分针的夹角为（ ） A． B． C． D． 方法或规律点拨 此题考察的是求钟表的分针与时针的夹角问题，掌握钟表的特征和周角的定义是解决此题的关键． 巩固练习 1．（2020·全国单元测试）设时钟的时针与分针所成角是，则正确的说法是（ ） A．八点一刻时，是平角 B．十点五分时，是锐角 C．十一点十分时，是钝角 D．十二点一刻时，是直角 2．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）在上午八点半钟的时候，时针和分针所夹的角度是（ ） A．85° B．75° C．65° D．55° 3．（2021·湖南长沙·明达中学月考）若钟表分针走30分钟，则钟表的时针转 （ ） A． B． C． D． 4．（2020·浙江青田·初一期末）上午，时钟上分针与时针之间的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．（2020·福建宁化·期中）某校七年级在下午5：00开展“阳光体育”活动，下午5：00时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于_______度． 6．（2020·浙江松阳·期末）上午8：25时，时钟的时针和分针的夹角(小于平角的角)度数是_______． 7．（2020·全国单元测试）由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________度，此刻时针与分针的夹角是_________度 8．（2020·全国单元测试）时钟的分针从4点整的位置起，顺时针方向转_______度时，分针才能第一次与时针重合． 10．（2020·湖北黄石·初一期末）如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是_____． 11．（2020·全国单元测试）钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成的角？分别是几点几分？ 考点2：方位角及其应用 典例：（2020·全国单元测试）如图所示，点表示城，点表示城． （1）如果城在城的南偏西方向，请画出从城到城方向的射线； （2）如果城在城的北偏东方向，在城的南偏东方向，请确定城的位置．（用点表示） 要求：不写画法，保留画图痕迹，写出结论． 方法或规律点拨 此题考查的是根据方位角画图，掌握方位角的定义是解决此题的关键． 巩固练习 1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，射线OP表示的方向是（ ） A．东偏北65° B．北偏东25° C．北偏西65° D．北偏东65° 2．（2019·河北涿鹿·期末）如图，点A位于点O的 A．南偏东35°方向上 B．北偏西65°方向上 C．南偏东65°方向上 D．南偏西65°方向上 3．（2020·全国单元测试）射线位于北偏东方向，射线位于南偏东方向，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校初一开学考试）某人在点处看点在北偏东的方向上，看点在北偏西的方向上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．（2020·全国课时练习）如图所示，由点A测点B的方向是（ ） A．南偏东38° B．南偏东52° C．北偏西38° D．北偏西52° 6．（2020·全国课时练习）若点B在点A北偏东30°处，点C在点A南偏东40°处，那么的度数是（ ） A．70° B．80° C．100° D．110° 7．（2020·山东单县·初一期末）如图，是表示北偏东方向的一条射线，则的反向延长线表示的是（ ） A．北偏西方向上的一条射线 B．北偏西方向上的一条射线 C．南偏西方向上的一条射线 D．南偏西方向上的一条射线 8．（2020·全国单元测试）若从点看点的方向是南偏东，那么从点看点的方向是_______． 9．（2020·全国单元测试）、两个城市的位置如图所示，那么城在城的_______方向． 10．（2020·全国单元测试）根据图填空：点A在点O的______________方向，点C在点O的______________方向． 11．（2020·辽宁北镇·期末）如图，直线与相交于点，，且平分，若，则的度数为_____． 考点3：角的运算 典例：（2020·巨野县育才实验学校初一月考）计算： （1） （2） 180º-（34º55′+21º33′） 方法或规律点拨 本题考查了度分秒的换算：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． 巩固练习 1．（2020·全国初一课时练习）计算：的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2020·全国单元测试）（1）已知，，则_______； （2）已知，，则_______． 3．（2020·全国单元测试）计算：________________；________________． 4．（2020·湖南雨花·初一期末）计算：48°37'+53°35'＝_____． 5．（2020·全国初一课时练习）计算：90°﹣18°35'＝__． 6．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）计算30°52′+43°50′=______ 7．（2020·全国单元测试）（1）； （2）； （3）； （4）． 考点4：与三角板有关的角度计算 典例：（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方． （1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC． ①此时t的值为　 ；（直接填空） ②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由； （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由． 方法或规律点拨 本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列出式子计算即可． 巩固练习 1．（2020·全国单元测试）用两个三角板（一个是，一个是）不可能画出的角度是（ ） A． B． C． D． 2．（2020·山东莘县·期末）如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若∠DOC＝28°，则∠AOB的度数为（　　） A．62° B．152° C．118° D．无法确定 3．（2020·湖北荆州·月考）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 4．（2020·山西浑源·初一期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40′，∠2的大小是( ) A．27°40′ B．57°40′ C．58°20′ D．62°20′ 5．（2020·全国初一课时练习）如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若∠AOD=4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE的度数为（　　） A．36° B．45° C．60° D．72° 6．（2020·广西平桂·期末）如图，将一副三角板叠放一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD +∠COB的度数为___________度． 7．（2020·广东省汕头市潮阳区铜盂中学初三月考）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，且∠AOB＝155°，则∠COD＝_____． 8．（2020·全国单元测试） 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=127°，则∠BOC=_______． 9．（2020·全国单元测试）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝_____． 10．（2019·广东郁南·初一期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． （1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由； （2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数； （3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由． 11．（2020·全国初二课时练习）将一副三角尺叠放在一起： （1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数； （2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数． 12．（2019·河北涿鹿·期末）把一副三角板的直角顶点O重叠在一起． （1）问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是 ； （2）拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？ （3）问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数． 13．（2020·广东东莞·初一期末）直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD． （1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝　 　； （2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝　 　（用含α的式子表示）； （3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF与∠ACE的度数． 考点5：与角平分线有关的证明与计算 典例：（2020·福建泉州五中月考）（问题提出）已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜50°），求∠BOC的度数． （问题思考）聪明的小明用分类讨论的方法解决． （1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC＝16.1°；问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数 （问题延伸） （2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数 方法或规律点拨 本题主要考查角的和差倍分关系，关键是根据题意得到角之间的等量关系，然后列出算式进行求解即可． 巩固练习 1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）如图所示，，，平分，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）在同一平面内，若∠AOB＝90º，∠BOC＝40º，则∠AOB的平分线与∠BOC 的平分线的夹角等于( )． A．65º B．25º C．65º或25º D．60º或20º 3．（2020·福建宁化·期中）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ). A．35° B．70° C．110° D．145° 4．（2020·湖南天心·长郡中学初一期末）如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于（　　） A．90° B．135° C．150° D．120° 5．（2020·山东莘县·期末）如图，OA⊥OB，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝_____度． 6．（2020·全国单元测试）如图所示，已知，，成一直线，，且，，则_______． 7．（2020·全国单元测试）如图所示，是的平分线，是的平分线，是的平分线，那么_______． 8．（2020·陕西神木·初一期末）如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线． （1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数； （2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数． 9．（2020·全国单元测试）如图所示，平分，、是的三等分线． （1）如果，求的度数； （2）如果，，求的度数． 考点6：与余角（补角）有关的证明与计算 典例：（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB． (1)如图1，若∠AOM=30°，求∠CON的度数； (2)在图1中，若∠AOM=a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方． ①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②当∠AOC=3∠BON时，求∠AOM的度数． 方法或规律点拨 本题主要考查角度间的计算、余角补角的性质及角平分线的性质与一元一次方程的应用，综合性大，需综合运用所学知识求解. 巩固练习 1．（2020·湖北曾都·期末）如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD．如果∠1=35°，那么∠2的度数是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 2．（2020·山东莘县·期末）如图，直线BC与MN相交于点O，AO丄OC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM 的度数． 3．（2020·福建宁化·期中）已知为直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若=°，则= °，与的数量关系为 ． （2）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中与的关系是否仍然成立？如成立，请说明理由． （3）在图3中，若=°，在的内部是否存在一条射线，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 4．（2020·广西陆川·期末）如图，OD、OC、OB、OA分别表示东西南北四个方向，OM的方向是西偏北50°，OE的方向是北偏东15°，OE是∠MOG的平分线，∠MOH=∠NOH=90°. (1)OH的方向是_______，ON的方向是________； (2)通过计算，判断出OG的方向； (3)求∠HOG的度数. 5．（2020·广西陆川·期末）一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角的余角和补角的度数． 6．（2020·全国单元测试）如果一个角的余角是这个角的，求这个角的度数． 7．（2020·全国单元测试）如图所示，已知、、在一直线上，、分别是和的角平分线． （1）求的度数； （2）分别写出的余角和补角． 8．（2020·全国单元测试）如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，，，． （1）写出图中的一对互余的角____________，一对互补的角______________． （2）画出的角平分线． （3）______________． 9．（2020·云南镇康·初一期末）一个角的余角比这个角的补角的还小10°，求这个角． 10．（2019·贵州花溪·初一学业考试）互补的两个角之差是，求其中较小角的余角度数． 11．（2020·苏州高新区实验初级中学初一期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=48°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． (1)图中有　 　个小于平角的角； (2)求出∠BOD的度数； (3)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由． 12．（2020·江西育华学校初一期末）如图，已知，是的平分线． （1）如图1，当与互补时，求的度数； （2）如图2，当与互余时，求的度数． 13.（2020·广东郁南·初一期末）如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD. （1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数. （2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数. （3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由. 14．（2020·河南渑池·初一期末）点在直线上，射线上的点在直线上方， （1）如图（1），求的度数； （2）如图（2），点在直线上方，与互余，平分，求的度数； （3）在（2）的条件下，点在直线下方，平分，若与互补，求的度数． 15．（2020·河北泊头·初一期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD. (1)若∠AOC＝70°，求∠DOE和∠EOF的度数； (2)请写出图中∠AOD的补角和∠AOE的余角． 16．（2020·福建福州·初一月考）如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起． （1）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由； （2）求∠EON+∠MOF的度数．