4.1 几何图形讲练（原卷版）（人教版）.docx

专题4.1 几何图形（本专题共64页） 典例体系 一、知识点 1.立体图形与平面图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2） 点动成线，线动成面，面动成体。 3、生活中的立体图形 4、棱柱及其有关概念： 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。 棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。 5、正方体的平面展开图：11种 6、截一个正方体： 用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 7、三视图 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。 二、考点点拨与训练 1、生活中的立体图形 考点1：几何体的识别 典例：（2019·江西省初三月考）下列几何体中，是圆柱的为 A． B． C． D． 方法或规律点拨 考查立体图形的认识，掌握立体图形的特征是解题的关键. 巩固练习 1．（2019·河北省初一期末）下面几种图形：①三角形，②长方形，③立方体，④圆，⑤圆锥，⑥圆柱．其中属于立体图形的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2020·贵州省初三学业考试）下列列举的物体中，与铅球的形状类似的是（ ） A．音箱 B．铅笔 C．西瓜 D．水杯 3．（2020·浙江省初三学业考试）如图，一个正方体有盖盒子（可密封）里装入六分之一高度的水，改变正方体盒子的放置方式，下列选项中不是盒子里的水能形成的几何体是（ ） A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．三棱锥 4．（2018·山东省初一期中）下列几何体属于柱体的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2019·西安交大阳光中学初一月考）直角三角形绕它的一条直角边旋转一周围成的几何体是（　　） A．三棱锥 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体 6．（2019·山东省聊城二中初一月考）下列几何体中，属于锥体的是（ ） A． B． C． D． 7．（2019·山东省初一期中）下面的长方体是由A，B，C，D四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（　　） A． B． C． D． 考点2：几何体的点、棱和面 典例：（2020·山东省中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 棱数E 6 12 面数F 4 5 8 （2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________． 方法或规律点拨 本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型． 巩固练习 1．（2020·河北省初一期中）如图，含有曲面的几何体编号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．（2020·重庆中考真题）围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（ ） A． B． C． D． 3．（2019·河北省金华中学初一期中）下图几何体面的个数为（ ） A． B． C． D． 4．（2019·河北省初一期末）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是(　　) A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 5．（2020·成都市金花中学初一期中）一个棱柱有12个面，它有__________个顶点，___________条棱． 6．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）这是一个_______体，它的长是_______ cm，宽是_______ cm，高是_______ cm．棱长总和是_______cm． 7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）正方体有个6面，每个面都是_______形，面积都_______． 8．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等（_______） 9．（2018·四川省双流县棠湖中学实验学校初一月考）如图所示的几何体的名称是____，它由____个面组成，它有____个顶点，经过每个顶点有____条边． 考点3：点、线、面、体的关系 典例：（2020·山东省初一期中）如图1，把一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸板分成两个相同的直角三角形． （1）甲三角形（如图2）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方米？ （2）乙三角形（如图3）旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方米？ 方法或规律点拨 本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式的计算应用，关键是明确旋转后的圆柱和圆锥体的底面半径和高． 巩固练习 1．（2019·河北省初一期中）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 2．（2020·河北省初一期末）如图所给的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到立体图形的是( ) A． B． C． D． 3．（2020·内蒙古自治区初三二模）如图，是直角三角形的高，将直角三角形按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（ ）． A．绕着旋转 B．绕着旋转 C．绕着旋转 D．绕着旋转 4．（2019·山东省初一期中）夜里将点燃的蚊香迅速绕一圈，可划出一个曲线，这是因为（ ） A．面对成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 5．（2019·沈阳市第七中学初一期中）自行车的车轮辐条是一条线，当车轮飞速旋转时，辐条就飞速转动形成（　　） A．点 B．线 C．面 D．体 6．（2020·银川市第三中学初一期中）六棱柱中，棱的条数有（　　） A．6条 B．10条 C．12条 D．18条 7．（2019·江苏省初一月考）观察下图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后，可能形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 考点4：几何体的有关计算 典例：（2020·石家庄外国语教育集团初三一模）图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 方法或规律点拨 本题的关键是理解两个几何体可以组成一个规则的圆柱体，然后利用圆柱体体积的计算公式计算即可． 巩固练习 1．（2019·黑龙江省初三学业考试）一个圆柱和一个圆锥的底面圆的半径与高都分别相等，它们的体积差是24立方厘米，圆柱的体积是______立方厘米． 2．（2019·山东省初一期中）已知长方形的长为10cm，宽为4cm，将长方形绕边所在直线旋转后形成的立体图形的体积为______． 3．（2019·西安市铁一中学初一月考）已知长方形长为5，宽为2，将其绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，该几何体的体积为__________．（结果保留） 4．（2019·西安交大阳光中学初一月考）长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱的最大体积为___ (结果保留π). 5．（2020·青岛市崂山区育才学校初一期中）笔尖在纸上快速滑动写出英文字母C，这说明了_____． 6．（2020·辽宁省太和区第二初中初一月考）我们曾学过圆柱的体积计算公式：（R是圆柱底面半径，h为圆柱的高），现有一个长方形，长为2cm，宽为1cm，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？ 7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）一个正方体的棱长是12厘米，这个正方体的体积是多少？ 2、展开与折叠 考点1：正方体与长方体的展开图 典例：（2020·河南省初一期末）在图1、图2中的无阴影的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中4个有阴影的正方形一起可以构成一个正方体的表面展开图. 方法或规律点拨 熟悉正方体展开图的11种基本型，可以帮助我们解答类似的问题. 巩固练习 1．（2020·四川省中考真题）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　） A． B． C． D． 2．（2020·吉林省初一期末）下列各图中,可以是一个正方体的平面展开图的是( ) A． B． C． D． 3．（2020·吉林省初三二模）下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ） A． B． C． D． 4．（2020·河北省初三三模）如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2020·江苏省初三一模）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 6．（2020·广东省初三其他）下列四个图形中，不是正方体展开图的（　　） A． B． C． D． 7．（2020·四川省初一期中）下列图形中，经过折叠不能围成正方体的是（　　） A． B． C． D． 8．（2020·浙江省初三学业考试）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形． （1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是　 　（填A或B）． （2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示） （3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示） 9．（2020·吉林省初一期末）小名准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，你能在图中的拼接图形上再接一个正方形画出阴影，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子吗？请在下面的图①和图②中画出两种不同的补充方法． 考点2：侧面有文字或数字的正方体展开图 典例：（2019·江苏省初一月考）如图是一个正方体的平面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等． （1）求x的值． （2）求正方体的上面和底面的数字和． 方法或规律点拨 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 巩固练习 1．（2020·内蒙古自治区初一期末）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ） A． B． C． D． 2．（2020·黑龙江省中考真题）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2020·四川省初三其他）小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（ ） A． B． C． D． 4．（2020·霍林郭勒市第五中学初三其他）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“国”字所在面的对面的汉字是（ ） A．祖 B．我 C．心 D．中 5．（2019·内蒙古自治区初一期末）如图所示是小聪制作的一个正方体模型的展开图，把“读书使人进步”六个字分别粘贴在六个面上，那么在正方体模型中与“书”相对的面上的字（ ）． A．读 B．步 C．使 D．人 6．（2020·湖北省初三其他）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是( ) A．国 B．的 C．中 D．梦 7．（2020·河北省初一期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+y的值为( ) A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1 8．（2020·河南省初三二模）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“河”字所在的面相对的面上标的字是（ ） A．建 B．设 C．美 D．丽 9．（2020·甘肃省中考真题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是(　　　) A．文 B．羲 C．弘 D．化 10．（2020·长春市新朝阳实验学校初三月考）某正方体的每个面上都有一个汉字，它的一个展开图如图说是，正原正方体中，与“考”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A．祝 B．你 C．成 D．功 11．（2020·四川省中考真题）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ） A． B． C． D． 12．（2018·河南省初一期末）图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是_____． 13．（2020·四川省初三其他）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个展开图，则在原正方体中，与“想”字所在面相对的面上的汉字是_____． 14．（2019·安徽省初一期末）如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注式子的值相等，求x的值． 15．（2020·江西省初一期末）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． （1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全． （2）若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的容积： _________ cm3． 考点3：侧面有图案的正方体侧面展开图 典例：（2020·江西省中考真题）如图所示，正方体的展开图为（ ） A． B． C． D． 方法或规律点拨 本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键． 巩固练习 1．（2020·河南省初三）某正方体的每个面上都有一个汉字.它的一种平面展开图如图所示，那么在原正方体中，与“筑”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A．抗 B．疫 C．长 D．城 2．（2020·江苏省初三二模）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现在用一把剪刀沿着它的 棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ） A． B． C． D． 3．（2019·内蒙古自治区初一期末）如图所示的正方体的展开图是（　　） A． B． C． D． 4．（2020·河北省初一期末）如图，该几何体的展开图是（　　） A． B． C． D． 5．（2020·北京初三一模）如图，点A，B是正方体上的两个顶点，将正方体按图中所示方式展开，则在展开图中B 点的位置为（ ） A． B． C． D． 6．（2019·吉林省第二实验学校初三二模）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的展开图是（ ） A． B． C． D． 考点4：由展开图计算几何体相关数据 典例：（2020·青岛超银中学初一月考）如图是某种产品展开图，高为3cm. （1）求这个产品的体积. （2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装5件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小），求此长方体的表面积. 方法或规律点拨 本题考查几何体的展开图、几何体的表面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 巩固练习 1．（2020·江苏省初三其他）某长方体包装盒的表面积为146cm2，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积． 2．（2020·四平市第三中学校初一月考）如图所示的长方体的容器，AB=BC，BB’=3AB 且这个容器的容积为192立方分米． （1）求这个长方体容器底面边长AB的长为多少分米？ （2）若这个长方体的两个底面和侧面都是用铁皮制作的，则制作这个长方体容器需要多少平方分米铁皮？（不计损耗） 3．（2020·青岛超银中学初一月考）如图是某种产品展开图，高为3cm. （1）求这个产品的体积. （2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装5件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小），求此长方体的表面积. 4．（2020·河北省初一期末）在我们的课本第142页“4.4课题学习”中，有包装纸盒的设计制作方法．这里的右图，是设计师为“XX快递”设计的长方体包装盒的轮廓草图，其中长30CM、宽20CM、高18CM，正面有“快递”字样，上面有“上”字样，棱AB是上盖的掀开处，棱CD是粘合处．请你想想，如何制作这个包装盒，然后完善下面的制作步骤． 步骤1：在符合尺寸规格的硬纸板上，画出这个长方体的展开图(草图)．注意，要预留出黏合处，并适当剪去棱角． 步骤2：在你上面画出的展开草图上，标出对应的A、B、C、D的位置，标出长30CM、宽20CM、高18CM所在线段，并把“上”和“快递”标注在所在面的位置上． 步骤3：裁下展开图，折叠并粘好黏合处，得到长方体包装盒． 5．（2019·山东省初一期中） 如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答 （1）如果A面在长方体的底部，那么　 　面会在上面； （2）求这个长方体的表面积和体积． 6．（2020·河南省初一月考）小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题. （1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全； （2）若图中的正方形边长为，长方形的长为，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积. 7．（2018·南通市启秀中学初一期末）如图，将一个饮料包装盒剪开，铺平，纸样如图所示，包装盒的高为；设包装盒底面的长为． （1）用表示包装盒底面的宽； （2）用表示包装盒的表面积，并化简； （3）若包装盒底面的长为，求包装盒的表面积． 考点5：一般几何体的侧面展开图 典例：（2020·湖南省中考真题）下列不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 方法或规律点拨 本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形． 巩固练习 1．（2020·河北省初一期末）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ）. A．B．C．D． 2．（2020·泰兴市马甸初级中学初三二模）一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（ ） A．圆柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．四棱锥 3．（2020·重庆初三二模）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的形状是（ ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 4．（2020·辽宁省初三二模）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为 A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱 5．（2020·广西壮族自治区南宁三中初三三模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ） A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱 6．（2020·北京初三二模）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是( ) A． B． C． D． 7．（2020·四川省初三二模）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ） A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱 8．（2020·北京初三二模）下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ） A． B． C． D． 3、截一个几何体 考点1：截几何体判断截面 典例：（2019·全国初一课时练习）用平面去截正方体. （1）截面形状能是三角形吗？如果能，请画出一种截法. （2）截面形状能是长方形吗？如果能，请画出一种截法. （3）截面形状能是梯形吗？如果能，请画出一种截法. （4）截面形状能是五边形吗？如果能，请画出一种截法. （5）截面形状能是六边形吗？如果能，请画出一种截法. （6）截面形状能是圆吗？为什么？ 方法或规律点拨 此题考查截一个几何体，解题关键在于掌握截面的形状既与被截的几何体有关. 巩固练习 1．（2020·重庆八中初三期末）用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是( ) A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．三角形 2．（2019·山东省初一期中）用一个平面去截一个正方体，截面可能是（ ） A．七边形 B．圆 C．长方形 D．圆锥 3．（2019·山西省初一期中）用一个平面去截一个立体图形，当截取的角度和方向不同时，截面的形状随截法的不同而改变，下列截面中属于三角形的是（ ） A． B． C． D． 4．（2020·湖北省黄石八中初三一模）圆锥的轴截面是( ) A．梯形 B．等腰三角形 C．矩形 D．圆 5．（2019·临泽县教育体育和科学技术局初一月考）一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的( ) A．圆柱和圆锥 B．球体和圆锥 C．球体和圆柱 D．正方体和圆锥 6．（2019·沈阳市第一二六中学初一月考）用一个平面按照如图所示的位置与正方体相截，则截面图形是（ ） A． B． C． D． 7．（2019·菏泽市牡丹区第二十一初级中学初一月考）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（ ）． A．圆柱 B．圆锥 C．五棱柱 D．正方体 8．（2019·重庆一中初一月考）用一个平面去截一个正方体，截面不可能是（ ） A．梯形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 9．（2019·青岛