七年级数学上册复习资料.doc

有理数的概念 一、本节学习指导 本节知识点比较多，同学们要认真学习并加以总结，用自己的语言来理解部分知识是有助于我们记忆的。对于本节的知识如果一时记不住也不要急，毕竟我们才刚刚进入初级数学的学习。 二、知识要点 1、正数和负数 （1）、大于0的数叫做正数。 （2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 （3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。 （4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。 2、有理数 (1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。 p不是有理数； (2)有理数的分类:①② (3)自然数0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数；a≥0a是正数或 0是非负数； a≤0a是负数或0a是非正数. 3、数轴【重点】 （1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： ① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； ② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3… （2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。 （4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 4、相反数 （1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ① 注意：a的相反数是-a；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-(a+b)=-a-b； ② 非零数的相反数的商为-1； ③ 相反数的绝对值相等。 （2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。 （3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0。 （4）、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。 （5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反数。 （6）、多重符号的相乘由“-”的个数来定：若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“-“的个数为奇数，化简结果为负数。比如：-2×4×（-3）×（-1）×（-5），首先由4个负号，所以最终结果是正数，再算数字相乘得到120 5、绝对值 （1）、绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。 （2）、正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0（或者说0的绝对值是它本身，或者说0的绝对值是它的相反数）；负数的绝对值等于它的相反数；（注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；）。0是绝对值最小的数。 （3）、绝对值可表示为：或； （4）、；； （5）、任何数的绝对值总是非负数（非负数是正数或0），即|a|≥0。 （6）、互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等。 （7）、有理数比大小： ① 正数比0大，0大于负数，正数大于负数； ② 两个负数比较，绝对值大的反而小； ③ 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （8）、比较两个负数的大小的步骤如下： ① 先求出两个数负数的绝对值； ② 比较两个绝对值的大小； ③ 根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 三、经验之谈： 本节我们要理解很多的名词概念，希望同学们多读几遍。其次我们还要重点理解正数和负数的关系，以及对绝对值几何意义，还有数轴的画法。总之本节我们要认真学习。 有理数的运算 一、本节学习指导 有理数的运算和我们小学学习的四则运算很相似，运算规律都一样，不同的是有负数参与，所以相对要复杂一些，本节要多加练习。本节有配套学习视频。 二、知识要点 1、有理数的加法 （1）、有理数加法法则： ① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ② 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③ 一个数与0相加，仍得这个数. （2）、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。 （3）、有理数加法的运算律： ① 加法的交换律：a+b=b+a； ② 加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. （4）、为了计算简便 ，往往会采取以下方法： ①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加； ④几个数相加能得到整数，可以先相加。 2、有理数的减法 （1）、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.（有理数减法运算时注意两“变”：①减法变加法；②把减数变为它的相反数.） 注：有理数的减法实质就是把减法变加法。 3、有理数的乘法 （1）、有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同零相乘都得零； （2）、一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。 （3）、乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数；若ab=1<====>a、b互为倒数。 （4）、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。 （5）、有理数乘法的运算律： ① 乘法的交换律：ab=ba； ② 乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； ③ 乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac. 4、有理数的除法 （1）、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 （2）、有理数除法符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 （3）、乘除混合运算的步骤：①先把除法转化为乘法；②确定积的符号；③运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。 5、有理数的乘方 （1）、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an 中，a叫做底数，n叫做指数。 （2）、an表示的意义是n个a相乘。如：2³=2×2×2=8 （3）、分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来。如：（1/2）² （4）、负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来。 （5）、10的几次方，幂的结果中1后面就有几个0。如：105 =100000 （6）、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。1的任何次幂都是1。-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是1。 6、科学记数法 （1）、把一个大于10数表示成a×10n 的形式（其中a是整数数位只有一位的数，而且 1≤︱a︱＜10，n是正整数），使用的是科学计数法。 （2）、用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1。 例：240 000 000用科学计数法记为2.4×108 7、近似数 （1）、接近实际数字，但是与实际数字还是有差别，这个数是一个近似数。 （2）、精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。 （3）、利用四舍五入法得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 （4）、从一个数的左边的第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 （5）、解题技巧：①近似数精确到哪一位，只需看这个数的最末一位在原数的哪一位。 ②当四舍五入到十位或十位以上时，应先用科学记数法表示这个数，再按要求取近似数。 （6）、a×10n中有效数字是指a的有效数字。 7、等于本身的数汇总： ① 相反数等于本身的数：0 ② 倒数等于本身的数：1，-1 ③ 绝对值等于本身的数：正数和0 ④ 平方等于本身的数：0,1 ⑤ 立方等于本身的数：0,1，-1. 第二章 整式的加减 1．单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。 2．单项式系数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式数字系数，简称单项式的系数； 3.单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数. 4．多项式：几个单项式的和叫做多项式。 5．多项式的项与项数：多项式中每个单项式叫多项式的项; 不含字母的项叫做常数项。 多项式里所含单项式的个数就是多项式的项数； 6．多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；常数项的次数为0 注意：（若a、b、c、p、q是常数）ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式. 7.多项式的升幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大排列起来，叫做按这个字母的升幂排列。 多项式的降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从大到小排列起来，叫做按这个字母的降幂排列。 （注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. ８．整式：单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. ９．整式分类： .　　　　（ 注意：分母上含有字母的不是整式。） １０．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. １１.合并同类项法：各同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母指数不变。 １２．去括号的法则：(原理：乘法分配侓) （1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变； （2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。 １３.添括号的法则：（１）若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； （２）若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. １４. 整式的加减：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项；整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 整式加减的步骤：（1）列出代数式；（2）去括号；（3）添括号（4）合并同类项。 整式的加减：一找：（划线）；二“+”（务必用+号开始合并）三合：（合并） 一元一次方程知识点汇总 【知识点归纳】 一、方程的有关概念 1.方程：含有未知数的等式就叫做方程. 2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)的方程叫做一元一次方程. 3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论. 二、等式的性质 等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等.  用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c 等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么= 三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． 四、去括号法则 〔依据分配律：a（b+c）=ab+ac 〕 1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． 2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变． 五、解方程的一般步骤 1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数) 2. 去括号(按去括号法则和分配律) 3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号) 4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式) 5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a（或乘未知数的倒数），得到方程的解x=). 六、用方程思想解决实际问题的一般步骤 1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，找:明确各数量之间的关系； 2. 设：设未知数(可分直接设法，间接设法), 表示出有关的含字母的式子； 3. 列：根据题意列方程； 4. 解：解出所列方程, 求出未知数的值； 5. 检：检验所求的解是否是方程的解，是否符合题意； 6. 答：写出答案(有单位要注明答案). 七、有关常用应用题类型及各量之间的关系 1. 和、差、倍、分问题（增长率问题）： 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，几分之几,增长率,减少,缩小……”来体现. （2）多少关系：通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余……”来体现. 审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别. 2. 等积变形问题： （1）“等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提，是等量关系的所在.常用等量关系为： ①形状面积变了，周长没变； ②原料体积＝成品体积. （2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变． ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝πr2h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc 3. 劳力调配问题： 从调配后的数量关系中找等量关系，要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （1）既有调入又有调出； （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变 4. 数字问题： 要正确区分“数”与“数字”两个概念, 同一个数字在不同数位上，表示的数值不同，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程.列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和. （1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a（其中a、b、c均为整数，且0≤a≤9， 0≤b≤9， 1≤c≤9）. （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示. 5. 工程问题（生产、做工等类问题）： 工作量＝工作效率×工作时间 合做的效率＝各单独做的效率的和. 一般情况下把总工作量设为1，完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1.分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。 工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量． 6.行程问题： 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础. （1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间 . 要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少） （2）基本类型有 ①单人往返 各段路程和＝总路程 各段时间和＝总时间 匀速行驶时速度不变 ②相遇问题（相向而行）：快行距＋慢行距＝原总距 两者所走的时间相等或有提前量. ③追及问题（同向而行）；快行距－慢行距＝原总距 两者所走的时间相等或有提前量. ④环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程. 行程问题可以采用画示意图的方法来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点. ⑤航行问题： 顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度; 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度. 水流速度=（顺水速度－逆水速度） 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程． ⑥考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题 将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然. 常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题 7. 商品销售问题： （1）； （2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量； （3）商品销售利润＝（销售价－成本价）×销售量； （4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．关系式：商品售价=商品标价×折扣率. 8. 银行储蓄问题： ⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数（存期），利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税. ⑵ 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率（20%） (3) 利润＝×100% 注意利率有日利率、月利率和年利率: 年利率＝月利率×12＝日利率×365. 9.溶液配制问题: 溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量 溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数. 常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意. 10.年龄问题: 大小两个年龄差不会变；主要等量关系：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等. 11.时钟问题: ⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究 ⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。 常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分 ③ 秒针的速度是6°/秒 12.配套问题: 这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系 13.比例分配问题: 各部分之和=总量 比例分配问题的一般思路为：设其中一份为x ，利用已知的比，写出相应的代数式. 14.比赛积分问题: 注意比赛的积分规则，胜、负、平各场得分之和=总分 15.方案选择问题: 根据具体问题，选取不同的解决方案 《几何图形初步》知识点总汇 一、知识结构框图 二、具体知识点梳理 （一）几何图形(是多姿多彩的) 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等. 主（正）视图---------从正面看； 2、几何体的三视图 侧（左）视图-----从左面边看； 俯视图---------------从上面看. （1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. （2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型. 3、立体图形的平面展开图 （1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面图形不一样的. （2）了解直棱柱、圆柱、圆锥的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型. 4、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形. 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线. 面：包围着体的是面，分为平面和曲面. 体：几何体也简称体. （2）点动成线，线动成面，面动成体. （二）直线、射线、线段 1、基本概念 图形 直线 射线 线段 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线a 直线AB（BA） 射线AB 线段a 线段AB（BA） 作法叙述 作直线AB 作直线a 作射线AB 作线段a 作线段AB、连接AB 延长叙述 不能延长 反向延长射线AB 延长线段AB 反向延长线段BA 2、直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简称：两点确定一条直线. 3、画一条线段等于已知线段 （1）度量法 （2）用尺规作图法 4、线段的大小比较方法 （1）度量法 （2）叠合法 5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等 定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点叫做线段的中点. 图形： A M B 符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM. 6、线段的性质：两点的所有连线中，线段最短.简称：两点之间，线段最短. 7、两点的距离：连接两点的线段长度叫做这两点的距离. 8、点与直线的位置关系 （1）点在直线上； （2）点在直线外. （三）角 1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 2、角的表示法（四种）：∠1 ； ； ； . 3、角的度量单位及换算 4、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角. 5、角的比较方法 （1）度量法 （2）叠合法 6、角的和、差、倍、分及其近似值 7、画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法，可以作出任意给定的角. 8、角的平线线 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线. 图形： 符号： 9、互余、互补 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）余（补）角的性质：同（等）角的余角相等. 同（等）角的补角相等. 10、方向角 （1）正方向；（2）北（南）偏东（西）方向；（3）东（西）北（南）方向.