第04章 重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算（解析版）（人教版）.docx

第04章 重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算 考点体系 考点1：与线段有关的计数问题 典例：（2018·内蒙古宁城·初一期末）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作____________条；同样，经过B点与A、C两点分别作直线，可以作______________条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作___________条. 通过以上分析和总结，图1共有___________条直线. （2）拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2共有_____________条直线； 图3共有_____________条直线； (3)探索归纳： 如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有________条直线．(用含n的式子表示) (4)解决问题： 中职篮（CBA）2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？ 【答案】（1）2 2 2 3 （2）6 10 （3） （4）190 【解析】（1）2；2；2；3； （2）6；10； （3） （4）当n=20时，=（场）. 故一共进行了190场比赛. 方法或规律点拨 本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律． 巩固练习 1．（2019·河南许昌·）观察表格： 1条直线 0个交点 平面分成（1+1）块 2条直线 1个交点 平面分成（1+1+2）块 3条直线 （1+2）个交点 平面分成（1+1+2+3）块 4条直线 （1+2+3）个交点 平面分成（1+1+2+3+4）块 根据表格中的规律解答问题： （1）5条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （2）n条直线两两相交，有　 　个交点，平面被分成　 　块； （3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到　 　块饼． 【答案】（1）10，16；（2）n(n﹣1)；1+n(n+1)；（3）56 【解析】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块； 故答案为：10，16； （2）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交有1+2＝3个交点； 4条直线相交有1+2+3＝6个交点； 5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点； 6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点； … n条直线相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝n(n﹣1)； 平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+n(n+1)； 故答案为：n(n﹣1)；1+n(n+1)； （3）当n＝10时，（块）， 故答案为：56 2．（2019·全国）平面内5条相交直线最多可以有几个交点？条直线呢？ 【答案】10个交点；个. 【解析】解：平面内2条直线相交有1个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2＝3个交点，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3＝6个交点，第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4＝10个交点； 第n条直线和前n−1条直线都相交，增加了n−1个交点，得1＋2＋3＋…n−1，其和为：1＋2＋3＋…n−1＝个交点． 3．（2018·浙江全国·初一课时练习）观察图形找出规律，并解答问题． (1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块； (2)n条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块． 【答案】(1)10,16;(2),[1＋] 【解析】如图， （1）任意画2条直线，它们最多有1个交点； （2）任意画3条直线，它们最多有3个交点； （3）任意画4条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6个交点； （4）5条直线最多有10个交点； n条直线最多有n（n-1）个交点． 一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分． 因为n=1，a1=1+1， n=2，a2=a1+2， n=3，a3=a2+3， n=4，a4=a3+4， … n=n，an=an-1+n， 以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…+n=1+． 当n=5时，1+=16． 4．（2019·全国初一）往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示. 则需要设定几种不同的票价?需要准备多少种车票? 【答案】设定6种，准备12种车票. 【解析】总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6种不同的票价.因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,所以需要准备12种车票. 5．（2019·全国初一课时练习）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段； （2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性； （3）拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题. 【答案】（1）6；（2） ；（3）28 【解析】解：(1)∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD， 以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB， 以点D为左端点的线段有线段DB， ∴共有3+2+1=6条线段； (2) 理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则x=(m−1)+(m−2)+(m−3)+…+3+2+1， ∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m−3)+(m−2)+(m−1)， ∴2x=m+m+…+m,(m−1)个m, (3)把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段， 直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数， 因此一共要进行场比赛. 考点2：线段作图与计算的综合题 典例：（2020·恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP和点B，C，请用尺规按下列要求作图： （1）连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB； （2）连接BC、BD，并延长BC到E，使BE＝BD． （3）在（2）的基础上，取BE中点F，若BD＝6，BC＝4，求CF的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF的值为1 【解析】解：如图所示， （1）连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB； （2）连接BC、BD，并延长BC到E，使BE＝BD． （3）在（2）的基础上， ∵BE＝BD＝6，BC＝4， ∴CE＝BE﹣BC＝2 ∵F是BE的中点， ∴BF＝＝＝3 ∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝1． 答：CF的值为1． 方法或规律点拨 本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图． 巩固练习 1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知线段的长为． （1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点在线段的延长线上，且； （2）在上题中，如果在线段上有一点，且线段、长度之比为，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）3.5cm或1.4xcm 【解析】（1）反向延长BA，以点A为圆心，AB为半径作圆交BA的延长线于点C，则线段AC即为所求; （2）当在线段上时， ∵,， ∴.∵， ∴． 当在线段上时， ∵，， ∴.∵， ∴． 2．（2020·福建宁化·初一期末）如图，已知线段a和线段AB， （1）延长线段AB到C，使BC＝a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若AB＝5，BC＝3，点O是线段AC的中点，求线段OB的长． 【答案】（1）见解析；（2） OB长为1． 【解析】解：（1）如图：延长线段AB，在AB的延长线上截取BC＝a． （2）∵AB＝5，BC＝3， ∴AC＝8， ∵点O是线段AC的中点， ∴AO＝CO＝4， ∴BO＝AB﹣AO＝5﹣4＝1， ∴OB长为1． 3．（2020·河北涞源·初一期末）已知：如图，线段AB. （1）根据下列语句顺次画图. ① 延长线段AB至C，使BC=3AB， ② 画出线段AC的中点D. （2）请回答： ① 图中有几条线段； ② 写出图中所有相等的线段. 【答案】（1）画出图形，如图所示见解析；（2）① 6；② . 【解析】解：(1)画出图形，如图所示. (2)①图中的线段有：AB、BD、DC、AD、BC、AC，共6条； ②相等的线段有：AB=BD，AD=CD. 故答案为：(1)画图见解析；(2)①6；②AB=BD，AD=CD. 4．（2019·广西防城港·初一期末）如图，已知线段a和射线OA，射线OA上有点B． （1）用圆规和直尺在射线OA上作线段CD，使点B为CD的中点，点C在点B的左边，且BC=a．（不用写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，若OB=12cm，OC=5cm，求线段OD的长． 【答案】（1）详见解析；（2）19cm 【解析】解：（1）如图所示：以B为圆心，a的长为半径画弧，交OA于C、D两点 （2）∵OB=12cm，OC = 5cm， ∴ BC= OB -OC =12-5 =7cm， ∵ B为CD的中点， ∴ BC =BD = 7cm， ∴ OD = OB +BD =12+7 = 19cm． 5．（2019·江苏沛县·初一期末）如图，已知四点A、B、C、D． （1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形： ①画直线AB． ②画射线DC． ③延长线段DA至点E，使．(保留作图痕迹) ④画一点P，使点P既在直线AB上，又在线段CE上． （2）在（1）中所画图形中，若cm，cm，点F为线段DE的中点，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）0.5cm． 【解析】解：（1）如图，该图为所求， (2)∵AB=2cm，AB=AE， ∴AE=2cm，AD=1cm， ∵点F为DE的中点， ∴EF=DE=cm， ∴AF=AE-EF=2-=cm； ∴AF=0.5cm. 6．（2019·广东龙华·初一期末）如图，已知不在同一条直线上的三点、、，其中，且． （1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹） ①作射线； ②在线段上截取； ③在线段上截取． 恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点就称为线段的“黄金分割点”． （2）阅读下面材料，并完成相关问题； 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分割点．如图，为线段上一点，如果，那么点为线段的黄金分割点． 已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台上的两个黄金分割点和处，如图，则这两位主持人之间的距离约为_________米． 【答案】（1）见解析；（2）7.08 【解析】解：（1）如图1，点E就称为线段AB的“黄金分割点”； （2）∵点Q是MN的黄金分割点， ∴MQ≈0.618MN＝18.54， ∴QN＝MN﹣MQ＝11.46， ∵点P是MN的黄金分割点， ∴NP≈0.618MN＝18.54， ∴PQ＝NP﹣QN＝18.54﹣11.46＝7.08（米）， 故答案为：7.08． 7．（2019·闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a，b，用尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹），并填空． （1）作线段AB，使得AB＝a＋b； （2）在直线AB外任取一点C，连接AC，BC，可得AC＋BC AB（填“＜”或“＞”号），理由是 ． 【答案】（1）图见解析； （2）＞；两点之间线段最短． 【解析】 （1）如图所示： （2）由题意，得AC＋BC＞AB 理由是两点之间线段最短. 考点3：动点有关的线段问题 典例：（2020·江西东湖·期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空） （2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值． （3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝　 　（填空） （4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）或1． 【解析】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm， ∵AB＝12cm，AM＝4cm， ∴BM＝8cm， ∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm， 故答案为：2cm，4cm； （2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm ∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm ∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm； （3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC， ∵MD＝2AC， ∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM， ∵AM+BM＝AB， ∴AM+2AM＝AB， ∴AM＝AB＝4， 故答案为：4； （4）①当点N在线段AB上时，如图1， ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝4 ∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4 ∴； ②当点N在线段AB的延长线上时，如图2， ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB＝12 ∴； 综上所述或1 故答案为或1． 方法或规律点拨 本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 巩固练习 1．（2020·浙江镇海·期末）已知数轴上，点为原点，点对应的数为9，点对应的数为，点在点右侧，长度为2个单位的线段在数轴上移动． （1）当线段在、两点之间移动到某一位置时恰好满足，求此时的值． （2）当线段在射线上沿方向移动到某一位置时恰好满足，求此时的值． 【答案】（1）b=3.5；（2）或—5 【解析】解：（1）线段AC可以表示为， 根据AC=OB，列式，解得； （2）当B在O点右侧（或O点）时，，解得 ， 当B在O点左侧时，，解得 ， ∴b的值为或． 2．（2021·重庆开学考试）如图，是线段上任意一点，，两点分别从点开始，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为． （1）若． ①求运动后，的长； ②当点在线段上运动时，试说明． （2）如果，试探索的长． 【答案】（1）①3cm；②见解析；（2）9或11 【解析】解：（1）①由题可知： ② （2）当时， 当点在的右边时，如图所示： 由于 当点在的左边时，如图所示： 综上所述，或11 3．（2020·全国初一课时练习）已知，两点在数轴上表示的数为和，，均为数轴上的点，且． （1）若，的位置如图所示，试化简：； （2）如图，若，，求图中以，，，，这5个点为端点的所有线段（无重复）长度的和； （3）如图，为中点，为中点，且，，若点为数轴上一点，且，试求点所对应的数． 【答案】（1）b-a；（2）41.6；（3）或3． 【解析】（1）由已知得，． ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴ ； （3）∵， ∴． ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴． 又∵， 所以， 解得， ∴． 当点在点的左边时，点在原点的左边，， 故点所对应的数为； 当点在点的右边时，点在原点的右边，， 故点所对应的数为3． 综上，点所对应的数为或3． 4．（2020·河南太康·初一期末）(1)如图，已知点C在线段AB上，AC＝6 cm，且BC＝4 cm，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度； (2)在(1)题中，如果AC＝a cm，BC＝b cm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律； (3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC＝6 cm，BC＝4 cm，点C在直线AB上，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果． 【答案】(1)5 cm;(2)MN＝cm.MN的长度为线段AC，BC长度和的二分之一．(3)有变化．当AB在点C同侧时，MN＝1 cm. 【解析】解：(1)∵AC=6cm，BC=4cm，点M，N分别是AC，BC的中点， (2) 直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半； (3)如图，有变化，会出现两种情况： ①当点C在线段AB上时, ②当点C在AB或BA的延长线上时, 5．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t. （1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长； （2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长； （3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长； （4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长. 【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm 【解析】解：(1) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm). 因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm). 故BD=2PC. 因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP. 故AB=AP+PB=3AP. 因为AB=12cm，所以(cm). (2) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm). 因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm). 故BD=2PC. 因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP. 故AB=AP+PB=3AP. 因为AB=12cm，所以(cm). (3) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm). 因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm). 故BD=2PC. 因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP. 故AB=AP+PB=3AP. 因为AB=12cm，所以(cm). (4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论. (i) 点Q在线段AB上(如图①). 因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ. 因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ. 因为，所以. 故. 因为AB=12cm，所以(cm). (ii) 点Q不在线段AB上，则点Q在线段AB的延长线上(如图②). 因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ. 因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ. 因为，所以. 故. 因为AB=12cm，所以(cm). 综上所述，PQ的长为4cm或12cm. 6．（2020·山东崂山·初一期末）如图，已知线段AB、a、b． （1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． （2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AE＝2cm． 【解析】（1）①如图所示，线段BC即为所求， ②如图所示，线段AD即为所求； （2）∵AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm， ∴CD＝8+6+10＝24cm， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝DC＝12cm， ∴AE＝DE﹣AD＝12﹣10＝2cm． 7．（2019·河北初三二模）如图，已知数轴上有两点，它们的对应数分别是，其中 （1）在左侧作线段，在的右侧作线段（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点对应的数是，点对应的数是，且，求的值 （3）在（2）的条件下，设点是的中点，是数轴上一点，且，请直接写出的长 【答案】（1）见解析；（2）c=-68；d=92；（3）28或 【解析】（1）解：如图，线段为所求的线段 （2）因为 ； （3）分情况讨论： ①点N在线段CD上， 由（2）得CD＝92−（−68）＝160，点B对应的数为12−40＝−28， ∴BD＝92−（−28）＝120， ∵点M是BD的中点， ∴点M对应的数为92−60＝32， ∵CN＝4DN， ∴DN＝CD＝32， ∴点N对应的数为92−32=60， ∴MN＝60−32＝28； ②点N在线段CD的延长线上， ∵CN＝4DN， ∴DN＝CD＝， ∴点N对应的数为92＋＝， ∴MN＝−32＝． 故的长为28或． 8．（2019·江西贵溪·初一期末）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，. 【解析】解：（1）设运动时间为t秒，则， 由得，即 ，，，即 所以点P在线段AB的处； （2）①如图，当点Q在线段AB上时， 由可知， ②如图，当点Q在线段AB的延长线上时， ， 综合上述，的值为或； （3）②的值不变. 由点、运动5秒可得， 如图，当点M、N在点P同侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 如图，当点M、N在点P异侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 所以②的值不变正确，. 考点4：静态图形中的角度计算与证明 典例：（2020·江西东湖·期末）若的度数是的度数的k倍，则规定是的k倍角. （1）若∠M=21°17'，则∠M的5倍角的度数为 ； （2）如图1，OB是∠A